1、第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系, )1四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2空间直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：(3)定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空
2、间中直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面内a有无数个公共点直线在平面外直线a与平面平行a没有公共点直线a与平面斜交aA有且只有一个公共点直线a与平面垂直a(2)空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行没有公共点两平面相交斜交l有一条公共直线垂直且a1辨明三个易误点(1)正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”(2)不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件(3)两条异面直线所成角的范围是(0，902证明共线问题的两种途径(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都
3、在同一条特定直线上3证明共面问题的两种途径(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合1. 下列命题正确的是()A经过三点确定一个平面B经过一条直线和一个点确定一个平面C四边形确定一个平面D两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D A选项考查公理2，即三点必须不在同一条直线上，才能确定平面；B选项如果点在直线上，则该直线和这个点不能确定平面；C选项中的四边形有可能是空间四边形，只有D是正确的2. 下列命题是真命题的是()Am、n是两直线，是两平面，若m，n，则m、n是异面直线Bm、n、l是三条直
4、线，若mn，且l与m成50角，则l与n成40角C平面平面，直线m，则mD在长方体的十二条棱中，将是异面关系的两条棱记为“一对异面直线”，则这十二条棱中共有24对异面直线D 对于A，m与n可能平行或相交，故A错对于B，l与n所成的角不确定，故B错对于C，m可能在平面内，故C错对于D，如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，与AA1成为一对异面直线的有BC、DC、B1C1、D1C1共4对故异面直线对数为24.故D正确3. 已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A空间四边形B矩形C菱形 D正方形B 如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形因为E，F分别为AB，BC的
5、中点，所以EFAC.又FGBD，所以EFG或其补角为AC与BD所成的角而AC与BD所成的角为90，所以EFG90，故四边形EFGH为矩形4如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()D A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面5. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与A1B所成角的大小为_ 连接A1C1与BC1(图略)，由正方体性质知ACA1C1.则BA1C1即为AC与A1B所成的角，且A1C1A1BBC1.所以BA1C160. 60平面的基本性质如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证：E、C、D
6、1、F四点共面【证明】如图所示，连接CD1、EF、A1B，因为E、F分别是AB和AA1的中点，所以EFA1B且EFA1B.又因为A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1BCD1，所以EFCD1，所以EF与CD1确定一个平面，所以E、F、C、D1，即E、C、D1、F四点共面本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA交于一点”？ 如图，由本例知EFCD1，且EFCD1，所以四边形CD1FE是梯形，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则PCE，且PD1F，又CE平面ABCD，且D1F平面A1ADD1，所以P平面ABCD，且P平面A1ADD1.又平面ABCD平面A1ADD1AD，所以
7、PAD，所以CE、D1F、DA三线共点共点、共线、共面问题的证明方法(1)证明点共线问题：公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点(3)证明点、直线共面问题：纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合已知空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CGBC，CHDC
8、.求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)三直线FH、EG、AC共点 (1)连接EF、GH，因为E、F分别是AB、AD的中点，所以EFBD.又因为CGBC，CHDC，所以GHBD，所以EFGH，所以E、F、G、H四点共面(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，所以设FHACM，所以M平面EFHG，M平面ABC.又因为平面EFHG平面ABCEG，所以MEG，所以FH、EG、AC共点空间两直线的位置关系(1)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，E
9、F，GH所在直线在原正方体中互为异面的对数为_对【解析】(1)图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以在图中，GH与MN异面(2)平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面的直线有且只有3对【答案】(1)(2)3 1若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命
10、题正确的是()Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交D 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交2. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(把你认为正确的结论的序号都填上) 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故错误 异面直线所成的角空间四边形ABCD中，ABCD且AB与CD所成的角
11、为30，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小【解】取AC的中点G，连接EG、FG，则EGAB，FGCD，由ABCD知EGFG，所以GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角因为AB与CD所成的角为30，所以EGF30或150.由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF15.故EF与AB所成的角为15或75. 直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()ABC DC 如图，取BC的中点D，连接MN，ND，AD，由于
12、MNB1C1BD，因此有NDBM，则ND与NA所成角即为异面直线BM与AN所成角设BC2，则BMND，AN，AD，因此cosAND., )构造直观模型判断空间线面位置关系已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，则mn.其中所有正确的命题是()ABC D【解析】借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面，互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面、可能垂直，如图(2)所示，故不正确；对于，平面、可能垂直，如图(3)所示，故不正确；对于，由m，可得m，因为n，所以过n作平面，且g，如图(4)所示，所以
