1、1.3.2 函数的极值与导数目标定位重点难点1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2.理解极大值和极小值的概念3.掌握求可导函数极大值和极小值的方法和步骤重点：求函数极值的方法和步骤难点：函数极值的概念的理解1极值与极值点若函数f(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.类似地，f(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧_，右侧_f(x)0f(x)0我们把a点叫做函数的_，f(a)叫做函数的_；b点叫做函数的_，f(b)叫做函数的_极小值点、
2、极大值点统称为_，极大值和极小值统称为_极值反映了函数在某_的大小情况，刻画的是函数的_性质极小值点极小值极大值点极大值极值点极值一点附近局部2求函数f(x)的极值的方法解方程f(x)0.当f(x0)0时：(1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧_，那么f(x0)是_；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧_，那么f(x0)是_；(3)如 果 f(x)在 点 x0 的 左 右 两 侧 符 号 不 变，则 f(x0)_f(x)0极小值不是极值1函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有极小值，则()A0b1Bb0Db0，得x1，函数f(x)的增区间为，13 与(1，)令f(x)0，得13x
3、1，函数f(x)的减区间为13，1.此类问题根据极值点为导函数的零点构造方程组，从而求出待定系数，其中极值点可以看成是函数单调递增和单调递减区间的分界点2已知函数f(x)x5ax3bx1，当且仅当x1或x1时取得极值且极大值比极小值大4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的极大值和极小值【解析】(1)f(x)x5ax3bx1的定义域为R，f(x)5x43ax2b.当x1时有极值，53ab0.f(1)ab2，f(1)ab，极大值比极小值大4，(ab2)(ab)4或(ab2)(ab)4，即ab1或ab3.由53ab0，ab1，解得a3，b4.此时f(x)x53x34x1，f(x)5x49x24(
4、5x24)(x21)，f(x)有4个极值点，不合题意由53ab0，ab3，解得a1，b2.此时f(x)x5x32x1，f(x)5x43x22(5x22)(x21)，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值极大值为f(1)3，极小值为f(1)1，满足题意a1，b2.(2)由(1)得极大值为f(1)3，极小值为f(1)1.利用极值研究方程根的问题【例3】设函数f(x)x392x26xa.(1)对于任意实数x，f(x)m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围【解题探究】(1)对xR，f(x)mf(x
5、)m0恒成立，求解即可得出m的最大值；(2)由分析可知f(x)既有极大值，又有极小值，要求f(x)0有且仅有一个实根，则f(x)极大0或f(x)极小0，即可求解a的取值范围【解析】(1)f(x)3x29x6.因为对于任意实数x，f(x)m，即3x29x(6m)0恒成立，所以8112(6m)0.解得m34，即m的最大值为34.(2)f(x)3x29x63(x1)(x2)当x0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取极大值f(1)52a；当x2时，f(x)取极小值f(2)2a.故当f(2)0或f(1)0时，f(x)0仅有一个实根解得a52.对于该题中的恒成立问题，一方面可以
6、构造函数，通过判别式确定m的最大值；另一方面可以通过求f(x)的最小值来确定m的最大值方程有零点可以通过导数将函数的大致图象画出来，根据图象求得参数的取值范围3设函数f(x)x36x5，xR.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实数根，求实数a的取值范围【解析】(1)f(x)3x26，令f(x)0，解得x 2或x 2.当x 2或x 2时，f(x)0；当 2x 2时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(，2)，(2，)；单调递减区间为(2，2)当x2时，f(x)有极大值542；当x2时，f(x)有极小值54 2.(2)由(1)的分析知yf(x)的
7、大致走向如图所示，当542a542 时，直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)a有三个不同的实数根导数为零时不一定有极值【示例】若f(x)x3ax2bxa2在x1时有极值10，求ab的值【错解】f(x)3x22axb.当x1时，f(x)有极值是10，则f110，f10，即1aba210，32ab0，解得a4，b11 或a3，b3.故ab7或ab0.【错因分析】可导函数在一点的导数值为0是函数在这一点取得极值的必要条件，而非充分条件，本题忽略了对所得两组解进行检验，从而出现了错误【正解】(接错解)当a4，b11时，f(x)x34x211x16，得f(x)3x28x11(3x1
8、1)(x1)当x113，1 时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.故当x1时，f(x)为极小值当a3，b3时，f(x)3(x1)20，即x1为非极值点所以a3，b3舍去，故ab7.【警示】可导函数的极值点必须是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点，如f(x)x3，在x0处导数f(x)0，但x0不是它的极值点即可导函数在点x0处的导数f(x0)0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件1利用导数求函数极值的主要步骤：求f(x)解方程f(x)0判断f(x)在各根左右两侧的符号，进一步确定函数的极值，如果在点x0两侧的单调性相反，则x0为极值点，否则它不是极值点2可导函数的极值点一定是导
9、数为零的点，导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充分条件是该点两侧的导数异号3一般地，列表分析x，y，y的变化情况是求极值的有效方法；也可画出导函数图象判断极值情况1下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是()Ayx3Byx1xCyxexDyln(x)【答案】B【解析】A选项，y2x20恒成立，即yx3无极值；B选项，y11x2，经计算可知x1是极值点，而f(x)x 1xx1x f(x)，yx1x为奇函数；C选项，yxex不是奇函数；D选项，其定义域不关于原点对称，不是奇函数故选B2(多选题)函数 f(x)13x3x23x1，以下关于此函数的说法正确的是()A在 x-1 处取得极小值B在
10、 x1 处取得极大值C在 x3 处取得极小值D在 x3 处取得极大值【答案】AD【解析】f(x)x22x3，令f(x)0，解得x1或x3，当x(，1)时，f(x)0；当x(1,3)时，f(x)0；当x(3，)时，f(x)0.所以函数f(x)既有极大值又有极小值，在x3处取得极大值，在x1处取得极小值故选D3.(2019 年广东广州模拟)已知 f(x)x33ax2bxa2 在 x1时有极值 0，则 ab()A7B2C7 或2D7 或 2【答案】A【解析】由题意得 f(x)3x26axb，则a23ab10，b6a30，解得a1，b3或a2，b9，经检验当 a1，b3 时，函数 f(x)在 x1 处无法取得极值，而 a2，b9 满足题意，故 ab7.4已知函数f(x)2f(1)ln xx，则f(x)的极大值为_【答案】2ln 22【解析】根据题意，知f(x)2f1x1(x0)，则f(1)2f(1)1，解得f(1)1，所以f(x)2ln xx，f(x)2x1.当x(0,2)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0.所以f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，)上单调递减所以x2是f(x)的极大值点，即f(x)的极大值为f(2)2ln 22.
