1、第二讲 三角恒等变换与解三角形考情分析三角变换及解三角形是高考考查的热点，然而单独考查三角变换的题目较少，题目往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简，综合性比较强，但难度不大.年份卷别考查角度及命题位置2017卷三角变换求值T15正弦定理解三角形T11卷三角函数求值T4正弦定理解三角形T152016卷利用余弦定理解三角形T4卷利用正弦定理解三角形T15卷三角恒等变换求值问题T6解三角形T9真题自检1(2017高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C()A.B.C. D.解
2、析：因为sin Bsin A(sin Ccos C)0，所以sin(AC)sin Asin Csin Acos C0，所以sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，整理得sin C(sin Acos A)0，因为sin C0，所以sin Acos A0，所以tan A1，因为A(0，)，所以A，由正弦定理得sin C，又0C，所以C.故选B.答案：B2(2016高考全国卷)若tan ，则cos 2()A BC. D.解析：先利用二倍角公式展开，再进行“1”的代换， 转化为关于tan 的关系式进行求解cos 2，又tan ，cos 2.答案：D3(201
3、7高考全国卷)已知(0，)，tan 2，则cos_.解析：(0，)，tan 2，sin ，cos ，cos()cos cos sin sin ().答案：三角恒等变换方法结论三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45 等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦题组突破1若tan ，且是第四象限角，则cos2()sin(3)cos(2)cos2()()AB.C D.解析：通解：因为是第四象限角，tan ，故，由s
4、in2 cos2 1可得cos2 ，cos ，sin .cos2sin(3)cos(2)cos2()sin2 sin cos cos2 ，故选D.优解：因为是第四象限角，tan ，故cos2()sin(3)cos(2)cos2()sin2 sin cos cos2 ，故选D.答案：D2(2017蚌埠模拟)已知sin 222cos 2，则sin2sin 2_.解析：由sin 222cos 2得sin 222cos 2，即2sin cos 4 cos2，即cos 0或tan 2.当cos 0时，sin2sin 21；当tan 2时，sin2sin 2.综上，sin2sin 21或.答案：1或3(2
5、017合肥检测)已知coscos，.(1)求sin 2的值；(2)求tan 的值解析：(1)coscoscossinsin，即sin，因为，所以2，所以cos.所以sin 2sinsincos cossin .(2)由(1)知tan 2.误区警示三角函数求值问题易出错的是忽视角的范围，导致结果增解解三角形方法结论正、余弦定理、三角形面积公式(1)2R(R为ABC外接圆的半径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；abcsin Asin Bsin C.(2)a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abco
6、s C.推论：cos A，cos B，cos C.变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.(3)SABCabsin Cacsin Bbcsin A.典例(2017广州模拟)如图，在ABC中，点D在边AB上，CDBC，AC5，CD5，BD2AD.(1)求AD的长；(2)求ABC的面积解析：(1)在ABC中，因为BD2AD，设ADx(x0)，则BD2x.在BCD中，因为CDBC，CD5，BD2x，所以cosCDB.在ACD中，因为ADx，CD5，AC5，则cosADC.因为CDBADC，所以cosADCcosCDB，即.解得x5.所以AD的长
7、为5.(2)由(1)求得AB3x15，BC5.所以cosCBD，从而sinCBD.所以SABCABBCsinCBA155.类题通法等价转化思想在解三角形中的应用利用正、余弦定理解三角形关键利用定理进行边角互化即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化若想“边”往“角”化，常利用“a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C”；若想“角”往“边”化，常利用sin A，sin B，sin C，cos C等演练冲关1(2017合肥模拟)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C，bcos Aacos B2，则ABC的外接圆面积为()A4
8、B8C9 D36解析：cbcos Aacos B2，由cos C得sin C，再由正弦定理可得2R6，所以ABC的外接圆面积为R29，故选C.答案：C2(2017武汉调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为()A14 h B15 hC16 h D17 h解析：记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在OAB中，OA600，AB20t，OAB45，根据余弦定理得6002400t2220t6004502，即4t2
9、120t1 5750，解得t，所以t15(h)，故选B.答案：B3(2017海口模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(a3b)cos Cc(3cos Bcos A)(1)求的值；(2)若ca，求角C的大小解析：(1)由正弦定理得，(sin A3sin B)cos Csin C(3cos Bcos A)，sin Acos Ccos Asin C3sin Ccos B3cos Csin B，即sin(AC)3sin(CB)，即sin B3sin A，3.(2)由(1)知b3a，ca，cos C，C(0，)，C.解三角形与其他知识的交汇问题解三角形问题一直是近几年高考的重点，主
10、要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点典例(1)在ABC中，|3，则ABC面积的最大值为()A.B.C. D3解析：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，|3，bccos Aa3.又cos A11，cos A，0sin A，ABC的面积Sbcsin Atan A，故ABC面积的最大值为.答案：B(2)(2017南昌模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2sin Bsin C.求角A；若a4，求ABC面积的最大值解析：由cos2sin Bsin C，得sin Bsin
11、 C，cos(BC)，cos A(0A)，A.由余弦定理a2b2c22bccos A，得16b2c2bc(2)bc，当且仅当bc时取等号，即bc8(2)SABCbcsin Abc4(1)，即ABC面积的最大值为4(1)类题通法化归与转化能力思想是求解三角与其他知识交汇问题的核心，分析交汇知识点，利用其间的联系可找出突破口，从而解决问题演练冲关1(2017沈阳模拟)已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4Sa2(bc)2，bc8，求S的最大值解析：由题意得：4bcsin Aa2b2c22bc，又a2b2c22bccos A，代入上式得：2bcsin A2bccos
12、 A2bc，即sin Acos A1，sin(A)1，又0A，A，A，A，Sbcsin Abc，又bc82，当且仅当bc时取“”，bc16，S的最大值为8.2(2017贵阳模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若b2c2a2bc.(1)求角A的大小；(2)若a，求BC边上的中线AM的最大值解析：(1)由b2c2a2bc，得cos A，又0A，A.(2)AM是BC边上的中线，在ABM中，AM22AMcosAMBc2，在ACM中，AM22AMcosAMCb2，又AMBAMC，cosAMBcosAMC，即cosAMBcosAMC0，得AM2.又a，b2c23bc，b2c26，AM2，即AM，BC边上的中线AM的最大值为.
