1、2.2最大值、最小值问题第1课时函数的最值1.函数y=f(x)=12x-sin x在区间0,上的最大值和最小值分别是()A.2-1,0B.4-1,6-32C.2,6-32D.2+1,0解析:因为y=12-cos x,当x3,时,y0,则函数在区间3,上是增加的;当x0,3时,y0;x4,2,f(x)0,x=4是f(x)的极大值点.又f(0)=1,f4=22e4,f2=0,f(x)min=0,f(x)max=22e4.答案:A3.函数f(x)=x2ex+1在区间-2,1上的最大值为()A.4e-1B.1C.e2D.3e2解析:f(x)=2xex+1+x2ex+1=(x2+2x)ex+1.由f(x
2、)0,得-2x0,得x0.结合题意知f(x)在(-2,0)上递减,在(0,1)上递增.f(-2)=4e,f(1)=e2,f(1)f(-2),函数f(x)在区间-2,1上的最大值为e2.答案:C4.函数y=xe-x在区间0,4上的最大值是()A.0B.1eC.4e4D.2e2解析:y=e-x-xe-x=e-x(1-x),令y=0,得x=1.f(0)=0,f(4)=4e4,f(1)=e-1=1e,f(1)为最大值,故选B.答案:B5.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在-2,2上有最大值3,则该函数在-2,2上的最小值为()A.-37B.-29C.-5D.-11解析:f(x)=6x2-1
3、2x,x-2,2,由f(x)=0,得x=0或x=2.易知f(x)在(-2,0)上是增加的,在(0,2)上是减少的,f(x)在x=0时取得极大值即为最大值.f(x)max=f(0)=m=3.f(-2)=-37,f(2)=-5,f(x)的最小值为-37.答案:A6.已知直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图像分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时,t的值为()A.1B.12C.52D.22解析:由题意画出函数图像如图所示,由图可以看出|MN|=y=t2-ln t(t0).y=2t-1t=2t2-1t=2t+22t-22t.当0t22时,y22时,y0,可知该函数在22,+上递增,
4、所以x=22是极小值点也是最小值点.故当t=22时,|MN|有最小值.答案:D7.已知a为实数,函数f(x)=(x2-4)(x-a),若f(-1)=0,则函数在-2,2上的最大值为.解析:f(x)=2x(x-a)+(x2-4)=3x2-2ax-4,因为f(-1)=0,所以3+2a-4=0,解得a=12.于是f(x)=3x2-x-4=(x+1)(3x-4),令f(x)=0,得x=-1或x=43,比较f(-2),f(-1),f43,f(2)可得函数在-2,2上的最大值为f(-1)=92.答案:928.已知函数f(x)=ax4-4ax3+b(a0)在区间1,4上的最大值为3,最小值为-6,则a+b=
5、.解析:f(x)=4ax3-12ax2(a0,x1,4).由f(x)=0,得x=0(舍去)或x=3.易知当x=3时,f(x)取到最小值b-27a.f(1)=b-3a,f(4)=b,f(4)为最大值.由b=3,b-27a=-6,解得a=13,b=3,故a+b=103.答案:1039.若对任意的x0,恒有ln xpx-1(p0),则p的取值范围是.解析:原不等式可化为ln x-px+10,令f(x)=ln x-px+1,故只需f(x)max0.由f(x)=1x-p知f(x)在0,1p上递增;在1p,+上递减.故f(x)max=f(x)极大值=f1p=-ln p,即-ln p0,解得p1.答案:1,
6、+)10.已知23af(a),f(-1)0,f(x)的最大值为f(0)=b=1.f(-1)-f(a)=12(a3-3a-2)=12(a+1)2(a-2)x成立,求实数m的取值范围.解(1)因为g(x)=ex-1,由g(x)=0,得x=0,所以当x0时,g(x)0时,g(x)0,g(x)在(0,+)上是增加的,所以g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1.(2)2x-mg(x)x2x-mxg(x)(因为g(x)=ex-x0)2x-mxex-x2m0),则h(x)=2x+2-ex-xex=x(2-ex)+(2-ex)=-(x+1)(ex-2).所以当xln 2时,h(x)0;当0x0.所以h(x)
7、max=h(ln 2)=ln22,要想存在正数x,使mh(x),则有mh(x)max=ln22,所以所求的m的取值范围是m0.(1)求a的值;(2)若对任意的x0,+),有f(x)kx2成立,求实数k的最小值.解(1)f(x)=1-1x+a=x+a-1x+a.由f(x)=0,得x=1-a-a.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-a,1-a)1-a(1-a,+)f(x)-0+f(x)极小值由表可知,f(x)在x=1-a处取得最小值,故由题意,得f(1-a)=1-a=0,即a=1.(2)当k0时,取x=1,有f(1)=1-ln 20,故k0不合题意.当k0时,令g(x)=f(x)-kx2,即g(x)=x-ln(x+1)-kx2.g(x)=xx+1-2kx=-x2kx-(1-2k)x+1,令g(x)=0,得x1=0,x2=1-2k2k-1.当k12时,1-2k2k0,g(x)0在(0,+)上恒成立,因此g(x)在0,+)上是减少的.从而对于任意的x0,+),总有g(x)g(0)=0,即f(x)kx2在0,+)上恒成立.故k12符合题意.当0k0,对于x0,1-2k2k,g(x)0,故g(x)在0,1-2k2k上是增加的,因此当取x00,1-2k2k时,g(x0)g(0)=0,即f(x0)kx02不成立.故0k12不合题意.综上所述,k的最小值为12.第 4 页
