1、11.9离散型随机变量的均值与方差、正态分布考纲展示1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念2能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题3利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义考点1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值：称E(X)_为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的_(2)D(X)xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均_程度，其算术平方根为随机变量X的标准差答案：(1)x1p1x2p2xipixnpn平均水平(2)
2、偏离(1)教材习题改编设XB(n，p)，若D(X)4，E(X)12，则n的值为_答案：18解析：XB(n，p)，解得p，n18.(2)教材习题改编一台机器在一天内发生故障的概率为0.1.这台机器一周五个工作日不发生故障，可获利5万元；发生一次故障仍可获利2.5万元；发生两次故障的利润为0万元；发生三次或者三次以上的故障要亏损1万元则这台机器一周内可能获利的均值是_万元答案：3.764 015解析：设这台机器一周内可能获利X万元，则P(X5)(10.1)50.590 49，P(X2.5)C0.1(10.1)40.328 05，P(X0)C0.12(10.1)30.072 9，P(X1)1P(X5
3、)P(X2.5)P(X0)0.008 56，所以X的分布列为X52.501P0.590 490.328 050.072 90.008 56所以，这台机器一周内可能获利的均值为50.590 492.50.328 0500.072 9(1)0.008 563.764 015(万元)(3)教材习题改编随机变量的分布列为101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E()，则D()_.答案：解析：由题意有abc1,2bac，ac，得a，b，c，所以D()222.离散型随机变量的均值与方差：随机变量的取值；对应取值的概率计算签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的6支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之
4、中最大的一个，则X的数学期望为_答案：5.25解析：由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6)，所以由数学期望的定义可求得E(X)5.25.考情聚焦离散型随机变量的均值与方差是高中数学的重要内容，也是高考命题的热点，常与排列组合、概率等知识综合考查主要有以下几个命题角度：角度一与超几何分布(或古典概型)有关的均值与方差典题12017江西吉安高三期中近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院的50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：患心肺疾病不患心
5、肺疾病合计男5女10合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为.(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关，说明你的理由；(3)已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为，求的分布列，数学期望以及方差下面的临界值表供参考：P(K2k)0.100.050.0250.100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式K2，其中nabcd解(1)列联表补充如下.患心肺疾病不患心肺疾病合计男20525女1
6、01525合计302050(2)因为K2，所以K28.333.又P(K27.879)0.0050.5%.那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的(3)的所有可能取值：0,1,2,3，服从超几何分布，其中N10，M3，n3.则P(k)(k0,1,2,3)所以P(0)；P(1)；P(2)；P(3).则的分布列为0123P则E()0123，D()2222.的数学期望及方差分别为E()，D().角度二与事件的相互独立性有关的均值与方差典题2某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确
7、密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望解(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A，则P(A).(2)依题意，得X所有可能的取值是1,2,3.P(X1)，P(X2)，P(X3)1.则X的分布列为X123P所以E(X)123.角度三二项分布的均值与方差典题3某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个
8、球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望解(1)记事件A1从甲箱中摸出的1个球是红球，A2从乙箱中摸出的1个球是红球，B1顾客抽奖1次获一等奖，B2顾客抽奖1次获二等奖，C顾客抽奖1次能获奖因为P(A1)，P(A2)，所以P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)，P(B2)P(A121A2)P(A12)P(1A2)P(A1)P(2)P(1)P(A2)P(A1)1P(A2)1P(A1)P(A2).故所求概率为P(C
9、)P(B1B2)P(B1)P(B2).(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以XB.于是P(X0)C03，P(X1)C12，P(X2)C21，P(X3)C30.故X的分布列为X0123PX的数学期望为E(X)3.点石成金求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果XB(n，p)，则用公式E(X)np，D(X)np(1p)求解，可大大减少计算量考点2均值与方差的性质及其在决策中的应用 1.均值与方差的性质(1)E(aXb)_.(2)D(aXb)_(a，b为常数)答案：(1)aE(X)b(2)a2D(X)2两点分布与二项分布的均值、
10、方差XX服从两点分布XB(n，p)E(X)_D(X)_答案：p(p为成功概率)npp(1p)np(1p)典题42017山东德州模拟十八届三中全会提出以管资本为主加强国有资产监管，改革国有资本授权经营体制.2015年1月20日，中国恒天集团有限公司新能源汽车总部项目签约仪式在天津举行，说明国有企业的市场化改革已经踏上新的破冰之旅恒天集团和绿地集团利用现有闲置资金可选择投资新能源汽车和投资文化地产，以推进混合所有制改革，使国有资源效益最大化投资新能源汽车：投资结果盈利40%不赔不赚亏损20%概率投资文化地产：投资结果盈利50%不赔不赚亏损35%概率pq(1)当p时，求q的值；(2)若恒天集团选择投
