1、73球的表面积和体积考纲定位重难突破1.了解球的体积、表面积公式2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题.重点：利用球的表面积公式和球的体积公式解决几何体的度量问题难点：球的截面的性质，运用球的表面积和体积公式灵活解决生活中的实际问题.授课提示：对应学生用书第28页自主梳理一、球的截面球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫作球的小圆二、球的切线与圆类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的切点三、球的表面积与体积公式双基自测1用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为()A.B.C8 D.解析：截面面积为，则该小
2、圆的半径为1.设球的半径为R，则R212122，R.V球R3，故选B.答案：B2若球的半径扩大为原来的3倍，则它的表面积扩大为原来的几倍()A1 B3C9 D27解析：设球的半径为R，则4(3R)236R2，所以当球的半径扩大为原来的3倍时，它的表面积扩大为原来的9倍答案：C3已知球O的表面积为16，则球O的体积为()A. B.C. D.解析：因为球O的表面积是16，所以球O的半径为2，所以球O的体积为23，故选D.答案：D4一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4，则该正方体的表面积为_解析：设球的半径为r，则r34，r.设正方体边长为a，则a2，a2，该正方体的表面积为S正方
3、体6a224.答案：24授课提示：对应学生用书第28页探究一球的表面积与体积的计算典例1已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于，且ACBC，AB2，求球面面积与球的体积解析如图所示，设球心为O，球半径为R，作OO1平面ABC于O1，由于OAOBOCR，则O1是ABC的外心由ACBC，AB2，知ABC是AB为斜边的直角三角形O1是AB的中点，在RtAOO1中，OO1，O1AAB1.OA2，即R2.S球面4R216，V球R3.1球的表面积和体积只与球的半径有关，因此解决该类问题的关键是如何根据已知条件求球的半径2在求球的半径时，常用一个平面去截一个球，截面是圆面，球的截面有下面的性质：(
4、1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系d.1已知球心O到过球面上三点A，B，C的截面的距离等于球半径的一半，且ABBCCA3 cm，求球的体积解析：如图所示，设过A，B，C三点的截面为圆O，连接OO，AO，AO，因为ABBCCA3 cm，所以O为正三角形ABC的中心，且AOAB cm.设球的半径为R，则OOR.由球的截面性质，知OOA为直角三角形，所以AOR，所以R2 cm.所以V球R3(cm3)探究二球的表面积与体积的应用典例2如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等
5、相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现我们来重温这个伟大发现求证：(1)球的表面积等于圆柱的侧面积；(2)球的表面积等于圆柱表面积的；(3)球的体积等于圆柱体积的.证明设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.S球4R2.S圆柱侧2R2R4R2.S圆柱2S圆柱底S圆柱侧2R24R26R2.(1)S球S圆柱侧，即球的表面积等于圆柱的侧面积(2)，即球的表面积等于圆柱表面积的.(3).即球的体积等于圆柱体积的.球的体积和表面积有着非常重要的应用在具体问题中，要分清是涉及体积问题还是涉及表面积问题，然后再利用等量关系进行计算2有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径
6、为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度解析：如图作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径为r，则容器内水的体积为VV圆锥V球(r)23rr3r3.将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积是V2hh3.由VV得hr.探究三与球有关的接切问题典例3已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为a.求它的外接球的体积解析如图，作PE垂直底面ABCD于E，则E在AC上设外接球的半径为R，球心为O，连接OA，OC，则OAOCOP.O为PAC的外心，即PAC的外接圆半径就是球的半径ABBCa，ACa.
7、PAPCACa，PAC为正三角形Ra，V球R3a3.处理多面体与球之间的切接关系问题时，要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定球半径和多面体的棱长之间的数量关系，建立方程求解3有三个球，已知球O1内切于正方体，球O2与这个正方体各棱都相切，球O3过这个正方体的各个顶点，求球O1、球O2、球O3的表面积之比解析：设正方体的棱长为a.球O1为正方体的内切球，球心O1是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，如图所示，设球O1的半径为r1，表面积为S1，则2r1a，r1，所以S14ra2.球O2与正方体各棱的切点为各棱的中点，过正方体的两个相对面的面对角线作截面，如图所
8、示，设球O2的半径为r2，表面积为S2，则2r2a，r2a，所以S24r2a2.球O3过正方体的各个顶点，即正方体的各个顶点都在球面上，过正方体的体对角线作截面，如图所示，设球O3的半径为r3，表面积为S3，则2r3a，r3a，所以S34r3a2.故这三个球的表面积之比S1S2S3a22a23a2123.球的平行截面问题因思维不严密致误典例一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49 cm2和400 cm2，求球的表面积解析(1)当球心不在两个截面之间时，如图，设ODx cm，由题意知CA249，CA7(cm) ，BD2400，BD20(cm)设球的半径为R cm，则有(CDDO)2C
9、A2R2OD2DB2，即(9x)272x2202，x15(cm)，R25(cm)S球4R22 500(cm2)(2)当球心在两个截面之间时，如图，设ODx cm，则OC9x，设球的半径为R cm，可得x2202(9x)272R2，此方程无正数解，即此种情况不可能综上可知，球的表面积是2 500 cm2.错因与防范(1)此题在解题时会出现盲目认为平行截面在球心的同侧，而忽略了在球心两侧的情况(2)球是比较特殊的旋转体，球的任何一个截面都是圆，在解决关于截面的问题时，要防止出现错误，一定先作出截面示意图，分析出可能出现的不同情况，准确合理地选择公式随堂训练对应学生用书第29页1把3个半径为R的铁球
10、熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为()ARB2RC3RD4R解析：设圆柱的高为h，则R2h3，则h4R.答案：D2有两个球和一个正方体，球O1与正方体各个面相内切，球O2过正方体各顶点，则球O1与球O2的表面积之比为()A.B.C. D.解析：设正方体棱长为a，球O1，O2的半径分别为R1，R2，则2R1a,2R2a，R1R21，表面积之比为13.答案：A3长方体共顶点的三条棱长分别为3,4,5，则它的外接球的表面积为_解析：球的直径等于长方体的对角线长，即2R5，R，S球4R24250.答案：504过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为48 cm2，则球的表面积为_ cm2.解析：易知截面为一圆面，如图所示，圆O是球的过已知半径的大圆，AB是截面圆的直径，作OC垂直AB于点C，连接OA.由截面面积为48 cm2，可得AC4 cm.设OAR，则OCR，所以R2(R)2(4)2，解得R8 cm.故球的表面积S4R2256(cm2)答案：256
