1、第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若四边形ABCD是矩形,则下列命题不正确的是()A.AB与CD共线B.AC与BD相等C.AD与CB模相等,方向相反D.AB与CD模相等答案:B2已知A(1,2),B(3,-1),C(3,4),则ABAC等于()A.11B.5C.-1D.-2解析:AB=(2,-3),AC=(2,2),则ABAC=22-32=-2.答案:D3已知向量a=(1,m),b=(m,2),若ab,则实数m等于()A.-2B.2C.-2或2D.0解析:由ab知12-m2=
2、0,即m=2或-2.答案:C4若向量a=(1,-2)与b的夹角是180,且|b|=35,则b等于()A.(-3,6)B.(3,-6)C.(6,-3)D.(-6,3)解析:由于向量a,b的夹角为180,可设b=a=(1,-2)=(,-2),其中0,又|b|=35,则2+42=35,解得=3,又0,所以=-3,所以b=(-3,6).答案:A5在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)解析:由平面向量基本定理可知,平面内任意一
3、个向量可用平面内两个不共线向量线性表示,A中e1=0e2,B中e1,e2为两个不共线向量,C中e2=2e1,D中e2=-e1.故选B.答案:B6已知M是平行四边形ABCD对角线的交点,下列四个式子不能化简为AD的是()A.AB+CD+BCB.AD+MB+BC+CMC.OC-OA+CDD.MB+AD-BM解析:AB+CD+BC=AB+BC+CD=AD,选项A错;AD+MB+BC+CM=AD+(MB+BC+CM)=AD+0=AD,选项B错;OC-OA+CD=OC+AO+CD=AO+OC+CD=AD,选项C错;MB+AD-BM=MB-BM+AD=2MB+AD=DB+AD=ABAD.答案:D7下列说法
4、正确的个数为()AB+MB+BC+OM+CO=AB;已知向量a=(6,2)与b=(-3,k)的夹角是钝角,则k的取值范围是k9;向量e1=(2,-3),e2=12,-34能作为平面内所有向量的一组基底;若ab,则a在b上的投影为|a|.A.1B.2C.3D.4解析:正确;由ab0,得k9,由ab,得k=-1,此时,a=-2b,k9,且k-1,故错;e1=4e2,e1与e2共线,不能作为基底;由ab,若a与b同向,则a在b方向上的投影为|a|,若a与b方向相反,则a在b方向上的投影为-|a|.答案:A8在ABC中,已知D为AB边上的一点,若AD=2DB,CD=13CA+CB,则=()A.23B.
5、13C.-13D.-23解析:CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=13CA+23CB,=23.答案:A9已知向量a与向量b的夹角为120,若向量c=a+b,且ac,则|a|b|的值为()A.12B.233C.2D.3解析:c=a+b,ac,ac=0,即a(a+b)=a2+ab=|a|2+|a|b|cos120=|a|2-12|a|b|=0,|a|2=12|a|b|,|a|b|=12.答案:A10设a,b是非零向量,若函数f(x)=(xa+b)(a-xb)的图象是一条直线,则必有()A.abB.abC.|a|=|b|D.a=b解析:f(x)=(xa+b)(a-xb)=xa
6、2-x2ab+ab-xb2=-x2ab+(a2-b2)x+ab,由于函数f(x)的图象是一条直线,则ab=0.又a,b是非零向量,所以ab.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且a+b=0(R),则|=.解析:|b|=22+12=5,由a+b=0,得b=-a,故|b|=|-a|=|a|,所以|=|b|a|=51=5.答案:512已知向量a=(1,3),b=(-2,m),若a与a+2b垂直,则m的值为.解析:a+2b=(1,3)+(-4,2m)=(-3,3+2m),a(a+2b),a(a+2b)=0,
7、-3+3(3+2m)=0,解得m=-1.答案:-113已知a=(1,2),b=(-2,log2m),若|ab|=|a|b|,则正数m的值等于.解析:|ab|=|a|b|,ab,log2m=-4,m=2-4=116.答案:11614设O,A,B,C为平面内四点,OA=a,OB=b,OC=c,且a+b+c=0,ab=bc=ca=-1,则|a|2+|b|2+|c|2=.解析:(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(ab+bc+ca)=|a|2+|b|2+|c|2-6=0,则|a|2+|b|2+|c|2=6.答案:615如图,在ABCD中,P在对角线AC上,且AP=13AC,用基底BA,B
8、D表示AP,则AP=.解析:AC=AB+BD+DC=2AB+BD,AP=13AC=23AB+13BD=-23BA+13BD.答案:-23BA+13BD三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在平面直角坐标系xOy中,点A(16,12),B(-5,15).(1)求|OA|,|AB|;(2)求OAB.解(1)OA=(16,12),AB=(-21,3),|OA|=162+122=20,|AB|=(-21)2+32=152.(2)AOAB=(-16,-12)(-21,3)=300,则cosOAB=AOAB|AO|AB|=30020152=22,
9、又OAB0,故OAB=4.17(8分)在平面直角坐标系xOy中,点O是坐标原点,已知ABCD的三个顶点A(2,3),B(-1,-2),C(-2,-1).(1)求对角线AC及BD的长;(2)若实数t满足(AB+tOC)OC=0,求t的值.解(1)设顶点D的坐标为(x,y).在ABCD中,由BA=CD,得(3,5)=(x+2,y+1),所以x=1,y=4,所以顶点D的坐标为(1,4),所以|AC|=42,|BD|=210.(2)因为AB=(-3,-5),OC=(-2,-1),(AB+tOC)OC=0,所以ABOC+tOC2=6+5+5t=0,所以t=-115.18(9分)设向量a=(cos ,si
10、n )(02),b=-12,32,a与b不共线.(1)证明向量a+b与a-b垂直;(2)当两个向量3a+b与a-3b的模相等时,求角.(1)证明a+b=-12+cos,32+sin,a-b=12+cos,sin-32,(a+b)(a-b)=cos2-14+sin2-34=0,(a+b)(a-b).(2)解由题意知(3a+b)2=(a-3b)2,得ab=0,-12cos+32sin=0,得tan=33.又02,得=6或=76.19(10分)已知直角三角形的两条直角边长分别为4和6,试用向量求出两直角边中线所成钝角的余弦函数值.解以直角边所在直线为x轴、y轴建立如图平面直角坐标系,则A(4,0),
11、B(0,6),设AF,BE分别为OB,OA边上的中线,则E(2,0),F(0,3).因为AF=(-4,3),BE=(2,-6),所以cos=AFBE|AF|BE|=-131050.所以两中线所成钝角的余弦值为-131050.20(10分)(1)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61,求a与b的夹角.(2)设OA=(2,5),OB=(3,1),OC=(6,3),在OC上是否存在点M,使MAMB?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解(1)(2a-3b)(2a+b)=61,4a2-4ab-3b2=61.又|a|=4,|b|=3,ab=-6.cos=ab|a|b|=-12,=120.(2)设存在点M,且OM=OC=(6,3)(01),MA=(2-6,5-3),MB=(3-6,1-3).(2-6)(3-6)+(5-3)(1-3)=0,452-48+11=0,解得=13或=1115,OM=(2,1)或OM=225,115.存在M(2,1)或M225,115满足题意.
