1、成都七中2015届高三2月阶段性测试数 学 试 题本试题卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）.满分150分.考试时间120分钟.第卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合A=， B=， 则=A B1 C.2 D.1，2【解析】 集合A=，B=，故选B2.已知是虚数单位， 若（），则的值为A B C D开始输入是【解析】 由，知为纯虚数，为纯虚数，故选B. 3.已知命题p:或，命题q:，则p是q的充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】 因为命题p:或，命题q
2、:，所以p：，q: ，所以pq，但q p，等价于qp，但pq，所以p是q的必要不充分条件.4. 在如图所示的程序框图中，若，则输出的结果是结束A. B.C. D.【解析】 由 得当时，当时，当时，故选B.5.一个边长为2，宽1的长方形内画有一个中学生运动会的会标，在长方形内随机撒入100粒豆子，恰有60粒落在会标区域内，则该会标的面积约为A B C D【解析】 由几何概型的概率计算公式可知， ，所以会标的面积约为，故选B.6.三角函数，若，则直线的倾斜角为A B C D 【解析】 由知三角函数的图像关于对称，所以所以，直线的斜率，其倾斜角为倾斜角为.故选D.7.已知数列满足，则-6 B.6 C
3、.-1 D.1【解析】 由可得，从而可得，所以数列是一个周期为4的数列.又，所以，所以，又，所以.8. 已知向量， B是圆C：上的一个动点，则两向量所成角的最大值为BOAyCA B C D 【解析】 如图，过点O向圆C作切线OB，连结CB，为所成的最大角，因点C，所以，又，故选D.9.已知抛物线的焦点与双曲线的左焦点的连线交于第二象限内的点M，若抛物线在点M处的切线平行于双曲线的一条渐近线，则p= B. C. D.【解析】 由题意可知，抛物线的焦点坐标为，双曲线的左焦点坐标为，则过抛物线的焦点与双曲线的左焦点的直线方程为，即.设该直线与抛物线的交点M的坐标为，则抛物线在点M的切线斜率为，又抛物
4、线在点M处的切线与双曲线的一条渐近线平行，点M在第二象限，所以，解得.即，又点M在直线上，所以，解得,故选A.10.定义区间长度为，（），已知函数 ()的定义域与值域都是，则区间取最大长度时的值为A B C D 3【解析】 设是已知函数定义域的子集. 或，故函数在上单调递增，则，故是方程的同号的相异实数根，即的同号的相异实数根. ，同号，只需， 取最大值为.此时.第卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾
5、驶员96人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为 .【解析】 由分层抽样的定义可知，总人数.12.已知，则=_.【解析】 由,得，,则,所以.13.设、满足约束条件，若取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数的值是 .yC【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由于目标函数取最大值时的最优解有无穷多个，所以目标函数的几何意义是直线与直线重合，比较得.14. 设，若，则的最大值为 .【解析】 ，由得为定值，令，当且仅当时等号成立，.15.在平面直角坐标系中，定义：一条直线经过一个点，若都是整数，就称该直线为完美直线，这
6、个点叫直线的完美点，若一条直线上没有完美点，则就称它为遗憾直线.现有如下几个命题：如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b一定是遗憾直线；“直线y=kx+b是完美直线”的充要条件是“k与b都是有理数”；存在恰有一个完美点的完美直线；完美直线经过无穷多个完美点，当且仅当直线经过两个不同的完美点.其中正确的命题是_（写出所有正确命题的编号）【解析】 对于，如果取k= ，b=，那么直线y=x+经过完美点（-1，0），是完美直线，所以错误；对于，由知当k=b=时，k与b均为无理数，但是直线y=x+是完美直线，所以错误；对于，设直线方程为y= x，只经过了一个完美点（0，0），所以正确；对于，设y=kx
7、为过原点的完美直线，若此直线过不同的完美点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入完美直线的方程得y1=kx1，y2=kx2，两式相减得y1-y2=k（x1-x2），则（x1-x2，y1-y2）也在完美直线y=kx上，且（x1-x2，y1-y2）也为完美点，通过这种方法得到直线经过无穷多个完美点，所以正确.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且（1）记角，若ABC是锐角三角形，求f(x)的取值范围；（2）求ABC的面积的最大值.【解析】 （1）在ABC中， A+B+C=，解得
