1、基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A.14斛 B.22斛C.36斛 D.66斛解析设米堆的底面半径为r尺，则r8，所以r.所以米堆的体积为Vr255(立方尺).故堆放的米约有1.6222(斛).答案B2.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的
2、体积是3，则正视图中的x的值是()A.2 B. C. D.3解析由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底(12)23.Vx33，解得x3.答案D3.(2017宁波十校联考)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A.1 B.2 C.12 D.2解析四面体的直观图如图所示.侧面SAC底面ABC，且SAC与ABC均为腰长是的等腰直角三角形，SASCABBC，AC2.设AC的中点为O，连接SO，BO，则SOAC，又SO平面SAC，平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC，又BO平面ABC，SOBO.又OSOB1，SB，故SAB与SBC均是边长为的正三角形，故该四面体的表面积为
3、22()22.答案B4.(2015全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A.36 B.64 C.144 D.256解析因为AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥OABC的体积取得最大值.由R2R36，得R6.从而球O的表面积S4R2144.答案C5.(2017青岛模拟)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，NB2PN，则三棱锥NPAC与三棱锥DPAC的体积比为()A.12 B.18C.16 D.13解析设点P，N在平面ABCD内的投影分别为点P，N，则PP平面ABCD，NN平面
4、ABCD，所以PPNN，则在BPP中，由BN2PN得.V三棱锥NPACV三棱锥PABCV三棱锥NABCSABCPPSABCNNSABC(PPNN)SABCPPSABCPP，V三棱锥DPACV三棱锥PACDSACDPP，又四边形ABCD是平行四边形，SABCSACD，.故选D.答案D二、填空题6.(2016浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3.解析由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的边长为2 cm，下面长方体是底面边长为4 cm，高为2 cm，其直观图如右图：其表面积S62224242422280(cm2).体
5、积V22244240(cm3).答案80407.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_.解析依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R2，解得R1，所以VR3.答案8.(2017湖州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_；表面积为_.解析由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱和底面半径为1，高为1的半圆锥拼成的组合体.体积V122121；半圆锥母线l，S表12212121211.答案1三、解答题9.已知一个几何体的三视图如图所示. (1)求此几何体的表面积；(2)如果点P，Q在正视图中所示位置，P为
6、所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长.解(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.S圆锥侧(2a)(a)a2，S圆柱侧(2a)(2a)4a2，S圆柱底a2，所以S表a24a2a2(5)a2.(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图.则PQa，所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a.10.(2015全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
7、.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.解(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.(2)如图，作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EB112，EMAA18.因为四边形EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，AH10，HB6.故S四边形A1EHA(410)856，S四边形EB1BH(126)872.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是()解析若俯视图为A，则该几何体为正方体，
8、其体积为1，不满足条件.若俯视图为B，则该几何体为圆柱，其体积为1，不满足条件.若俯视图为C，则该几何体为三棱柱，其体积为111，满足条件.若俯视图为D，则该几何体为圆柱的，体积为1，不满足条件.答案C12.(2017丽水调研)在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是()A.AD平面PBC且三棱锥DABC的体积为B.BD平面PAC且三棱锥DABC的体积为C.AD平面PBC且三棱锥DABC的体积为D.BD平面PAC且三棱锥DABC的体积为解析因为PA平面ABC，所以PABC，又ACBC，PAACA，所以BC平面PAC，所以
9、BCAD，又由三视图可得，在PAC中，PAAC4，D为PC的中点，所以ADPC，又PCBCC，故AD平面PBC.又由三视图可知BC4，ADC90，BC平面PAC，故VDABCVBADC224.答案C13.(2017嘉兴调研)一个空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则侧视图的面积为_cm2，该几何体的体积为_cm3.解析根据几何体的三视图，得：该几何体的左边是半圆锥，右边是直三棱锥的组合体，如图所示；且该几何体侧视图是底边长为2，高为1的等腰三角形，面积为211 cm2，该几何体的体积为V半圆锥V三棱锥121211 cm3.答案114.四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的
10、平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形.(1)解由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1，又BDDCD，AD平面BDC，四面体ABCD的体积V221.(2)证明BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理，EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形.又AD平面BDC，BC平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形.15.如图所示，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于
11、A，B的任意一点，AA1AB2.(1)求证：BC平面A1AC；(2)求三棱锥A1ABC的体积的最大值.(1)证明因为C是底面圆周上异于A，B的一点，且AB为底面圆的直径，所以BCAC.因为AA1平面ABC，BC平面ABC，所以AA1BC.因为AA1ACA，AA1平面A1AC，AC平面A1AC，所以BC平面A1AC.(2)解法一设ACx，在RtABC中，BC(0x2)，故VA1ABCSABCAA1ACBCAA1x(0x2)，即VA1ABCx.因为0x2，所以0x24.所以当x22，即x时，三棱锥A1ABC的体积取得最大值为.法二在RtABC中，AC2BC2AB24，VA1ABCSABCAA1ACBCAA1ACBC.当且仅当ACBC时等号成立，此时ACBC.所以三棱锥A1ABC的体积的最大值为.