1、滚动测试卷一(第一三章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合A=y|y=ax,xR,AB=B,则集合B可以是()A.1,+)B.(-,1C.-1,+)D.(-,-1答案:A解析:A=y|y=ax,xR=(0,+),由AB=B得BA,故选A.2.函数y=log12(2x-1)的定义域为()A.12,+B.1,+)C.12,1D.(-,1)答案:C解析:要使函数有意义,需log12(2x-1)0,2x-10,解得120”C.“若a=1,则直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题D.命题“pq为真命题”是命题“pq为真
2、命题”的充分不必要条件答案:D解析:A项中,当m=0时,满足am2bm2,但a可以大于b,故命题是假命题,故正确;B项显然正确;C项中,原命题是真命题,故其逆否命题也为真命题,故正确;D项中,pq为真命题,可知p,q至少有一个为真,但推不出pq为真命题,故错误.故选D.5.下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+)内单调递增的是()A.y=sin xB.y=-x2+1xC.y=x3+3xD.y=e|x|答案:C解析:选项A,C中函数为奇函数,但函数y=sinx在区间(0,+)内不是单调函数,故选C.6.已知命题p:x0,ln(x+1)0;命题q:若ab,则a2b2,下列命题为真命题的是()A.
3、pqB.p(q)C.(p)qD.(p)(q)答案:B解析:对x0,都有x+11,所以ln(x+1)0,故p为真命题.又1-2,但12(-2)2,故q为假命题,所以q为真命题,故p(q)为真命题.故选B.7.设函数f(x)=5x-m,x1,2x,x1,若ff45=8,则m=()A.2B.1C.2或1D.12答案:B解析:ff45=8,f(4-m)=8.若4-m1,即32,排除A,C.又当x+时,y+,B项不满足,D满足.9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且最小正周期为2,当0x1时,f(x)=x,则f(-1)+f(-2 017)=()A.0B.12C.1D.2答案:D解析:函数f(x)是
4、定义在R上的偶函数,且最小正周期为2,当0x1时,f(x)=x,f(-1)=f(1)=1,f(-2017)=f(2017)=f(1)=1,f(-1)+f(-2017)=1+1=2.10.设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)()A.是偶函数,且在12,+单调递增B.是奇函数,且在-12,12单调递减C.是偶函数,且在-,-12单调递增D.是奇函数,且在-,-12单调递减答案:D解析:由题意可知,f(x)的定义域为xx12,关于原点对称.f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-
5、f(x),f(x)为奇函数.当x-12,12时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),f(x)=22x+1-21-2x=4(2x+1)(1-2x)0,f(x)在区间-12,12内单调递增.同理,f(x)在区间-,-12,12,+内单调递减.故选D.11.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0时,不等式f(x)+xf(x)baB.cabC.bacD.acb答案:A解析:设F(x)=xf(x),当x0时,F(x)=xf(x)=f(x)+xf(x)1,0log21,log214log2log214,所以F(30.2)F(log2)Flog214,即ab0时,f(x)=ax(a0且
6、a1),且f(log124)=-3,则a的值为.答案:3解析:奇函数f(x)满足f(log124)=-3,而log124=-20时,f(x)=ax(a0且a1),f(2)=a2=3,解之得a=3.15.已知函数f(x)=x2+2x,g(x)=12x-m.若x11,2,x2-1,1,使f(x1)g(x2),则实数m的取值范围是.答案:-52,+解析:x11,2,x2-1,1,使f(x1)g(x2),只需f(x)=x2+2x在区间1,2上的最小值大于等于g(x)=12x-m在区间-1,1上的最小值.因为f(x)=2x-2x2=2(x3-1)x20在区间1,2上恒成立,且f(1)=0,所以f(x)=
