1、5对数函数5.1对数函数的概念 52对数函数ylog2x的图像和性质内容标准学科素养1.理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系2.了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数3.会画具体函数的图像.精准数学概念熟练等价转化加强数形结合授课提示：对应学生用书第54页基础认识知识点一对数函数下列函数是对数函数的是()Ayln x Byln(x1) Cylogxe Dylogxx提示：据对数函数定义可以判断选A.知识梳理对数函数(1)一般地，我们把函数ylogax(a0，a1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数，x是自变量，定义域是(0，)，值域是R.(2)两类特殊的
2、对数函数常用对数函数：ylg x，其底数为10.自然对数函数：yln x，其底数为无理数e.知识点二反函数你能把指数式yax(a0，a1)化成对数式吗？在这个对数式中，x是y的函数吗？提示：根据对数的定义，得xlogay(a0，a1)因为yax是单调函数，每一个y都有唯一确定的x与之对应，所以x是y的函数知识梳理反函数指数函数yax(a0，a1)是对数函数ylogax(a0，a1)的反函数；同时对数函数ylogax(a0，a1)也是指数函数yax(a0，a1)的反函数，即同底的指数函数与对数函数互为反函数知识点三函数ylog2x的图像和性质描点法作图的一般步骤是怎样的？提示：分三步：列表、描点
3、、连线知识梳理函数ylog2x的图像和性质观察函数ylog2x的图像可得：图像特征函数性质过点(1,0)当x1时，y0在y轴的右侧定义域是(0，)向上、向下无限延伸值域是R在直线x1右侧，图像位于x轴上方；在直线x1左侧，图像位于x轴下方若x1，则y0；若0x1，则y0函数图像从左到右是上升的在(0，)上是增函数思考：1.如何理解指数函数y2x与对数函数ylog2x的关系？提示：(1)如图(2)在(0，)内，指数函数y2x与对数函数ylog2x均单调递增2函数yax的定义域和值域与ylogax的定义域和值域有什么关系？提示：对数函数ylogax的定义域是指数函数yax的值域，对数函数yloga
4、x的值域是指数函数yax的定义域 自我检测1函数y2x的反函数的图像为()解析：因为y2xx与ylogx互为反函数，所以选D.答案：D2函数f(x)lg(x1)的定义域为_解析：由题意知解得1x5.故函数f(x)的定义域为(1,5答案：(1,5授课提示：对应学生用书第55页探究一对数的定义及相关定义域问题例1判断下列函数是否是对数函数？并说明理由ylogax2(a0，且a1)；ylog2x1；y2log8x；ylogxa(x0，且x1)；ylog5x.思路点拨根据对数的定义进行判断解析因为中真数是x2，而不是x，所以不是对数函数；因为中ylog2x1常数项为1，而非0，故不是对数函数；因为中l
5、og8x前的系数是2，而不是1，所以不是对数函数；因为中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数；为对数函数方法技巧判断一个函数是否是对数函数的方法(1)看形式：判断一个函数是否是对数函数，关键是看解析式是否符合ylogax(a0且a1)这一结构形式(2)明特征：对数函数的解析式具有三个特征：系数为1；底数为大于0且不等于1的常数；对数的真数仅有自变量x.只要有一个特征不具备，则不是对数函数跟踪探究1.下列函数中是对数函数的有()ylogx2；ylogax(aR)；ylog8x；yln ；ylogx(x2)；ylog2x1.A0个 B2个 C3个 D4个解析：上述六个函数均不符合对数函数的
6、定义答案：A例2求下列函数定义域(1)f(x)lg(x2)；(2)f(x)logx1(164x)思路点拨解析式有意义列不等式(组)得函数的定义域解析(1)由得x2且x3，所以定义域为(2,3)(3，)(2)由即解得1x0或0x4.所以定义域为(1,0)(0,4)方法技巧求函数定义域的三个步骤(1)列不等式(组)：根据函数f(x)有意义列出x满足的不等式(组)；(2)解不等式(组)：根据不等式(组)的解法步骤求出x满足的范围；(3)结论：写出函数的定义域提醒(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集(2)当对数型函数的底数含字母时，在求定义域时要注意分类讨论跟踪探究2.设
