1、9.4直线与圆、圆与圆的位置关系考纲展示1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题3初步了解用代数方法处理几何问题的思想考点1直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：_、_、_.(2)两种研究方法：(3)圆的切线方程常用结论：过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr
2、2.答案：(1)相交相切相离(2)相交相切相离相交2相切相离(1)教材习题改编圆(x1)2(y2)26与直线2xy50的位置关系是()A相切B相交但直线不过圆心C相交过圆心D相离答案：B解析：由题意知，圆心(1，2)到直线2xy50的距离d0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点解设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|x1x2|22 ，令t，则tk24k(t3)0，当t0时，k；当t0时，因为kR，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值为4，此时|AB|最小为2.则直线l被圆C截得的最短弦长为2.解法二：证明因为不论k为
3、何实数，直线l总过点P(0,1)，而|PC|4，点M在圆C外部当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x3，即x30.又点C(1,2)到直线x30的距离d312r，即此时满足题意，所以直线x3是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心C到切线的距离dr2，解得k.切线方程为y1(x3)，即3x4y50.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x30或3x4y50.|MC| ，过点M的圆C的切线长为1.点石成金1.圆的切线方程的两种求法(1)代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式0进而求得k.(2)几
4、何法：设切线方程为yy0k(xx0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令dr，进而求出k.提醒若点M(x0，y0)在圆x2y2r2上，则过点M的圆的切线方程为x0xy0yr2.2弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程在判别式0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l2.提醒代数法计算量较大，我们一般选用几何法.1.2017重庆调研过点(2,3)的直线l与圆x2y22x4y0相交于A，B两点，则|AB|取得最小值时l的方程为()Axy50 Bxy10Cxy50 D2xy
5、10答案：A解析：由题意，得圆的标准方程为(x1)2(y2)25，则圆心C(1,2)过圆心与点(2,3)的直线l1的斜率为k1.当直线l与l1垂直时，|AB|取得最小值，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y3x(2)，即xy50.2过原点O作圆x2y26x8y200的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为_答案：4解析：将圆的方程化为标准方程(x3)2(y4)25，则圆心为(3,4)，半径为.由题意可设切线方程为ykx，则圆心(3,4)到直线ykx的距离等于半径，即，解得k或k，则切线方程为yx或yx.联立切线方程与圆的方程，解得两切点P，Q的坐标分别为(4,2)，由两点间的距离公
6、式得|PQ|4.考点3圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20).方法几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离_外切_相交_内切_内含_答案：dr1r2无解dr1r2一组实数解|r1r2|dr1r2两组不同的实数解d|r1r2|(r1r2)一组实数解0d|r1r2|(r1r2)无解(1)教材习题改编圆O1：(x2)2y24与圆O2：(x2)2(y1)29的位置关系为_答案：相交解析：两圆圆心分别为O1(2,0)，O2(2,1)，半径长分别为r12，r23.|O1O2|，320
7、)相切，则a_.答案：或解析：两圆的圆心距为a，半径分别为r11，r22.当两圆内切时， a211，得a；当两圆外切时， a213，得a.典题3已知圆C1：(xa)2(y2)24与圆C2：(xb)2(y2)21相外切，则ab的最大值为()A. B.C. D2答案C解析由圆C1与圆C2相外切，可得213，即(ab)29，根据基本(均值)不等式可知，ab2，当且仅当ab时等号成立故选C. 题点发散1把本例中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值解：由C1与C2内切，得1.即(ab)21，又ab2，当且仅当ab时等号成立，故ab的最大值为.题点发散2把本例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线
8、方程解：由题意得，把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程圆C1：x2y22ax4ya20，圆C2：x2y22bx4yb230，由，得(2a2b)x3b2a20，即(2a2b)x3b2a20为所求公共弦所在直线方程题点发散3将本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线xy10与圆(xa)2(yb)21的位置关系解：由两圆存在四条公切线，故两圆外离，故3.(ab)29，即ab3或ab1，直线xy10与圆(xa)2(yb)21相离点石成金1.处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法2若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.1.圆(x2)2y2
9、4与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切 B相交C外切 D相离答案：B解析：两圆圆心分别为(2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d.32d32，两圆相交2过两圆x2y24xy1，x2y22x2y10的交点的圆中面积最小的圆的方程为_答案：22解析：由 得2xy0，代入得x或1，两圆两个交点为，(1，2)过两交点的圆中，以，(1，2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小该圆圆心为，半径为，圆的方程为22.方法技巧1.圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2r2d2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|x1x2|.2两圆的位置关
10、系与公切线的条数：内含：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条3当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程易错防范1.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程注意：斜率不存在的情形2过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解 真题演练集训 12016新课标全国卷圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()A B C. D2答案：A解析：由已知可得，圆的标准方程为(x1)2(y4)24，故该圆的圆心
11、为(1,4)，由点到直线的距离公式得d1，解得a，故选A.22015新课标全国卷过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|()A2 B8 C4 D10答案：C解析：设圆的方程为x2y2DxEyF0，则解得 圆的方程为x2y22x4y200.令x0，得y22或y22， M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)，N(0，22)， |MN|4，故选C.32015重庆卷已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|()A2 B4 C6 D2答案：C解析：直线xay10是圆C：x2y24
12、x2y10的对称轴， 圆心C(2,1)在直线xay10上， 2a10， a1， A(4，1) |AC|236440.又r2， |AB|240436. |AB|6.42016新课标全国卷已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则|CD|_.答案：4解析：设圆心到直线l：mxy3m0的距离为d，则弦长|AB|22，得d3，即3，解得m，则直线l：xy60，数形结合可得|CD|4.52015江苏卷在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_答案：(x1)2
13、y22解析：直线mxy2m10经过定点(2，1)当圆与直线相切于点(2，1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2(12)2(01)22. 课外拓展阅读 圆与线性规划的综合应用典例如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2(y2)21上，那么|PQ|的最小值为_审题视角求解本题应先画出点P所在的平面区域，再画出点Q所在的圆，最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的最值问题，即可求出|PQ|的最小值解析由点P在平面区域上，画出点P所在的平面区域由点Q在圆x2(y2)21上，画出点Q所在的圆，如图所示由题意，得|PQ|的最小值为圆心(0，2)到直线x2y10的距离减去半径1.又圆心(0，2)到直线x2y10的距离为，此时垂足(1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ|的最小值为1.答案1方法点睛本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性，实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题提醒 完成课时跟踪检测(五十)
