1、 第 4 讲 空间几何体及其表面积与体积 考试要求 1.柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，A 级要求；2.柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式，A 级要求 知 识 梳 理 1空间几何体的结构特征 多面体(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等且平行的多边形(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形 旋转体(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底
2、面的平面截圆锥得到(4)球可以由半圆面或圆面绕直径所在直线旋转得到 2柱、锥、台和球的侧面积和体积 面 积 体 积 圆柱 S 侧2rh VShr2h 圆锥 S 侧rl V13Sh13r2h13r2 l2r2 圆台 S 侧(r1r2)l V13(S 上S 下 S上S下)h 13(r21r22r1r2)h 直棱柱 S 侧Ch VSh 正棱锥 S 侧12Ch V13Sh 正棱台 S 侧12(CC)h V13(S 上S 下 S上S下)h 球 S 球面4R2 V43R3 3几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；它们的表面积等
3、于侧面积与底面面积之和 诊 断 自 测 1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)圆柱的侧面展开图是矩形()(4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()(5)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 R 32 a.()解析 如图中的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不满足“每相邻两个侧面的公共边互相平行”，所以它不是棱柱，故(1)错；(2)有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体是棱锥，故(2)错 答案(1)(2)(3)(4)(5
4、)2(必修 2P55 习题 3 改编)已知圆锥的表面积等于 12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为_ cm.解析 S 表r2rlr2r2r3r212，r24，r2(cm)答案 2 3(2015江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_ 解析 设新的底面半径为 r，由题意得13r24r2813524228，解得 r 7.答案 7 4(2016全国卷改编)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_ 解析 设正方体的棱长
5、为 a，则 a38，解得 a2.设球的半径为 R，则 2R 3a，即 R 3.所以球的表面积 S4R212.答案 12 5(2017无锡期末)三棱锥 PABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱锥 DABE 的体积为 V1，PABC 的体积为 V2，则V1V2_.解析 设 A 到平面 PBC 距离为 h，则 V1VABDE13SBDEh1314SPBCh14V2.所以V1V214.答案 14 考点一 空间几何体的结构特征 【例 1】给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底
6、面垂直的棱柱是正棱柱 其中不正确的命题为_(填序号)解析 对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错；对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故错；对于，若底面不是矩形，则错；正确 答案 规律方法 解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可【训练 1】(1)给出以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命题的个数是_(2)一个正方体内接
7、于一个球，过球心作一个截面，则截面的可能图形为_(填正确答案的序号)解析(1)命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题错，因这条腰必须是垂直于两底的腰；命题对；命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行(2)不论怎样去截这个球，都不可能出现这种情况而只要平面沿着正方体的一个对角面去截这个球，就会出现这种情况，所以答案是.答案(1)1(2)考点二 空间几何体的表面积【例 2】(1)(2017苏州调研)若圆锥底面半径为 1，高为 2，则圆锥的侧面积为_(2)(2015全国卷改编)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为该球面上的动点若三棱锥 OABC 体积的最大
8、值为 36，则球 O 的表面积为_ 解析(1)依题意得，圆锥的侧面积等于 1 1222 5.(2)三棱锥 VOABCVCOAB13SOABh，其中 h 为点 C 到平面 OAB 的距离，而底面OAB 是直角三角形，顶点 C 到底面 OAB 的最大距离是球的半径，故 VOABCVCOAB1312R336，其中 R为球 O 的半径，所以 R6，所以球 O 的表面积 S4R2144.答案(1)5(2)144 规律方法(1)根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个
