1、综合测试卷(四)时间:120分钟分值:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020山东潍坊模拟)已知集合A=x|x2-10,B=y|y=ex,则AB =()A.(0,+)B.(-,1C.1,+)D.(-,-11,+)答案C因为x2-10,所以x1或x-1,所以A=(-,-11,+).又因为y=ex0,所以B=(0,+),所以AB=1,+),故选C.2.(2018安徽马鞍山二模,3)已知复数z满足zi=3+4i,则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D由zi=3+4i,得
2、z=3+4ii=(3+4i)(-i)-i2=4-3i,复数z在复平面内对应的点的坐标为(4,-3),该点位于第四象限.故选D.3.(2020陕西汉中重点中学第一次联考,7)若log2x+log4y=1,则()A.x2y=2B.x2y=4C.xy2=2D.xy2=4答案Blog2x+log4y=log2x+12log2y=log2x+log2y12=log2(xy12)=1,所以xy12=2,两边平方得x2y=4.故选B.4.(2020河南安阳二模,7)已知m,l是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列可以推出的是()A.ml,m,lB.ml,=l,mC.ml,m,lD.l,ml,m答案D在A
3、中,ml,m,l,则与相交或平行,故A错误;在B中,ml,=l,m,则与有可能相交但不垂直,故B错误;在C中,ml,m,l,则,故C错误;在D中,l,ml,则m,又m,则,故D正确.故选D.5.(2020山东烟台一模,7)设P为直线3x-4y+4=0上的动点,PA,PB为圆C:(x-2)2+y2=1的两条切线,A,B为切点,则四边形APBC面积的最小值为()A.3B.23C.5D.25答案A如图所示.圆C:(x-2)2+y2=1的圆心为C(2,0),半径为1,PA=PB,则S四边形APBC=212|PB|CB|,又PCB为直角三角形,|PB|=|PC|2-|CB|2=|PC|2-1,因此S四边
4、形APBC=|PC|2-1,若四边形APBC的面积最小,则|PC|最小,当CP垂直于直线3x-4y+4=0时,|CP|取最小值,即点C到直线3x-4y+4=0的距离,|PC|min=|32-40+4|5=2,故四边形APBC面积的最小值为22-1=3.故选A.6.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点,若AF1B的周长为43,则C的方程为()A.x23+y22=1B.x23+y2=1C.x212+y28=1D.x212+y24=1答案AAF1B的周长为43,由椭圆的定义可知4a=43,a=3,e=ca=33,c=1
5、,b2=2,方程为x23+y22=1,故选A.7.(2020广东广州综合测试一,10)已知点P(x0,y0)是曲线C:y=x3-x2+1上的点,曲线C在点P处的切线与直线y=8x-11平行,则()A.x0=2B.x0=-43C.x0=2或x0=-43D.x0=-2或x0=43答案B由y=x3-x2+1可得y=3x2-2x,则切线斜率k=y|x=x0=3x02-2x0,又切线平行于直线y=8x-11,3x02-2x0=8,x0=2或-43.当x0=2时,切点为(2,5),切线方程为y-5=8(x-2),即8x-y-11=0,与已知直线重合,不合题意,舍去;当x0=-43时,切点为-43,-852
6、7,切线方程为y+8527=8x+43,即y=8x+20327,与y=8x-11平行,故选B.8.(2018天津,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则AEBE的最小值为()A.2116B.32C.2516D.3答案A本题主要考查数量积的综合应用.解法一:如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0),B32,32,C(0,3),设E(0,t),t0,3,AEBE=(-1,t)-32,t-32=t2-32t+32,t0,3,当t=-3221=34时,AEBE取得最小值,
7、(AEBE)min=316-3234+32=2116.故选A.解法二:令DE=DC(01),由已知可得DC=3,AE=AD+DC,BE=BA+AE=BA+AD+DC,AEBE=(AD+DC)(BA+AD+DC)=ADBA+|AD|2+DCBA+2|DC|2=32-32+32.当=-3223=14时,AEBE取得最小值2116.故选A.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.定义:若函数F(x)在区间a,b上的值域为a,b,则称区间a,b是函数F(x)的“完美区间”,另外,定义区间a,b的“