7、集合Ax|32x13，集合B为函数ylg(x1)的定义域，则AB()A(1,2) B1,2 C1,2) D(1,2解析：由题意知：Bx|x10x|x1，又Ax|1x2，ABx|1x2，故选D.答案：D探究二求反函数例3求下列函数的反函数(1)y10x；(2)yx； (4)ylog7x.解析(1)指数函数y10x，它的底数是10，它的反函数是对数函数ylg x.(2)指数函数yx，它的底数是，它的反函数是对数函数(3)对数函数y，它的底数是，它的反函数是指数函数yx.(4)对数函数ylog7x，它的底数是7，它的反函数是指数函数y7x.方法技巧(1)指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数
8、(2)互为反函数的两个函数的定义域、值域相反，并且反函数是相对而言的(3)互为反函数的两个函数的图像关于直线yx对称跟踪探究3.写出下列函数的反函数(用x表示自变量，y表示函数)(1)y2.5x；(2)y解析：(1)函数y2.5x的反函数是ylog2.5x(x0)(2)由y得xy，所以函数y的反函数为yx.探究三函数ylog2x的图像与性质例4根据函数f(x)log2x的图像和性质求解以下问题：(1)若f(a)f(2)，求a的取值范围；(2)求ylog2(2x1)在x2,14上的最值解析函数ylog2x的图像如图：(1)ylog2x是增函数，若f(a)f(2)，即log2alog22，则a2.
9、a的取值范围为(2，)(2)2x14，32x127，log23log2(2x1)log227.函数ylog2(2x1)在x2,14上的最小值为log23，最大值为log227.延伸探究1.(1)比较log2与log2的大小；(2)若log2(2x)0，求x的取值范围解析：(1)函数f(x)log2x在(0，)上为增函数，又，log2log2.(2)log2(2x)0，即log2(2x)log21，函数ylog2x为增函数，2x1，即x1.x的取值范围为(，1)2作出函数y|log2(x1)|2的图像，并说明其单调性解析：第一步：作出ylog2x的图像如图(1)所示；第二步：将ylog2x的图像
10、沿x轴向左平移1个单位长度，得ylog2(x1)的图像如图(2)所示；第三步：将ylog2(x1)的图像在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴的上方，得y|log2(x1)|的图像如图(3)所示；第四步：将y|log2(x1)|的图像沿y轴方向向上平移2个单位长度，得y|log2(x1)|2的图像如图(4)所示由图可知，函数y|log2(x1)|2在(1,0)上是减函数，在0，)上是增函数由图可知，函数y|log2(x1)|2在(1,0)上是减函数，在0，)上是增函数方法技巧1.函数f(x)log2x是最基本的对数函数它在(0，)上是单调递增的利用单调性可以解不等式，求函数值域，比较对数值的
11、大小2(1)一般地，函数yf(xa)b(a，b均为正数)的图像可由函数yf(x)的图像变换得到将yf(x)的图像向左或向右平移a个单位长度得到函数yf(xa)的图像，再向上或向下平移b个单位长度得到函数yf(xa)b的图像(记忆口诀：左加右减，上加下减)(2)含有绝对值的函数的图像变换是一种对称变换一般地，yf(|xa|)的图像是关于直线xa对称的轴对称图形；函数y|f(x)|的图像与yf(x)的图像在x轴上方相同，在x轴下方关于x轴对称(3)yf(x)的图像与yf(x)的图像关于y轴对称，yf(x)的图像与yf(x)的图像关于x轴对称跟踪探究4.函数f(x)的定义域为_解析：根据二次根式和对
12、数函数有意义的条件，得0x.答案：(0，授课提示：对应学生用书第56页课后小结1解与对数有关的问题，首先要保证在定义域范围内解题，即真数大于零，底数大于零且不等于1，函数定义域的结果一定要写成集合或区间的形式2指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们定义域与值域互反，图像关于直线yx对称3应注意数形结合思想在解题中的应用素养培优求函数定义域时先对解析式变形致误易错案例：已知函数f(x)log2(x1)2，求f(x)定义域易错分析：求函数定义域时，不能对f(x)的解析式变形，只能运用题目中的原始形式，否则会导致定义域“变大”或“缩小”考查概念定义的学科素养自我纠正：要使f(x)有意义，只需(x1)20，解得x1，所以f(x)的定义域为(，1)(1，).