9、曲面展开成平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和【训练 2】(1)(2017扬州模拟)正六棱柱的底面边长为 4，高为 6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的表面积为_.(2)(2017徐州检测)已知圆柱的底面半径为 1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为_ 解析(1)依题意，该正六棱柱的外接球的球心应是上、下底面中心连线的中点，因此其半径等于426225，其表面积等于 425100.(2)该圆柱的侧面积为 2124，一个底面圆的面积是，所以该圆柱的表面积为 426.答案(1)100(2)6 考点三 空间几何体的体积【例 3】(1)(2017南京调研)直三棱柱 ABC
10、A1B1C1的各条棱长均为 2，E 为棱 CC1的中点，则三棱锥 A1B1C1E 的体积为_(2)(2017苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，P 是棱 BB1的中点，则四棱锥 PAA1C1C 的体积为_ 解析 由题意得 SA1B1C1122 3 3，又因为 E 为棱 CC1的中点，所以 EC11，所以 V三棱锥 A1B1C1EV 三棱锥 EA1B1C113EC1SA1B1C1 33.(2)由正方体的性质可得点P到平面AA1C1C的距离等于点B到平面AA1C1C的距离，即12BD 22，故四棱锥 PAA1C1C 的体积为13S 四边形 AA1C1C
11、 22 13 2 22 13.答案(1)33 (2)13 规律方法(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解，其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解【训练 3】(1)(2017盐城模拟)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB2 cm，E 为 C1D1的中点，则三棱锥 EA1BC 的体积为_ cm3.(2)(2017徐州、宿迁、连云港三市模拟)已知圆锥的母线长为 10 cm，侧面积为 60 cm2，则此圆锥的体积为_ cm3.解析(1)V 三棱锥 E
12、A1BCV 三棱锥 EA1D1CV 三棱锥 A1D1EC13SD1ECA1D1131212223.(2)设圆锥底面圆的半径为 r，母线为 l，则侧面积 rl10r60，解得 r6，则高 hl2r28，则此圆锥的体积为13r2h1336896.答案(1)23(2)96 思想方法 1棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决 2旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状 3求几何体的体积，要注意分割与补形将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解 4与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关
13、元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径 易错防范 1台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行 2对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是如何构成的，在计算时不要多算也不要少算 3求几何体的体积问题，有时使用转换底面的方法使其高或底面易求，注意“等积转化”的思想方法.基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、填空题 1(2017无锡模拟)若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为 1，则此三棱锥的体积为_ 解析 该正三棱锥的底面积为34(2)232，
14、高为1632 33，所以该正三棱锥的体积为13 32 33 16.答案 16 2(2017宿迁模拟)用半径为 2 cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为_cm.解析 用半径为 2 cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥的母线长为 2，底面圆的周长为 2，所以底面圆的半径为 1，则这个圆锥筒的高为 2212 3(cm)答案 3 3如图所示，已知三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长均为 1，且 AA1底面 ABC，则三棱锥 B1ABC1的体积为_ 解析 三棱锥 B1ABC1的体积等于三棱锥 AB1BC1的体积，三棱锥 AB1BC1的高为 32，底面积为12，故其体积为1312 3
15、2 312.答案 312 4(2017盐城模拟)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 4 的半圆面，则该圆锥的体积为_ 解析 由圆锥的侧面展开图是面积为 4 的半圆面，得该半圆的半径是 2 2，即为圆锥的母线长半圆周长即为圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为 r，则 2 22r，解得 r 2，所以圆锥的高是 h22r2 6，体积是 V13r2h2 63.答案 2 63 5(2017苏、锡、常、镇四市调研)已知ABC 为等腰直角三角形，斜边 BC 上的中线 AD2，将ABC 沿 AD 折成 60的二面角，连接 BC，则三棱锥 CABD 的体积为_ 解析 由题意可得CDB60，DCDB，所以DCB 是边
