1、第四章 指数函数与对数函数 4.1 指数 银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把它称为“世界第一活化石”.【引例】同学们能认出图片中的叶子和果实是什么树的吗？你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多万年前就存在的吗?树干化石 树叶化石 当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关
2、系,这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题:(1)当生物死亡了5 730,5 7302,5 7303,年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?1,221(),2L31(),2科学家的秘密工具-半衰期(2)由以上的实例来推断关系式是 5 7301().2tP 考古学家根据上式可以知道,生物死亡t年后,体内碳14的含量P的值.这里的幂指数已经不是正整数，而是分数，这些分数指数幂应该如何计算呢？这就是我们下面要研究的指数与指数幂的运算，为此先学习根式相关的知识。1.掌握n次根式及根式的概念；（重点）2.正确运用指数的运算性质进行运算.(难点）通过根式概念的形成过程，培养数学抽象的核
3、心素养,通过分数指数幂的化简求值，培养数学运算的核心素养 体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂微课1 由初中所学知识及示例完成下面填空 类似地，(2)4=16，则2叫做16的 ；25=32，则2叫做32的 .4次方根 5次方根 示例：(2)2，则称为的 ；23=8，则称为8的 ；平方根立方根xn=a，其中n1，且nN 一般地，如果xna，那么x叫做a的 ，其中n1，且nN.n次方根 2(1)32的五次方根等于_.(2)81的四次方根等于_.(3)0的七次方根等于_.5232 43813 0 700n次方根的概念【即时训练】1.正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根 是
4、一个负数；0的奇次方根是0.2.正数的偶次方根有两个，且互为相反数；负数 没有偶次方根；0的偶次方根是0.方根的性质 0的任何次方根都是0，记作 =0.0n当n为奇数时，nxa(aR)当n为偶数时，0nxa(a)3.方根的表示方法：微课2 在方根的表示中，你知道式子 叫什么吗？式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.n a根指数被开方数根式n an a3543541.(2),(2),(2)结论：()nn aa335544(2)=2,(2)2,(2)2 微课3 你能根据方根的意义确定下面式子的值吗？.nnaa结论:an开奇次方根,则有|.nnaa结论:an开偶次方根,则有 55(1)2
5、，33(2).222(3)3 332(2)3，2(3).44(2)2 22，44(3)2.44(2)2.求下列各式的值 当n为任意正整数时，()n=a.n a当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.nnanna00a,(a)a,(a)根式的运算性质 思考1.分数指数幂与根式有何关系？提示：分数指数幂是根式的另一种形式，它们可以互化,通常将根式化为分数指数幂的形式,方便化简与求值.思考2.规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就可以从整数指数推广到了什么数集？有理数集 53453(2)7 32(3)a 79(4)a 35(1)4 351723a把下列的分数指数式化为根式，把根式化成 分数指
6、数式.97a;.【总结规律】规定了正数的分数指数幂的意义，我们就可以实现分数指数幂与根式之间的相互转化【即时训练】整数指数幂的运算性质：（1）（2）（3）(0,);mna aam nZ()(0,);m naam nZ)(0,)mabam n（微课4 整数指数幂的运算性质有哪些？m namnamma b (1)(0,);rsr saaaar sQ(2)()(0,);rsrsaaar sQ(3)()(0,0,).rrraba b abrQ 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用：例1 求下列各式的值:（1）；（2）；（3）；（4）33(8)2(10)44(3)2()().abab解：（1）
7、（2）（3）（4）33(8)8;2(10)1010;44(3)33;2()().abababab注意符号 根式化简或求值的注意点：解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值.【总结规律】计算：x3()Ax x Bx x Cx x Dx x 【解 析】由 已 知，得 x30，所 以x3 2 x x2 x|x|x x，选 C.C【变式练习】例2.求值：21353241168;25;,.281（）（）解析：2223323338(2)224;1112()21222125(5)55;5 51551(2)232;2（）334()344162227.81
8、338（）（）（）【解题关键】注意把数转化成乘方的形式【变式练习】求值 3416 813271255312641812142 例3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a0):33223;.aaaaa a【解题关键】将根式转化为有理数指数幂，根据有理数指数幂的运算法则解决.解析：117333222;aaaaaa22823222333;aaaaaa14211333322()().a aa aaa分清层次 由里向外 用分数指数幂表示下列各式：32(1);x34(2)()(0);abab23(3)()();mnmn23x34()ab23()mn【变式练习】例4.计算下列各式（式中字母都是正数）：21