7、x2+2x在区间1,2上单调递增,所以f(x)min=f(1)=12+21=3.因为g(x)=12x-m在区间-1,1上单调递减,所以g(x)min=g(1)=12-m,所以12-m3,即m-52.16.关于函数f(x)=sin x+1sinx有如下四个命题:f(x)的图象关于y轴对称.f(x)的图象关于原点对称.f(x)的图象关于直线x=2对称.f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是.答案:解析:对于,由sinx0可得函数的定义域为x|xk,kZ,故定义域关于原点对称,且由f(-x)=sin(-x)+1sin(-x)=-sinx-1sinx=-f(x),所以该函数为奇函数,其图象关于原
8、点对称,故错误,正确;对于,因为f(-x)=sin(-x)+1sin(-x)=sinx+1sinx=f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,正确;对于,令t=sinx,则t-1,0)(0,1,由函数g(t)=t+1t(t-1,0)(0,1)的性质,可知g(t)(-,-22,+),所以f(x)无最小值,错误.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知函数f(x)=a-22x+1.(1)求f(0);(2)探究f(x)的单调性,并证明你的结论;(3)若f(x)为奇函数,求满足f(ax)f(2)的x的取值范围.解:(1)f(0)=a-220+1=a-1.(2)f(x)在R上
9、单调递增.证明如下:f(x)的定义域为R,任取x1,x2R,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=a-22x1+1-a+22x2+1=2(2x1-2x2)(1+2x1)(1+2x2),y=2x在R上单调递增,且x1x2,02x12x2,2x1-2x20,2x2+10.f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).f(x)在R上单调递增.(3)f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x),即a-22-x+1=-a+22x+1,解得a=1(或用f(0)=0去解).f(ax)f(2)即f(x)f(2),又f(x)在R上单调递增,x2.x的取值范围为(-,2).18.(12分)随着人们生活水平的不断提
10、高,人们对餐饮服务行业的要求也越来越高,由于工作繁忙无法抽出时间来享受美味,这样网上外卖订餐应运而生.若某商家的一款外卖便当每月的销售量y(单位:千盒)与销售价格x(单位:元/盒)满足关系式y=ax-12+4(x-16)2,其中12x0,函数f(x)单调递增;当x403,16时,f(x)0,函数f(x)单调递减,所以当x=40313.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格为13.3元/盒时,该店每月销售便当所获得的利润最大.19.(12分)已知函数f(x)=x-1-aln x.(1)若f(x)0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,1+121+1221+12nm,求m的最小值.
11、解:(1)f(x)的定义域为(0,+).若a0,因为f12=-12+aln20,由f(x)=1-ax=x-ax知,当x(0,a)时,f(x)0.所以f(x)在区间(0,a)内单调递减,在区间(a,+)内单调递增.故x=a是f(x)在区间(0,+)内唯一的最小值点.由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)0.故a=1.(2)由(1)知当x(1,+)时,x-1-lnx0.令x=1+12n得ln1+12n12n.从而ln1+12+ln1+122+ln1+12n12+122+12n=1-12n1.故1+121+1221+12n2,所以m的最小值为3.20.(12分)已知函数f(x)=exax2
12、+x+1,其中aR.(1)若a=0,求函数f(x)的定义域和极值.(2)当a=1时,试确定函数g(x)=f(x)-1的零点个数,并证明.解:(1)当a=0时,函数f(x)=exx+1的定义域为x|xR,且x-1,f(x)=xex(x+1)2.令f(x)=0,得x=0.当x变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下:x(-,-1)(-1,0)0(0,+)f(x)-0+f(x)单调递减单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为(-,-1),(-1,0);单调递增区间为(0,+).故当x=0时,函数f(x)有极小值f(0)=1.函数f(x)无极大值.(2)函数g(x)存在两个零点.证明过程如下
