1、第二章单元质量评估(二)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1直线axbyc0同时要经过第一、二、四象限,则a,b,c应满足(A)Aab0,bc0 Bab0 Cab0,bc0 Dab0,bc0,bc0),则圆心到直线3x4y40的距离等于2,即2,解得a2.故圆的方程为(x2)2y24.7已知圆C:x2y2mx40上存在两点关于直线xy30对称,则实数m的值为(C)A8 B4 C6 D无法确定解析:圆上存在关于直线xy30对称的两点,直线xy30过圆心,即30,解得m6.8已知点A(1,1)和圆C:(x5)2(y7)24,一束光线
2、由A射出经x轴反射到圆C上的最短路程是(B)A62 B8 C4 D10解析:点A关于x轴的对称点为A(1,1),A与圆心(5,7)之间的距离为10.所求最短路程为1028.9以(a,1)为圆心,且与两条直线2xy40与2xy60同时相切的圆的标准方程为(A)A(x1)2(y1)25 B(x1)2(y1)25C(x1)2y25 Dx2(y1)25解析:因为两条直线2xy40与2xy60的距离为d2,所以所求圆的半径为r,所以圆心(a,1)到直线2xy40的距离为,解得a1或a4.又因为圆心(a,1)到直线2xy60的距离也为,所以a1,所以所求的标准方程为(x1)2(y1)25,故应选A.10已
3、知圆(x3)2(y5)236和点A(2,2),B(1,2),若点C在圆上且ABC的面积为,则满足条件的点C的个数是(C)A1 B2 C3 D4解析:由ABC的面积为知,点C到直线AB的距离为1,直线AB的方程为4x3y20,与直线AB平行且距离为1的直线为l1:4x3y30和l2:4x3y70,圆心C到直线l1的距离为d16,圆心C到直线l2的距离为d24,所以圆(x3)2(y5)236与直线l1相切,与直线l2相交,满足条件的点C的个数是3.11集合A(x,y)|x2y24,B(x,y)|(x3)2(y4)2r2,其中r0,若AB中有且只有一个元素,则r的值是(C)A3 B7 C3或7 D不
4、能确定解析:两个集合都表示圆,由于AB中有且只有一个元素,所以两个圆相切,但是要注意两圆可能内切或外切,因此分情况求解由于圆心距为d5,两个圆的半径分别为2和r,所以|r2|d或dr2,即得到|r2|5或5r2,解得r3或r7.12过直线y2x上一点P作圆M:(x3)2(y2)2的两条切线l1,l2,A,B为切点,当直线l1,l2关于直线y2x对称时,则APB(C)A30 B45 C60 D90解析:过圆M的圆心(3,2)向直线y2x作垂线,设垂足为N,易知当点P与点N重合时,l1与l2关于y2x对称,此时|MP|.又圆M的半径长为,故sinMPA,则MPA30,故APB60.二、填空题(本大
5、题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填写在题中横线上)13已知直线l1:x3y70,l2:ykxb与x轴、y轴正半轴所围成的四边形有外接圆,则k3,b的取值范围是.解析:由题意可知l1l2,k3,直线l1与坐标轴交于点A和B(7,0),直线l2与线段AB(不含端点)垂直相交,画图(图略)易得b的取值范围是.14设圆(x3)2(y5)2r2(r0)上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离等于1,则圆半径r的取值范围是(4,6)解析:注意到圆心C(3,5)到已知直线的距离为5,结合图形可知有两个极端情形:其一是如图所示的小圆,半径为4;其二是如图所示的大圆,其半径为6,故4r6.15x轴上任
6、一点到定点(0,2),(1,1)距离之和的最小值是.解析:点(1,1)关于x轴的对称点坐标为(1,1),则要求的最小值为.16若直线xym0上存在点P,过点P可作圆O:x2y21的两条切线PA,PB,切点为A,B,且APB60,则实数m的取值范围为2,2解析:若APB60,则|OP|2,直线xym0上存在点P,过点P可作O:x2y21的两条切线PA,PB等价于直线xym0与圆x2y24有公共点,由圆心到直线的距离公式可得2,解之可得m2,2三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(10分)已知直线l:xy20与圆O:x2y24相交于A,B两点(1)求|A
7、B|;(2)求弦AB所对圆心角的大小解:(1)如图所示:由消去y,得x23x20,x12,x21,A(2,0),B(1,),|AB|2.(2)直线l的斜率为,直线l的倾斜角为120,又|OB|OA|2,AOB是等边三角形,AOB60.18(12分)已知圆C:x2y22y40,直线l:mxy1m0.(1)判断直线l与圆C的位置关系;(2)若直线l与圆C交于不同两点A,B,且|AB|3,求直线l的方程解:(1)圆C的标准方程为x2(y1)25,所以圆C的圆心为C(0,1),半径r,圆心C(0,1)到直线l:mxy1m0的距离d10,即m5.(2)消去x得(42y)2y22(42y)4ym0,化简得5y216ym80.设M(x1,y1),N(x2,y2),则由OMON得y1y2x1x20即y1y2(42y1)(42y2)0,168(y1y2)5y1y20.将两式代入上式得16850,解得m.(3)将m代入5y216ym80,化简整理得25y280y480,解得y1,y2.x142y1,x242y2.M,N,MN的中点C的坐标为.又|MN|,所求圆的半径为.所求圆的方程为22.