13、n与交线g平行，因为mg，所以mn，故正确【答案】A(1)此类空间位置关系的判断是一个难点，本题通过构造长方体模型，将已知条件中的线、面分别与长方体中的某些棱、面对应，从而使问题得以解决(2)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误(3)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断1.已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则()Am与n异面Bm与n相交Cm与n平行Dm与n异面、相交、平行均有可能D 在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是mn1，所
14、以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条 法一：如图，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条法二：在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面，因为CD与平面不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ(图略)，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直
15、线由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交 无数, )1四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有()A4个B3个C2个 D1个A 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面2(2016高考山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A 若直线a，b相交，设交点为P，则Pa，Pb.又a，b，所以P，P，故，相交反之，若，相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行故“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件3
16、已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面B 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错4若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行D
17、l1与l4的位置关系不确定D 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1DD1，l2DC，l3DA，若l4AA1，满足l1l2，l2l3，l3l4，此时l1l4，可以排除选项A和C.若l4DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.5. 如图，l，A，B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必经过()A点A B点BC点C但不过点M D点C和点MD 因为AB，MAB，所以M.又l，Ml，所以M.根据公理3可知，M在与的交线上同理可知，点C也在与的交线上6(2017郑州模拟) 如图所示，ABCDA1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D
18、1于点M，则下列结论正确的是()AA，M，O三点共线BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面A 连接A1C1，AC(图略)，则A1C1AC，所以A1，C1，A，C四点共面，所以A1C平面ACC1A1.因为MA1C，所以M平面ACC1A1.又M平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上所以A，M，O三点共线7. 如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有_条 依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1
19、相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条 58如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，点F、G分别是边BC、CD上的点，且，则下列说法正确的是_EF与GH平行；EF与GH异面；EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；EF与GH的交点M一定在直线AC上 连接EH，FG，依题意，可得EHBD，FGBD，故EHFG，所以E、F、G、H共面因为EHBD，FGBD，故EHFG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，
20、所以点M一定在直线AC上 9. 如图所示，正方体的棱长为1，BCBCO，则AO与AC所成角的度数为_ 连接AC.因为ACAC，所以AO与AC所成的角就是OAC(或其补角)因为OCOB，AB平面BBCC，所以OCAB.又ABBOB，所以OC平面ABO.又OA平面ABO，所以OCOA.在RtAOC中，OC，AC，sinOAC，所以OAC30.即AO与AC所成角的度数为30. 3010已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面，b平面，c.若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；若ab，则必有ac；若ab，ac，则必有.其中正确的命题为_ 中若a与b是异面
21、直线，则c至少与a，b中的一条相交，故正确；中平面平面时，若bc，则b平面，此时不论a，c是否垂直，均有ab，故错误；中当ab时，则a平面，由线面平行的性质定理可得ac，故正确；中若bc，则ab，ac时，a与平面不一定垂直，此时平面与平面也不一定垂直，故错误 11. 如图所示，A是BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点 (1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角 (1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾故直线EF与
22、BD是异面直线(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则ACFG，EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角又因为ACBD，则FGEG.在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为45.12设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是_ 构造四面体ABCD，使ABa，CD，ADACBCBD1，取CD的中点E，则AEBE，所以a，所以0a. 0a13如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线B
23、C与AD所成角的余弦值 (1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.14. 如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD，BEFA，G，H分别为FA，FD的中点(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ (1)证明：由题设知，FGGA，FHHD，所以GHAD.又BCAD，故GHBC.所以四边形BCHG是平行四边形(2)C，D，F，E四点共面理由如下：由BEFA，G是FA的中点知，BEGF，所以EFBG.由(1)知BGCH，所以EFCH，故EC、FH共面又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面