8、. （1分） 在ABC中，b=1， ，即 （4分）ABC是锐角三角形， ，得x+，于是2，即f(x)的取值范围为(，2 （6分）（2）由（1）知，由余弦定理得，即.，当且仅当时，等号成立. （10分）此时，故当时，ABC的面积的最大值为. （12分）17.（本小题满分12分）2015年元月成都市跳伞塔社区要派人参加成都市财政局、水务局、物价局联合举行的“成都中心城区居民生活用水及特种用水价格调整方案听证会”，为了解居民家庭月均用水量（单位：吨），从社区5000住户中随机抽查100户，获得每户2014年12月的用水量，并制作了频率分布表和频率分布直方图（如图） 分数频数频率（0，0.5）50.0
9、50.5，1）80.081，1.5）220.221.5，2）a2，2.5）200.202.5，3）120.123，3.5）b3.5，4（1）分别求出频率分布表中a、b的值，并估计社区内家庭月用水量不超过3吨的频率；（2）设A1，A2，A3是月用水量为0，2）的家庭代表B1，B2是月用水量为2，4的家庭代表若从这五位代表中任选两人参加水价听证会，请列举出所有不同的选法，并求家庭代表B1，B2至少有一人被选中的概率【解析】 （1）由频率分布直方图可得a=0.50.5=0.25，月用水量为1.5，2）的频数为25故2b=10092=8，得b=4由频率分布表可知，月用水量不超过3吨的频率为0.92，所
10、以家庭月用水量不超过3吨的频率约为0.92 （6分）（2）由A1、A2、A3、B1、B2五代表中任选2人共有如下10种不同选法，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）记“B1、B2至少有一人被选中”的事件为A，事件A包含的基本事件为：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共包含7个基本事件数又基本事件的总数为10，所以即家庭代表B1、B2至少有一人被选中的概率为 （12分）18.（本小题满分12
11、分）已知几何体A-BCPM的三视图如图所示，侧视图是直角三角形，正视图是一个梯形，点E、F分别是AB、AP的中点.（1）求证：；1侧视图主视图211俯视图（2）求证：EF平面BMC（3）求三棱锥M-ABC的体积.EF【解析】（1）由三视图可知， 平面平面，平面平面，且，平面， （3分） 又平面，. （5分）（2）连接PB点E、F分别是AB、AP的中点，EF是的中位线，EFPB，又平面，平面，EF平面. （8分）（3）由（1）知平面ABC，由三视图可知PMBC， PC= 1，CB=2，AC=1，点A到直线BC的距离为AG=，PM平面ABC，点M到平面ABC的距离为PC=1，三棱锥M-ABC的体积
12、为. （12分）19.（本小题满分12分）已知数列的前项和满足，且.求证:数列是等比数列,并通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.【解析】 （1） 由可得，两式作差得， （3分）又，则，所以，整理得，又，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以. （6分）由（1）可得，所以， （7分）故，设，则，作差得，所以. （9分）设，则， （11分）故. （12分）xA2DMQPA1y20.（本小题满分13分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2-，其离心率是方程的根.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C长轴的左右端点分别为A1，A2，设直线x=4与x轴交于点D
13、，动点M是直线x=4上异于点D的任意一点，直线A1M，A2M与椭圆C交于P，Q两点，问直线PQ是否恒过定点？若是，求出定点；若不是，请说明理由 【解析】 （1）设椭圆C的方程为，则依题意得，又离心率是方程的的根，所以，.椭圆C的标准方程为. （4分）（2）由（1）知椭圆C的标准方程为，设动点，则，直线的方程为，直线的方程为，由 消去得，. （6分）由 消去得，. （8分），直线的方程为，直线过定点. （12分）当时，；当时，.此时直线也恒过定点.综上可知，直线PQ恒过定点，且定点坐标为. （13分）21.（本小题满分14分）已知函数（的图象过点，且在点（）处的切线与直线垂直. （1）求的值.（2）若存在（e为自然对数的底数，且e=2.71828），使得不等式成立，求实数的取值范围.【解析】 （1），又在点（）处的切线与直线垂直. . （3分）又函数的图象过点，. （5分）（2）由（1）知，由题意得，则，若存在，使不等式成立，只需小于或等于的最大值，设，则， （8分）当时，故单调递减；当时，故单调递增.，故当时，h（x）的最大值为，故，即实数的取值范围是. （14分）