8、复区间长度”为2(b-a),已知函数f(x)=|x2-1|,则()A.0,1是f(x)的一个“完美区间”B.1-52,1+52是f(x)的一个“完美区间”C.f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+5D.f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+25答案AC当x0,1时,f(x)=1-x2,易知f(x)在0,1上单调递减,f(0)=1,f(1)=0,故值域为0,1,所以0,1是f(x)的一个“完美区间”,故A正确.由于1-520,f(x)0恒成立,故B错误.由定义域为a,b,f(x)0,可知0a1时,若0a1,所以f(b)=|b2-1|=b2-1=b,即b2-b-1=0,
9、解得b=1-52(舍去)或b=1+52,故此情况下存在a=0,b=1+52,使得区间a,b是函数f(x)的“完美区间”,此区间a,b的“复区间长度”为21+52-0=1+5.当a1时,f(x)=x2-1,xa,b,函数f(x)在a,b上单调递增,若函数f(x)在区间a,b上的值域为a,b,则f(a)=a2-1=a,f(b)=b2-1=b,所以a与b是方程x2-x-1=0的两个不等实根,解得x1=1-52,x2=1+52,所以a=1-52,b=1+52,因为a=1-520,b0)与直线y=kx交于A,B两点,点P(x0,y0)为C上任意一点,且直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且kPAk
10、PB=94,则下列结论正确的是()A.双曲线的渐近线方程为y=32xB.双曲线的渐近线方程为y=52xC.双曲线的离心率为132D.双曲线的离心率为134答案AC设点A(x,y),B(-x,-y),则x2a2-y2b2=1.又x02a2-y02b2=1,两式相减得x02-x2a2=y02-y2b2,x02-x2y02-y2=a2b2.又kPAkPB=y0-yx0-xy0+yx0+x=94,b2a2=94,ba=32,双曲线的渐近线方程为y=32x,故选项A正确,选项B错误;又b2a2=c2-a2a2=e2-1=94,e=132,故选项C正确,选项D错误.故选AC.思路分析设点A(x,y),B(
11、-x,-y),利用点差法得到kPAkPB=b2a2,即可得到ba=32,从而求出双曲线的渐近线与离心率.11.(2020山东百师联盟测试五,9)函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|0),g(x)=1x-2a,若a0,则g(x)=1x-2a0恒成立,故g(x)在(0,+)上单调递增,g(1)=0,当x(0,1)时,g(x)=f(x)0,f(x)单调递增,故函数f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意.若a0,则0x0,g(x)单调递增,x12a时,g(x)=1x-2a0,g(x)单调递减,g(1)=f(1)=0,f(x)在x=1处取得极大值,x0,x1时,g(x)=f(x)0,即函数f(
12、x)在x=1的两侧先增后减,则12a12.综上,a的取值范围是12,+.16.(2020山东第一次仿真联考,15)在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是边长为2的正方形,PC=PD=5,平面PCD平面ABCD,则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为.答案414解析取CD的中点E,连接PE.因为PC=PD=5,DE=12CD=1,所以PECD,则PE=2,连接AC,BD,交于点O1,则O1为四边形ABCD的中心,过四边形ABCD的中心O1作平面ABCD的垂线l1,过三角形PCD的外心O2作平面PCD的垂线l2,设l1l2=O,则O为四棱锥P-ABCD外接球的球心,设OO1=h,四棱锥P-ABCD
13、外接球的半径为R,则R2=h2+2=(2-h)2+1,解得h=34,则h2=916,R2=4116,故四棱锥P-ABCD外接球的表面积为4R2=414.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)已知an是递增的等差数列,且a2,a4是方程x2-5x+6=0的根,数列bn的前n项和为Sn,且Sn=2bn-2(nN*).(1)求数列an,bn的通项公式;(2)若cn=anbn(nN*),求数列cn的前n项和Tn.解析(1)因为nan+1-(n+1)an=1,所以an+1n+1-ann=1n(n+1)=1n-1n+1,所以ann-an-1n-1=1n-1-1n(n
14、2),a22-a11=1-12,所以ann-a1=1-1n(n2).又a1=1,所以ann=2n-1n,所以an=2n-1(n2).又a1=1也符合上式,所以an=2n-1(nN*).(2)结合(1)得bn=2n-13n-1,所以Sn=130+331+532+733+2n-13n-1,13Sn=131+332+533+2n-13n,-,整理得23Sn=1+213+132+13n-1-2n-13n=1+2131-13n-11-13-2n-13n=2-2n+23n,所以Sn=3-n+13n-1.18.(12分)(2020山东烟台一中期末,17)在条件:(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)s
