1、基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.(2015全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛 B.22斛C.36斛 D.66斛解析设米堆的底面半径为r尺,则r8,所以r.所以米堆的体积为Vr255(立方尺).故堆放的米约有1.6222(斛).答案B2.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的
2、体积是3,则正视图中的x的值是()A.2 B. C. D.3解析由三视图知,该几何体是四棱锥,底面是直角梯形,且S底(12)23.Vx33,解得x3.答案D3.(2017宁波十校联考)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A.1 B.2 C.12 D.2解析四面体的直观图如图所示.侧面SAC底面ABC,且SAC与ABC均为腰长是的等腰直角三角形,SASCABBC,AC2.设AC的中点为O,连接SO,BO,则SOAC,又SO平面SAC,平面SAC平面ABCAC,SO平面ABC,又BO平面ABC,SOBO.又OSOB1,SB,故SAB与SBC均是边长为的正三角形,故该四面体的表面积为
3、22()22.答案B4.(2015全国卷)已知A,B是球O的球面上两点,AOB90,C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36 B.64 C.144 D.256解析因为AOB的面积为定值,所以当OC垂直于平面AOB时,三棱锥OABC的体积取得最大值.由R2R36,得R6.从而球O的表面积S4R2144.答案C5.(2017青岛模拟)如图,四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形,NB2PN,则三棱锥NPAC与三棱锥DPAC的体积比为()A.12 B.18C.16 D.13解析设点P,N在平面ABCD内的投影分别为点P,N,则PP平面ABCD,NN平面
4、ABCD,所以PPNN,则在BPP中,由BN2PN得.V三棱锥NPACV三棱锥PABCV三棱锥NABCSABCPPSABCNNSABC(PPNN)SABCPPSABCPP,V三棱锥DPACV三棱锥PACDSACDPP,又四边形ABCD是平行四边形,SABCSACD,.故选D.答案D二、填空题6.(2016浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是_cm2,体积是_cm3.解析由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成,上面正方体的边长为2 cm,下面长方体是底面边长为4 cm,高为2 cm,其直观图如右图:其表面积S62224242422280(cm2).体
5、积V22244240(cm3).答案80407.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为_.解析依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径,可设球半径为R,则2R2,解得R1,所以VR3.答案8.(2017湖州质检)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_;表面积为_.解析由三视图可知,该几何体是一个底面半径为1,高为2的圆柱和底面半径为1,高为1的半圆锥拼成的组合体.体积V122121;半圆锥母线l,S表12212121211.答案1三、解答题9.已知一个几何体的三视图如图所示. (1)求此几何体的表面积;(2)如果点P,Q在正视图中所示位置,P为
6、所在线段中点,Q为顶点,求在几何体表面上,从P点到Q点的最短路径的长.解(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.S圆锥侧(2a)(a)a2,S圆柱侧(2a)(2a)4a2,S圆柱底a2,所以S表a24a2a2(5)a2.(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面,如图.则PQa,所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a.10.(2015全国卷)如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB16,BC10,AA18,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1ED1F4.过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形
7、.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.解(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.(2)如图,作EMAB,垂足为M,则AMA1E4,EB112,EMAA18.因为四边形EHGF为正方形,所以EHEFBC10.于是MH6,AH10,HB6.故S四边形A1EHA(410)856,S四边形EB1BH(126)872.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为.能力提升题组(建议用时:25分钟)11.若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形,且其体积为,则该几何体的俯视图可以是()解析若俯视图为A,则该几何体为正方体,
8、其体积为1,不满足条件.若俯视图为B,则该几何体为圆柱,其体积为1,不满足条件.若俯视图为C,则该几何体为三棱柱,其体积为111,满足条件.若俯视图为D,则该几何体为圆柱的,体积为1,不满足条件.答案C12.(2017丽水调研)在三棱锥PABC中,PA平面ABC,ACBC,D为侧棱PC上的一点,它的正视图和侧视图如图所示,则下列命题正确的是()A.AD平面PBC且三棱锥DABC的体积为B.BD平面PAC且三棱锥DABC的体积为C.AD平面PBC且三棱锥DABC的体积为D.BD平面PAC且三棱锥DABC的体积为解析因为PA平面ABC,所以PABC,又ACBC,PAACA,所以BC平面PAC,所以
9、BCAD,又由三视图可得,在PAC中,PAAC4,D为PC的中点,所以ADPC,又PCBCC,故AD平面PBC.又由三视图可知BC4,ADC90,BC平面PAC,故VDABCVBADC224.答案C13.(2017嘉兴调研)一个空间几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则侧视图的面积为_cm2,该几何体的体积为_cm3.解析根据几何体的三视图,得:该几何体的左边是半圆锥,右边是直三棱锥的组合体,如图所示;且该几何体侧视图是底边长为2,高为1的等腰三角形,面积为211 cm2,该几何体的体积为V半圆锥V三棱锥121211 cm3.答案114.四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的
10、平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积;(2)证明:四边形EFGH是矩形.(1)解由该四面体的三视图可知,BDDC,BDAD,ADDC,BDDC2,AD1,又BDDCD,AD平面BDC,四面体ABCD的体积V221.(2)证明BC平面EFGH,平面EFGH平面BDCFG,平面EFGH平面ABCEH,BCFG,BCEH,FGEH.同理,EFAD,HGAD,EFHG,四边形EFGH是平行四边形.又AD平面BDC,BC平面BDC,ADBC,EFFG,四边形EFGH是矩形.15.如图所示,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于
11、A,B的任意一点,AA1AB2.(1)求证:BC平面A1AC;(2)求三棱锥A1ABC的体积的最大值.(1)证明因为C是底面圆周上异于A,B的一点,且AB为底面圆的直径,所以BCAC.因为AA1平面ABC,BC平面ABC,所以AA1BC.因为AA1ACA,AA1平面A1AC,AC平面A1AC,所以BC平面A1AC.(2)解法一设ACx,在RtABC中,BC(0x2),故VA1ABCSABCAA1ACBCAA1x(0x2),即VA1ABCx.因为0x2,所以0x24.所以当x22,即x时,三棱锥A1ABC的体积取得最大值为.法二在RtABC中,AC2BC2AB24,VA1ABCSABCAA1ACBCAA1ACBC.当且仅当ACBC时等号成立,此时ACBC.所以三棱锥A1ABC的体积的最大值为.