9、1511336622(1)(2)(6)(3);a ba ba b 31884(2)().m n【解题关键】根据有理数指数幂的运算法则和负分数指数幂的意义求解.解析：211511336622(1)(2)(6)(3)a ba ba b 331128882388443(2)()()().mm nmnm nn2 1 11 1 503 2 62 3 62(6)(3)44;ababa 熟记运算性质 计算下列各式的值：111824(1);a a a1123331(2)22.2xxx（）解：11 1 151182 4 8824(1);a a aaa 11233314(2)221.2xxxx（）【变式练习】例5
10、.计算下列各式：34(1)(25125)25;232(2)(0).aaaa解：34(1)(25125)251 25222652 36213232(2).aaaaaaaaa 223113133222222 13 13222166(55)55555555555;熟记运算性质 计算下列各式的值：3236(1)=;49（）63(2)2 31.512=.解：3323223666216(1);4977343（）（）（）1 11 1 11633 32 3 6(2)2 31.512236.2163436【变式练习】根式的运算【提升总结】有理数指数幂运算 根式 最后结果表示成根式【提升总结】幂指数定 义底数的取
11、值范围正整数指数零指数负整数指数正分数指数负分数指数an=aaa n个 aR a0=1 aR且a0 nn1a(nN*)a aR且a0 nnmmaa(m,nN*,m,n)且互质m为奇数 aR m为偶数 a0 nmnm1a(m,nN*,am,n)且互质m为奇数 m为偶数 aR且 a0 a0 底数的要求不同哦 微课5 知道了有理数指数幂的意义，那么无理数指数幂我们该如何理解呢？观察表格：是否表示一个确定的实数？25 的近似值 的不足近似值 9.518 269 694 1.4 9.672 699 729 1.41 9.735 171 039 1.414 9.738 305 174 1.414 2 9.
12、738 461 907 1.414 21 9.738 508 928 1.414 213 9.738 516 765 1.414 213 5 9.738 517 705 1.414 213 56 9.738 517 736 1.414 213 562 225 的过剩近似值 的近似值 1.5 11.180 339 89 1.42 9.829 635 328 1.415 9.750 851 808 1.414 3 9.739 872 62 1.414 22 9.738 618 643 1.414 214 9.738 524 602 1.414 213 6 9.738 518 332 1.414 2
13、13 57 9.738 517 862 1.414 213 563 9.738 517 752 225 由表格可以看出：可以由 的不足近 似值和过剩近似值进行无限逼近.225有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.幂指数的范围又扩大到了实数 一般地，无理数指数幂 是一个确定的实数，可以由有理数指数幂无限逼近而得到。(0,aa是无理数）2222【即时训练】计算222+22 2222=2=2=4.解析：核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 n次方根 分数指数幂的意义 有理数指数幂的运算性质 概念 性质 表示 转化法：根式的运算转化为幂的运算，最后将结果转化为根式 1.的形式化简对n要分奇偶
14、讨论 nna2.的形式化简已包含使根式有意义的条件 nn a3.代数式的化简结果不能同时含有根式和分数指数 1.数学抽象：通过根式概念的形成过程，培养数学抽象的核心素养 2.数学运算：通过分数指数幂的化简求值，培养数学运算的核心素养 1.(ab)25(ab)5的值是()A0 B2(ab)C0 或 2(ab)Dab 【解析】选 C.分类讨论，当 ab0 时，原式(ab)(ab)2(ab)；当 ab0 时，原式(ab)(ab)0.C 2当(1x1)0 有意义时，x 的取值范围是()Ax|x1 Bx|x0Cx|x0,1 D以上答案都不对C【解题关键】0的0次方无意义。3.求下列各式的值 551(2)
15、=（）442(10)=（）443()=ab（）10(),().ababbaab；2；.【解题关键】：确定被开方数的正负 4.若6a7,则 5计算 22(6)+(7)aa1 4325270.062 5+-=4842334 153()+()-()22215 33+-=.22 2232【解析】原式=注意符号 6.求 的值.224 1 aa13a1 a【解析】要使原式有意义，须使 221a0a101a0 成立，所以a=-1 原式=33112 7.设x+x-1=2，则x2+x-2的值为（）A8 B2 C4 D2【解析】因为x+x-1=2，所以（x+x-1）2=22，即x2+x-2+2=4 所以x2+x-
16、2=2 D 如何求 的值呢？1122xx2【互动探究】8.将 化为分数指数幂的形式是_.a a a78a7133 137 118222 244 2a a aa a aa aa aaaa.解析：【互动探究】若将题变为 又如何化为分数指数幂的 形式呢？【解析】333a a a，111333333333441313333339927a a aa a aa aa aa aaa.9.求下列各式的值.141030.753322110327(1)(0.064)()(2)160.01;83(2)(3)(0.002)10(52)(23).8 143101111430.41(2)20.11;41681080 解析:（1）原式=2132213227110()()185005227()(500)10(52)18416710 510 5201.99 （2）原式=10.已知 ，求2a+b的值.ab10050,102解析：又 2a+b=2 a2a10050,1050b2a b2102,1010010 看似平坦的成功之路往往是由无数失败的石头加上努力的柏油铺成的。