15、inC,asinB=bcosA+6,bsinB+C2=asinB中任选一个,补充到下面问题中,并给出问题解答.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b+c=6,a=26,.求ABC的面积.解析若选:由正弦定理得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,所以cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12,因为A(0,),所以A=3,又a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,a=26,b+c=6,所以bc=4,所以SABC=12bcsinA=124sin3=3.若选:由正弦定理得sinAsinB=sinBcosA+6.因为0B,所以sinB0,所以sinA=
16、cosA+6,化简得sinA=32cosA-12sinA,即tanA=33,因为0A,所以A=6.又因为a2=b2+c2-2bccos6,所以bc=(b+c)2-a22+3=62-(26)22+3,即bc=24-123,所以SABC=12bcsinA=12(24-123)12=6-33.若选:由正弦定理得sinBsinB+C2=sinAsinB,因为0B,所以sinB0,所以sinB+C2=sinA,又因为B+C=-A,所以cosA2=2sinA2cosA2,因为0A,所以0A2b0)的离心率为12,点P1,32在椭圆M上.(1)求椭圆M的方程;(2)经过椭圆M的右焦点F的直线l与椭圆M交于C
17、、D两点,A、B分别为椭圆M的左、右顶点,记ABD与ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的取值范围.解析(1)由e=ca=1-b2a2=12,得3a2=4b2,将P1,32代入椭圆方程,得1a2+94b2=1,由得a=2,b=3,所以椭圆M的方程为x24+y23=1.(2)当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=1,ABD与ABC的面积相等,|S1-S2|=0,当直线l的斜率存在(显然k0)时,设直线方程为y=k(x-1),设C(x1,y1),D(x2,y2),联立y=k(x-1),x24+y23=1,消掉y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,显然0,方程有根,且x1+x
18、2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,所以y1+y2=k(x1+x2-2)=-6k3+4k2,此时|S1-S2|=2(|y2|-|y1|)=2|y2+y1|=12|k|3+4k2,因为k0,所以|S1-S2|=12|k|3+4k2=123|k|+4|k|1223|k|4|k|=12212=3,当且仅当k=32时等号成立,所以|S1-S2|的最大值为3,则0|S1-S2|3,所以|S1-S2|的取值范围为0,3.22.(12分)(2021届浙江杭州模拟)已知函数f(x)=x3+ax+14,g(x)=-lnx.(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(2)用minm,n
19、表示m,n中的最小值,设函数h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数.解析(1)由题意可知f(x)=3x2+a.设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0,f(x0)=0,即x03+ax0+14=0,3x02+a=0,解得x0=12,a=-34.因此,当a=-34时,x轴为曲线y=f(x)的切线.(2)当x(1,+)时,g(x)=-lnx0,从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,+)内无零点.当x=1时,若a-54,则f(1)=a+540,h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,故x=1是h(x)的零点;若a
20、-54,则f(1)0,h(1)=minf(1),g(1)=f(1)0.所以只需考虑f(x)在(0,1)内的零点个数.(i)若a-3或a0,则f(x)=3x2+a在(0,1)内无零点,故f(x)在(0,1)内单调.而f(0)=14,f(1)=a+54,所以当a-3时,f(x)在(0,1)内有一个零点;当a0时,f(x)在(0,1)内没有零点.(ii)若-3a0,即-34a0,f(x)在(0,1)内无零点;若f-a3=0,即a=-34,则f(x)在(0,1)内有唯一零点;若f-a30,即-3a-34,因为f(0)=14,f(1)=a+54,所以当-54a-34时,f(x)在(0,1)内有两个零点;当-3-34或a-54时,h(x)有一个零点;当a=-34或a=-54时,h(x)有两个零点;当-54a-34时,h(x)有三个零点.
