1、11.3二项式定理考纲展示1.能利用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题考点1二项展开式中特定项或系数问题二项式定理二项式定理(ab)n_二项式系数二项展开式中各项系数C(k0,1，n)二项式通项Tk1_，它表示第_项答案：CanCan1bCankbkCbn(nN*)Cankbkk1(1)教材习题改编(12x)7的展开式的第4项的系数是_答案：280解析：展开式中，Tr1C(2x)rC(2)rxr，当r3时，T4C(2)3x3280x3，所以第4项的系数为280.(2)教材习题改编12的展开式的常数项是_答案：495解析：展开式中，Tr1Cx12rr(1)rCx
2、123r，当r4时，T5C495为常数项.典题1(1)在二项式5的展开式中，含x4的项的系数是()A10 B10 C5 D20答案A解析由二项式定理可知，展开式的通项为C(1)rx103r，令103r4，得r2，所以含x4项的系数为C(1)210，故选A.(2)2017吉林长春模拟5的展开式中的常数项为()A80 B80 C40 D40答案C解析Tr1C(x2)5rr(2)rCx105r，由105r0，得r2，T3(2)2C40.(3)2015湖南卷已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a()A. B C6 D6答案D解析Tr1C()5rrC(a)rx，由，解得r1.由C(a)30，得a6.
3、故选D.(4)8的展开式中的有理项共有_项答案3解析8的展开式的通项为Tr1C()8rrrCx (r0,1,2，8)，为使Tr1为有理项，r必须是4的倍数，所以r0,4,8，故共有3个有理项(5)二项式n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为_答案5解析二项展开式的的通项是Tr1Cx3n3rx2rCx3n5r，令3n5r0，得n(r0,1,2，n)，故当r3时，n有最小值5.点石成金1.求展开式中的特定项，可依据条件写出第k1项，再由特定项的特点求出k的值即可2已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k1项，由特定项得出k的值，最后求出其参数考点2二项式
4、系数及项的系数问题 二项式系数的性质答案：相等递增的递减的一项两项2n2n1二项式系数与项的系数的区别已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为_答案：29解析：因为展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以CC，解得n10.根据二项式系数和的相关公式得，奇数项的二项式系数和为2n129.1.系数和：赋值法若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为_答案：8解析：令x1，得a0a1a2a3a40；令x1，得a0a1a2a3a416.故a0a2a48.2通项公式：Tr1Canrbr.7的展开式中x5的系数是_(用数字填写答案)答案
5、：35解析：Tr1C(x3)7rrCx214r，令214r5，得r4，因此x5的系数为C35.典题22017四川成都一中模拟设(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，则a0a1a2a11的值为()A2 B1 C1 D2答案A解析令等式中x1，可得a0a1a2a11(11)(1)92，故选A.点石成金1.赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可2
6、二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；(2)如果n是奇数，则中间两项第项与第1项的二项式系数相等并最大.1.在(1x)n(xN*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n()A8 B9 C10 D11答案：C解析：二项式中仅x5的系数最大，其最大值必为，即得5，解得n10.2若(1mx)6a0a1xa2x2a6x6，且a1a2a663，则实数m的值为()A1或3 B3C1 D1或3答案：D解析：令x0，得a0(10)61.令x1，得(1m)6a0a1a2a6.又a1a2a3a663，(1m)66426，m1或m3.考点3多项式展开式中的特定项或系数问题考情
7、聚焦在高考中，常常涉及一些多项式问题，主要考查学生的化归能力主要有以下几个命题角度：角度一几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题典题32017山东荣成模拟在1(1x)(1x)2(1x)3(1x)4(1x)5的展开式中，含x2项的系数是()A10 B15 C20 D25答案C解析含x2项的系数为CCCC20.角度二几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题典题42015新课标全国卷(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.答案3解析设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.令x1，得(a1)24a0a1a2a3a4a5.令x1，得0a0a1a2
8、a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)232，a3.角度三三项展开式中的特定项(系数)问题典题52015新课标全国卷(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10 B20 C30 D60答案C解析解法一：(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2的系数为CC30.故选C.解法二：(x2xy)5为5个x2xy之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC30.故选C.点石成金1.对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特
9、定的项，再求和即可2对于几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏3对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决考点4二项式定理的应用典题6(1)设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a()A0 B1 C11 D12答案D解析512 012a(521)2 012aC522 012C522 011C52Ca，C522 012C522 011C52能被13整除，且512 012a能被13整除，C(1)2 012a1a也能被13整除，又0a2n1(n3，nN*)证明当n3，nN*时，2n(11)n
10、CCCCCCCC2n22n1，不等式成立点石成金1.整除问题和求近似值是二项式定理的两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项2二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式3由于(ab)n的展开式共有n1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的190C902C903C(1)k90kC9010C除以88的余数是()A1 B1 C87 D87答案：B解析：190C902C903C(1)k90kC9010C(190)108910(881)108810C889C881，前10项均能被88整除，余数是1.方法技巧二项展开
11、式的通项Tk1Cankbk中含有a，b，n，k，Tk1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求第五个元素，这类问题一般是利用二项式定理把问题归纳为解方程(或方程组)的问题，这里必须注意n是正整数，k是非负整数，且kn.(1)第m项：此时k1m，直接代入通项(2)常数项：即项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程 真题演练集训 12016新课标全国卷(2x)5的展开式中，x3的系数是_(用数字填写答案)答案：10解析：由(2x)5，得Tr1C(2x)5r()r25 rCx，令53，得r4，此时系数为10.22016北京卷在(12
12、x)6的展开式中，x2的系数为_(用数字作答)答案：60解析：(1 2x)6的展开式的通项Tr1C(2)rxr，当r2时，T3C(2)2x260x2，所以x2的系数为60.32016天津卷8的展开式中x7的系数为_(用数字作答)答案：56解析：二项展开式的通项Tr1C(x2)8rr(1)rCx163r，令163r7，得r3，故x7的系数为C56.42016山东卷若5的展开式中x5的系数是80，则实数a_.答案：2解析：5的展开式的通项Tr1C(ax2)5rxCa5rx，令10r 5，得r2，所以Ca380，解得a2.52014新课标全国卷(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字填
13、写答案)答案：20解析：x2y7x(xy7)，其系数为C，x2y7y(x2y6)，其系数为C，x2y7的系数为CC82820. 课外拓展阅读 二项展开式中赋值法的应用典例在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和审题视角求二项式系数的和或各项系数的和的问题，常用赋值法求解解设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数的和即为a0a1a10，奇数项系数的和为a0a2a10，偶数项的系数和为a1a3a5a9，
14、x的奇次项系数和为a1a3a5a9，x的偶次项系数和为a0a2a4a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项式系数的和为CCC210.(2)令xy1，各项系数和为(23)10(1)101.(3)奇数项的二项式系数和为CCC29.偶数项的二项式系数和为CCC29.(4)令xy1，得到a0a1a2a101.令x1，y1(或x1，y1)，得a0a1a2a3a10510，得2(a0a2a10)1510，奇数项系数的和为；，得2(a1a3a9)1510，偶数项系数的和为.(5)x的奇次项系数和为a1a3a5a9；x的偶次项系数和为a0a2a4a10.方法点睛(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意例：若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数的和为f(1)，奇数项系数的和为a0a2a4，偶数项系数的和为a1a3a5，令x0，可得a0f(0)提醒 完成课时跟踪检测(六十二)