16、长为 2 的等边三角形，且 AD平面 DCB，所以三棱锥 CABD 的体积为13SBCDAD13122 2sin 6022 33.答案 2 33 6(2017南京、盐城模拟)设一个正方体与底面边长为 2 3，侧棱长为 10的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为_ 解析 由题意可得正四棱锥的高为 2，体积为13(2 3)228，则正方体的体积为 8，所以棱长为 2.答案 2 7(2017苏州调研)将半径为 5 的圆分割成面积之比为 123 的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为 r1，r2，r3，则 r1r2r3_.解析 由题意可得三个扇形的弧长分别为53，103，5，分别
17、等于三个圆锥底面圆的周长，则 r156，r253，r352，所以 r1r2r35653525.答案 5 8(2017泰州模拟)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为 BD1的中点，三棱锥 OABD 的体积为 V1，四棱锥 OADD1A1的体积为 V2，则V1V2的值为_ 解析 V112V 三棱锥 D1ABD12V 三棱锥 BADD114V 四棱锥 BADD1A1 12V 四棱锥 OADD1A112V2，则V1V212.答案 12 二、解答题 9(2015全国卷)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点 E，F分别在 A1B1，D1C1上，A1ED1
18、F4.过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值 解(1)交线围成的正方形 EHGF 如图：(2)作 EMAB，垂足为 M，则 AMA1E4，EB112，EMAA18.因为 EHGF 为正方形，所以EHEFBC10.于是 MH EH2EM26，AH10，HB6.故 S 四边形 A1EHA12(410)856，S 四边形 EB1BH12(126)872.因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为97(79也正确)10如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADC
19、90，CDAB，AB4，ADCD2，将ADC 沿AC 折起，使平面 ADC平面 ABC，得到几何体 DABC，如图 2 所示 (1)求证：BC平面 ACD；(2)求几何体 DABC 的体积(1)证明 在题图中，可得 ACBC2 2，从而 AC2BC2AB2，故 ACBC，又平面 ADC平面 ABC，平面 ADC平面 ABCAC，BC 平面 ABC，BC平面 ACD.(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥 BACD 的高，BC2 2，SACD2，VBACD13SACDBC1322 24 23，由等体积性可知，几何体 DABC 的体积为4 23.能力提升题组(建议用时：20 分钟)11(2015全
20、国卷改编)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有_斛(保留整数)解析 设圆锥底面半径为 r，因为米堆底部弧长为 8 尺，所以2 r8，r16163(尺)，所以米堆的体积为 V1314163253209(立方尺)，又 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，所以该米堆有3209 1.6222(斛)答案
21、22 12(2017苏、锡、常、镇四市调研)设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为 V1，S1，底面半径和高均为 r 的圆锥的体积和侧面积分别为 V2，S2，若V1V2 3，则S1S2的值为_ 解析 棱长为 a 的正方体的体积 V1a3，表面积 S16a2，底面半径和高均为 r 的圆锥的体积V213r3，侧面积 S2 2r2，则V1V2 a313r3 3，则 ar，所以S1S26a22r23 2.答案 3 2 13(2017南通调研)在体积为 32 的四面体 ABCD 中，AB平面 BCD，AB1，BC2，BD3，则 CD 的长度为_ 解析 四面体 ABCD 的体积为131223sinCB
22、D1sinCBD 32，则CBD60或CBD120.当CBD60时，CD294232127，CD 7；当CBD120时，CD2942321219，CD 19，故 CD 的长度为 7或 19.答案 7或 19 14一个正三棱台的上、下底面边长分别是 3 cm 和 6 cm，高是32 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积 解(1)设 O1，O 分别为正三棱台 ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O32，过 O1作 O1D1B1C1，ODBC，则 D1D 为三棱台的斜高；过 D1作 D1EAD 于 E，则 D1EO1O32，因 O1D1 36 3 32，OD 36 6 3，则 DEODO1D1 3 32 32.在 RtD1DE 中，D1D D1E2ED2322322 3(cm)故三棱台的斜高为 3 cm.(2)设 c，c分别为上、下底的周长，h为斜高，S 侧12(cc)h12(3336)327 32(cm2)，S 表S 侧S 上S 下27 32 34 32 34 6299 34(cm2)故三棱台的侧面积为27 32 cm2，表面积为99 34 cm2.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