11、资新能源汽车，绿地集团选择投资文化地产，如果一年后两集团中至少有一个集团盈利的概率大于，求p的取值范围；(3)恒天集团利用10亿元现有闲置资金进行投资，决定在投资新能源汽车和投资文化地产这两种方案中选择一种，已知q，那么恒天集团选择哪种投资方案，才能使得一年后盈利金额的均值较大？给出结果并说明理由解(1)因为投资文化地产后，投资结果只有“盈利50%”“不赔不赚”“亏损35%”三种，且三种投资结果相互独立，所以pq1.又p，所以q.(2)记事件A为“恒天集团选择投资新能源汽车且盈利”，事件B为“绿地集团选择投资文化地产且盈利”，事件C为“一年后两集团中至少有一个集团盈利”，则CABAB，且A，B
12、相互独立由图表可知，P(A)，P(B)p，所以P(C)P(A)P(B)P(AB)(1p)ppp.因为P(C)p，所以p.又pq1，q0，所以p.所以p.故p的取值范围为.(3)假设恒天集团选择投资新能源汽车，且记X为恒天集团投资新能源汽车的盈利金额(单位：亿元)，则X的所有可能取值为4,0，2，所以随机变量X的分布列为X402PE(X)40(2).假设恒天集团选择投资文化地产，且记Y为恒天集团投资文化地产的盈利金额(单位：亿元)，则Y的所有可能取值为5,0，3.5，所以随机变量Y的分布列为Y503.5PE(Y)50(3.5).因为，所以E(X)E(Y)故恒天集团选择投资新能源汽车，才能使得一年
13、后盈利金额的均值较大点石成金随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及均值；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只
14、能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由解：(1)设顾客所获的奖励额为X.依题意，得P(X60).即顾客所获的奖励额为60元的概率为.依题意，得X的所有可能取值为20,60.P(X60)，P(X20)，故X的分布列为X2060P所以顾客所获的奖励额的均值为E(X)206040(元)(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元所以，先寻找均值为60元的可能方案对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)
15、的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100PX1的均值为E(X1)206010060，X1的方差为D(X1)(2060)2(6060
16、)2(10060)2.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080PX2的均值为E(X2)40608060，X2的方差为D(X2)(4060)2(6060)2(8060)2.由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.考点3正态分布问题1.正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作_答案：XN(，2)2正态分布的三个常用数据(1)P(_X_)_；(2)P(_X_)_；(3)P(_X_)_.答案：(1)0.6
17、82 6(2)220.954 4(3)330.997 4典题5(1)设XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是()AP(Y2)P(Y1)BP(X2)P(X1)C对任意正数t，P(Xt)P(Yt)D对任意正数t，P(Xt)P(Yt)答案D解析由图象知，12，12，P(Y2)，P(Y1)，故P(Y2)P(Y1)，故A错；因为12，所以P(X2)P(X1)，故B错；对任意正数t，P(Xt)P(Yt)，故C错；对任意正数t，P(Xt)P(Yt)是正确的，故选D.(2)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间
18、(3,6)内的概率为()A4.56% B13.59% C27.18% D31.74%答案B解析由正态分布的概率公式知，P(33)0.682 6，P(66)0.954 4，故P(36)0.135 913.59%，故选B.点石成金解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x；(2)标准差；(3)分布区间利用对称性可求指定范围内的概率值；由，和分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3特殊区间，从而求出所求概率.1.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A2 386 B2 718 C3 413 D4 772答案：
19、C解析：由P(1X1)0.682 6，得P(00，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有_人答案：120解析：N(90，a2)，其正态分布曲线关于直线x90对称，又成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的，此次数学考试成绩不低于110分的学生约有600120(人).方法技巧1.求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数ab的均值、方差
20、和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解2若X服从正态分布，即XN(，2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1的性质易错防范1.在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式2对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差 真题演练集训 12016四川卷同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是_答案：解析：由题意知，
21、试验成功的概率p，故XB，所以E(X)2.22014新课标全国卷从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用的结果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，则
22、P(Z)0.682 6，P(2Z2)0.954 4.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由(1)知，ZN(200,150)，从而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.682 6.由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知XB(100，0.682 6)，所以E(X)
