1、第2讲四种命题和充要条件考试要求1.命题的概念，命题的四种形式及相互关系，A级要求；2.充分条件、必要条件、充要条件的含义，B级要求知 识 梳 理1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且q pp是q的必要不充分条件p q且qpp是q的充要条件pqp是
2、q的既不充分也不必要条件p q且q p4.证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性)诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)“x22x30，yR，则“xy”是“x|y|”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)解析xyx|y|(如x1，y2)但x|y|时，能有xy.“xy”是“x|y|”的必要不充分条件答案必要不充分4命题“若a3，则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为_解析原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a6，则a3”是假命题，从而其否命题也是
3、假命题因此四个命题中有2个假命题答案25(2017扬州中学检测)已知函数f(x)的定义域为R，则命题p：“函数f(x)为偶函数”是命题q：“x0R，f(x0)f(x0)”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)解析若f(x)为偶函数，则有f(x)f(x)，所以pq；若f(x)x，当x0时，f(0)f(0)，而f(x)x为奇函数，所以p.“命题p”是“命题q”的充分不必要条件答案充分不必要考点一四种命题的关系及其真假判断【例1】 (1)命题“若x23x40，则x4”的逆否命题及其真假性为_(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于
4、其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为_解析(1)根据逆否命题的定义可知逆否命题为“若x4，则x23x40”；由x23x40，得x4或1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题(2)由共轭复数的性质，|z1|z2|，原命题为真，因此其逆否命题为真；取z11，z2i，满足|z1|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，其逆命题为假，故其否命题也为假答案(1)“若x4，则x23x40”为假命题(2)假，假，真规律方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提
5、不变(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假【训练1】 已知：命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”，则下列结论正确的是_(填序号)否命题是“若函数f(x)exmx在(0，)上是减函数，则m1”，是真命题；逆命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是增函数”，是假命题；逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是减函数”，是真命题；逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不
6、是增函数”，是真命题解析由f(x)exmx在(0，)上是增函数，则f(x)exm0恒成立，m1.因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题答案考点二充分条件与必要条件的判定【例2】 (1)函数f(x)在xx0处导数存在若p：f(x0)0；q：xx0是f(x)的极值点，则p是q的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个).(2)(2017衡阳一模改编)“a1”是“直线axy10与直线(a2)x3y20垂直”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)解析(1)由极值
7、的定义，qp，但pq.例如f(x)x3，在x0处f(0)0，f(x)x3是增函数，x0不是函数f(x)x3的极值点因此p是q的必要不充分条件(2)直线axy10与直线(a2)x3y20垂直的充要条件为a(a2)1(3)0，解得a1或3，故“a1”是“直线axy10与直线(a2)x3y20垂直”的充分不必要条件答案(1)必要不充分(2)充分不必要规律方法充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题
8、，如“xy1”是“x1或y1”的何种条件，即可转化为判断“x1且y1”是“xy1”的何种条件【训练2】 (2016山东卷改编)已知直线a，b分别在两个不同的平面 ，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)解析由题意知a，b，若a，b相交，则a，b有公共点，从而，有公共点，可得出，相交；反之，若，相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面因此“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件答案充分不必要考点三充分条件、必要条件的应用(典例迁移)【例3】 (经典母题)已知Px|x28x200，非
9、空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要条件，求m的取值范围解由x28x200，得2x10，Px|2x10xP是xS的必要条件，则SP.解得m3.又S为非空集合，1m1m，解得m0.综上，可知0m3时，xP是xS的必要条件【迁移探究1】 本例条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件？解由例题知Px|2x10若xP是xS的充要条件，则PS，这样的m不存在.【迁移探究2】 本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围解由例题知Px|2x10綈P是綈S的必要不充分条件，P是S的充分不必要条件，PS且SP.2,101m,1m或m9，则m的取值范围是9，)规律方法充分条件、必
10、要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；(2)要注意区间端点值的检验【训练3】 ax22x10只有负实根的充要条件是_解析当a0时，原方程为一元一次方程2x10，有一个负实根x.当a0时，原方程为一元二次方程，又ax22x10只有负实根，所以有即0a1.综上，方程只有负根的充要条件是0a1.答案0a1思想方法1写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆
11、否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定2充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假(2)等价法：即利用AB与綈B綈A；BA与綈A綈B；AB与綈B綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：设Ax|p(x)，Bx|q(x)；若AB，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若AB，则p是q的充要条件易错防范1当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提2判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式3判断条件之间的关系要注意条
12、件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.基础巩固题组(建议用时：20分钟)1(2015山东卷改编)设mR, 命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是_解析根据逆否命题的定义，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是“若方程x2xm0没有实根，则m0”答案若方程x2xm0没有实根，则m02“x1”是“x22x10”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)解析因为x22x10有两个相等的实数根为x1，所以“x1”是“x22x10”的充要条件答案充要3设，是两个不同的平面，m是直线且m，则“m”是“ ”的_条件(
13、从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)解析m，m ，但m，m，“m”是“ ”的必要不充分条件答案必要不充分4“若ab，则ac2bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是_解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题答案25“sin cos ”是“cos 20”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)解析cos 20等价于cos2sin20，即cos sin .由cos sin 得到cos 20；反之不成立“sin cos ”是“cos 20”的充分不必要条件答案充分不必要6(2017
14、安徽江南十校联考改编)“a0”是“函数f(x)sin xa为奇函数”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)解析显然a0时，f(x)sin x为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(x)f(x)0.又f(x)f(x)sin(x)asin xa0.因此2a0，故a0.所以“a0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件答案充要7给出以下结论：命题“若x23x40，则x4”的逆否命题为“若x4，则x23x40”；“x4”是“x23x40”的充分条件；命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆命题为真命题；命题“若m2n20，则m0且n0”的否命题是“若m2n20，
15、则m0或n0”则其中错误的是_(填序号)解析中命题的逆命题为“若方程x2xm0有实根，则m0”若方程有实根，则14m0，即m，不能推出m0.所以不是真命题均正确答案8设xR，则“1x2”是“|x2|1”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)解析由|x2|1，得1x3，所以1x21x3；但1x3 1x2.所以“1x2”是“|x2|”是“ln aln b”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)解析由ln aln bab0，故必要性成立当a1，b0时，满足，但ln b无意义，所以ln aln b不成立，故充分性不
16、成立答案必要不充分11已知命题p：axa1，命题q：x24x0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_解析令Mx|axa1，Nx|x24x0x|0x4p是q的充分不必要条件，MN，解得0ab，则a2b2”的否命题；“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若x24，则2x1且y1，q：实数x，y满足xy2，则p是q的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)解析若x1且y1，则xy2.所以pq；反之xy2 x1且y1，例如x3，y0，所以p.因此p是q的充分不必要条件答案充分不必要14(2017苏北四市联考)已知mR，则“函数y2xm1有零点”
17、是“函数ylogmx在(0，)上为减函数”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)解析由y2xm10，得m12x，则m1.由于函数ylogmx在(0，)上是减函数，所以0m0”是“x1”的充分不必要条件；命题：“xR，sin x1”的否定是“x0R，sin x01”；“若x，则tan x1”的逆命题为真命题；若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)f(log23)0.解析中“x2x20”是“x1”的必要不充分条件，故错误对于，命题：“xR，sin x1”的否定是“x0R，sin x01”，故正确对于，“若x，则tan x1”的逆命题为“若tan x1，则x”，其为假命题，故错误对于，若f(x)是R上的奇函数，则f(x)f(x)0，log32log32，log32与log23不互为相反数，故错误答案特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