13、:由题意,函数g(x)=exx2+x+1-1.因为x2+x+1=x+122+340,所以函数g(x)的定义域为R.求导,得g(x)=ex(x2+x+1)-ex(2x+1)(x2+x+1)2=exx(x-1)(x2+x+1)2,令g(x)=0,得x1=0,x2=1,当x变化时,g(x)和g(x)的变化情况如下:x(-,0)0(0,1)1(1,+)g(x)+0-0+g(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增故函数g(x)的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(-,0),(1,+).当x=0时,函数g(x)有极大值g(0)=0;当x=1时,函数g(x)有极小值g(1)=e3-1.因为函数g(x
14、)在区间(-,0)内单调递增,且g(0)=0,所以对于任意x(-,0),g(x)0.因为函数g(x)在区间(0,1)内单调递减,且g(0)=0,所以对于任意x(0,1),g(x)0.因为函数g(x)在区间(1,+)内单调递增,且g(1)=e3-10,所以函数g(x)在区间(1,+)内有且仅有一个x0,使得g(x0)=0,故函数g(x)存在两个零点(即0和x0).21.(12分)已知aR,函数f(x)=log21x+a.(1)当a=5时,解不等式f(x)0;(2)若关于x的方程f(x)-log2(a-4)x+2a-5=0的解集中恰有一个元素,求a的取值范围;(3)设a0,若对任意t12,1,函数
15、f(x)在区间t,t+1上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.解:(1)由log21x+50,得1x+51,解得x-,-14(0,+).(2)1x+a=(a-4)x+2a-5,(a-4)x2+(a-5)x-1=0,当a=4时,x=-1,经检验,满足题意.当a=3时,x1=x2=-1,经检验,满足题意.当a3且a4时,x1=1a-4,x2=-1,x1x2.x1是原方程的解当且仅当1x1+a0,即a2;x2是原方程的解当且仅当1x2+a0,即a1.于是满足题意的a(1,2.综上,a的取值范围为1a2或a=3或a=4.(3)当0x11x2+a,log21x1+alog21x2+a,所以f(
16、x)在区间(0,+)内单调递减.函数f(x)在区间t,t+1上的最大值与最小值分别为f(t),f(t+1).f(t)-f(t+1)=log21t+a-log21t+1+a1即at2+(a+1)t-10,对任意t12,1成立.因为a0,所以函数y=at2+(a+1)t-1在区间12,1上单调递增,t=12时,y有最小值34a-12,由34a-120,得a23.故a的取值范围为23,+.22.(12分)已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(aR).(1)若函数f(x)的图象在x=2处的切线斜率为-1,且不等式f(x)2x+m在区间1e,e上有解,求实数m的取值范围;(2)若函数f(x)的图象与
17、x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0),且0x1x2,求证:fx1+x220(其中f(x)是f(x)的导函数).答案:(1)解由f(x)=2x-2x+a,可知切线的斜率k=f(2)=a-3=-1,故a=2.因此f(x)=2lnx-x2+2x.由f(x)2x+m,得m2lnx-x2.不等式f(x)2x+m在区间1e,e上有解,m(2lnx-x2)max.令g(x)=2lnx-x2,则g(x)=2x-2x=-2(x+1)(x-1)x.x1e,e,当g(x)=0时,x=1.当1ex0;当1xe时,g(x)0.故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=-1,因此m-1,即m的取值范围为(-,
18、-1).(2)证明f(x)的图象与x轴交于两个不同的点A(x1,0),B(x2,0),方程2lnx-x2+ax=0的两个根为x1,x2,2lnx1-x12+ax1=0,2lnx2-x22+ax2=0,a=(x1+x2)-2(lnx1-lnx2)x1-x2.又f(x)=2x-2x+a,fx1+x22=4x1+x2-(x1+x2)+a=4x1+x2-2(lnx1-lnx2)x1-x2.下证4x1+x2-2(lnx1-lnx2)x1-x20,即证2(x2-x1)x1+x2+lnx1x20.设t=x1x2,0x1x2,0t1.即证(t)=2(1-t)t+1+lnt0在t(0,1)内恒成立,(t)=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2,又0t0,(t)在区间(0,1)内是增函数,(t)(1)=0,从而知2(x2-x1)x1+x2+lnx1x20,故4x1+x2-2(lnx1-lnx2)x1-x20,即fx1+x220成立.