23、1000.682 668.26.32016新课标全国卷某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值解：(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”
24、，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)0.200.200.10 0.050.55.(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)0.10 0.050.15. 又P(AB) P(B)，故P(B|A).因此所求概率为.(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05E(X)0.85a0.30a0.151.25a0.201.5a0.201.75a0.102a0.051.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为
25、1.23. 课外拓展阅读 离散型随机变量的期望问题离散型随机变量的期望常与茎叶图、频率分布直方图、分层抽样、函数、不等式等知识相结合，这就为设计新颖、内在联系密切、思维方法灵活的考题开辟了广阔的空间近年高考中有关离散型随机变量的期望的题目多以解答题形式呈现，一题多问，这样既降低了起点，又分散了难点，能较全面地考查必然与或然思想、处理交汇性问题的能力和运算求解能力，难度多为中等，分值在12分左右现一起走进离散型随机变量的期望，欣赏其常见的交汇方式与解题方法一、离散型随机变量的期望与茎叶图的交汇问题典例1为备战2017年青年跳水世锦赛，我国跳水健儿积极训练，在最近举行的一次选拔赛中，甲、乙两名运动
26、员为争夺一个参赛名额进行了七轮激烈的比赛，甲、乙两名选手七轮比赛的得分如图所示，已知甲的平均得分比乙的平均得分少1.(1)求甲得分的众数与乙得分的极差；(2)若从甲、乙两名运动员不低于80且不高于90的得分中各任选1个，记甲、乙两名运动员得分之差的绝对值为，求的分布列及其期望思路分析(1)观察茎叶图中甲的数据，判断出现次数最多的数据，即众数；观察茎叶图中乙的数据，找出最高分与最低分，相减可得乙得分的极差；(2)先求的所有可能取值，然后利用古典概型的概率计算公式，求出取各个值时的概率，列出其分布列，最后利用期望的定义求出期望值解(1)由茎叶图可知，甲、乙两名运动员七轮比赛的得分情况如下：甲：78
27、,80m,84,85,84,85,91；乙：79,84,84,86,87,84,91.则乙的平均得分为(79848486878491)85，所以甲的平均得分为85184，即78(80m)848584859184，解得m1.所以甲得分的众数为84,85，乙得分的极差为917912.(2)设甲、乙两名运动员的得分分别为x，y，则|xy|.由茎叶图可知，的所有可能取值为0,1,2,3,5,6.当0时，xy84，故P(0)；当1时，x85，y84或86，故P(1)；当2时，x84，y86或x85，y87，故P(2)；当3时，x81，y84或x84，y87，故P(3)；当5时，x81，y86，故P(5)
28、；当6时，x81，y87，故P(6).所以的分布列为012356P的期望为E()012356.突破攻略本题以实际生活为背景，并融入排列、组合、古典概型的概率、随机变量的分布列与期望等知识进行探求，有很强的现实意义与时代气息破解离散型随机变量的期望与茎叶图的交汇题的关键：一是看图说话，即看懂茎叶图，并能适时提取相关的数据；二是会求概率，即利用排列、组合知识，以及古典概型的概率公式求随机变量的概率；三是活用定义，利用随机变量的数学期望的定义进行计算二、离散型随机变量的期望与函数的交汇问题典例2某次假期即将到来，喜爱旅游的小陈准备去厦门游玩，初步打算去鼓浪屿、南普陀寺、白城浴场三个景点，每个景点有可
29、能去的概率都是，且是否游览某个景点互不影响，设表示小陈离开厦门时游览的景点数(1)求的分布列、期望及其方差；(2)记“函数f(x)x23x1在区间2，)上单调递增”为事件A，求事件A的概率思路分析(1)依题设条件可判断服从二项分布，利用二项分布公式即可求出其分布列、期望及方差；(2)先求出二次函数f(x)的图象的对称轴方程，利用f(x)单调性，可求出的取值范围，即可求出事件A的概率解(1)依题意，得的所有可能取值分别为0,1,2,3.因为B，所以P(0)C3，P(1)C12，P(2)C21，P(3)C3.所以的分布列为0123P所以的期望为E()31，的方差为D()3.(2)因为f(x)212
30、的图象的对称轴方程为x，又函数f(x)x23x1在2，)上单调递增，所以2，即.所以事件A的概率P(A)PP(0)P(1).突破攻略本题以旅游为背景，考查了二项分布的分布列及其期望的探求，将二次函数知识融入其中是本题的“闪光”之处，又以函数的单调性“一剑封喉”，使呆板、平淡的数学题充满活力和无穷魅力！求解离散型随机变量的期望与函数交汇题的“两步曲”：一是活用公式，如果能够断定随机变量X服从二项分布B(n，p)，则其期望与方差可直接利用公式E(X)np，D(X)np(1p)求得；二是分拆事件，会对随机事件进行分拆，即把事件分拆成若干个互斥事件的和，这样就能正确进行概率计算三、离散型随机变量的期望
31、与频率分布直方图的交汇问题典例3某学院为了调查本校学生“阅读相伴”(“阅读相伴”是指课外阅读超过1个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内“阅读相伴”的天数，并将所得的数据分成以下六组：0,5，(5,10，(10,15，(25,30，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中“阅读相伴”天数超过20的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中“阅读相伴”天数超过20的人数，求Y的分布列及数学期望E(Y)思路分析(1)观察频率分布直方图，求出“阅读相伴”天数超过20的频率，即可求出其频数；(2)依题设条
32、件可判断Y服从超几何分布，因此可利用超几何分布的概率公式求出Y取各个值时的概率，列出分布列，最后求出E(Y)的值解(1)由题图可知，“阅读相伴”天数未超过20的频率为(0.010.020.030.09)50.1550.75，所以“阅读相伴”天数超过20的学生人数是40(10.75)400.2510.(2)随机变量Y的所有可能取值为0,1,2.所以P(Y0)，P(Y1)，P(Y2).所以Y的分布列为Y012P所以Y的数学期望E(Y)012.突破攻略本题将传统的频率分布直方图背景赋予新生的数学期望，立意新颖、构思巧妙求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，对于这些实际问题中的随机变量X，如果能够断定它服从超几何分布H(N，M，n)，则随机变量X的概率可利用概率公式P(Xm)(m0，1，n，)求得，期望可直接利用公式E(X)求得提醒 完成课时跟踪检测(六十八)
