1、函数的应用(一) 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点基础过关练题组一一次函数模型1.(2020陕西渭南高一上期中)网上购鞋时常常看到下面这样一张表,第一行可以理解为脚的长度,第二行是我们习惯称呼的“鞋号”.中国鞋码实际标准(mm)220225230235240245250255260265中国鞋码习惯叫法(号)34353637383940414243从上述表格可以推算出,“30号”的童鞋对应的脚的长度是()A.150mmB.200mmC.180mmD.210mm2.从装满20L纯酒精的容器中倒出1L酒精,然后用水加满并摇匀,再倒出1L酒精溶液,再用水加满,照这样的方法继续下去,如果倒第k次
2、时共倒出纯酒精xL,倒第(k+1)次时共倒出纯酒精f(x)L,则f(x)的解析式是()A.f(x)=1920x+1B.f(x)=120x+1C.f(x)=1920(x+1)D.f(x)=120x3.某航空公司规定,乘客所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)的关系由如图所示的函数图像确定,则乘客可免费携带行李的最大质量为.4.某市有A,B两家乒乓球俱乐部,两家的设备和服务都很好,但收费标准不同.A俱乐部每张球台每小时5元;B俱乐部按月收费,一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元,超过30小时的部分每张球台每小时2元.某学校准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少
3、于15小时,也不超过40小时.(1)设在A俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15x40),在B俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15x40),试求f(x)和g(x)的解析式;(2)选择哪家俱乐部比较划算?为什么?题组二二次函数模型5.(2021四川泸州泸县第五中学高一上第一次月考)生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件的生产成本(万元)为f(x)=12x2+2x+20,商品的售价是每件20元,为获取最大利润(利润=收入-生产成本),该企业一个月应生产该商品()A.9万件B.18万件C.22万件D.36万件6.某厂有许多形状为直角梯
4、形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形相邻两边长x,y(y8)应为()A.x=15,y=12B.x=12,y=15C.x=14,y=10D.x=10,y=147.如图,一个小孩将一只皮球从A处抛出去,它所经过的路线是某个二次函数图像的一部分,如果他的出手处A距地面的距离OA为1m,皮球经过路线的最高点为B(8,9),落地点记为C,那么这个函数的解析式为,小孩将球大约抛出了m(精确到0.1m).8.(2021北京东直门中学高一月考)如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角(阴影三角形)被锈蚀,其中AE=4
5、米,CD=6米,为了合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上(包括端点).设MP=x米,PN=y米.(1)写出y关于x的函数关系式,并求出x的取值范围;(2)求矩形BNPM面积的最大值.题组三分段函数模型9.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=cx,x5.(1)要使工厂盈利,产量x应控制在什么范围内?(2)当工厂生产多少台产品时,可盈利最多?13.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,求x的值.14.某森林出现火灾,火势正以100m2
6、/min的速度顺风蔓延,消防站接到报警后立即派消防队员前去,在火灾发生5min后到达救火现场.已知消防队员在现场平均每人每分钟可灭火50m2,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元,另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元,而烧毁1m2森林的损失费为60元,则应该派多少名消防队员前去救火,才能使总损失最少?15.(2020上海浦东新区高三下教学质量检测)某企业准备投产一款产品,在前期的市场调研中发现:需花费180万元用于引进一条生产流水线;每台生产成本Q(x)(万元)和产量x(台)之间近似满足Q(x)=5+135x+1,xN*;(注每台生产成本Q(x)(万元)
7、不包括引进生产流水线的费用)每台产品的市场售价为10万元;每年最高产量可达到100台.(1)若要保证投产这款产品后,一年内实现盈利,则至少需要生产多少台这款产品?(假设生产的产品能全部售出)(2)由于新冠肺炎疫情,这款产品第一年只能售出60台,而如果生产出来的产品没有在当年销售出去,造成积压,那么积压的产品每台将亏损1万元,试判断该企业能否在投产第一年实现盈利.若可以实现盈利,则求出利润最大时的产量;若不能实现盈利,则说明理由.能力提升练一、单项选择题1.(2019湖北宜昌一中高一上期中,)如图所示,有一直角墙角,两边的长度足够长,在点P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0a12),4m,不考
8、虑树的粗细,现在想用16m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为Sm2,若将这棵树围在花圃内,则函数S=f(a)的图像大致是()2.()某物体一天中的温度T是关于时间t的函数:T(t)=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是,t=0表示中午1200,其前t值为负,其后t值为正,则上午8时的温度是()A.8B.112C.58D.183.()拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费(单位:元)由函数f(m)=3.71,0m4,1.06(0.5+1),m4表示,其中是不小于m的最小整数,例如=2,=2,则从甲地到乙地通话5.5分钟的话费为()A.3.71元B.4.24元C
9、.4.7元D.7.95元二、多项选择题4.()在某种金属材料的耐高温试验中,温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图像如图所示.给出下列说法,其中正确的是()A.前5min温度增加的速度越来越快B.前5min温度增加的速度越来越慢C.5min以后温度保持匀速增加D.5min以后温度保持不变5.()某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费);超过3千米但不超过8千米时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8千米时,超过部分按每千米2.85元收费.另外每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是()A.出租车行驶2千米,乘客需付费8元B.出租车行驶4千米
10、,乘客需付费9.6元C.出租车行驶10千米,乘客需付费25.45元D.某人两次乘出租车均行驶5千米的费用之和超过他一次乘出租车行驶10千米的费用三、填空题6.(2020天津耀华中学高一上期中,)某桶装水经营部每天的固定成本为420元,每桶水的进价为5元,若日均销售量y(桶)与销售单价x(元)的关系式为y=-30x+450,则该桶装水经营部要使日利润最大,销售单价应定为元.四、解答题7.(2021江西吉安三中、安福二中高一10月联考,)共享单车是“城市慢行系统”的一种创新模式,对于解决出行“最后一公里”的问题特别有效,由于停取方便、租用价格低廉,共享单车受到人们的喜爱.某自行车厂为共享单车公司生
11、产新样式单车,已知生产新样式单车的固定成本为20000元,每生产一辆新样式单车需要增加投入100元.根据初步测算,自行车厂的总收益h(x)(单位:元)满足h(x)=400x-12x2,0400,xN*,其中x(单位:辆)是新样式单车的月产量.(1)试将利润y(单位:元)表示为月产量x的函数(利润=总收益-总成本);(2)当月产量为多少件时,自行车厂的利润最大?最大利润是多少?8.(2021山西太原外国语学校高一上月考,)如图,某房地产开发公司计划在一小区内建造一个矩形公园ABCD,公园由矩形的休闲区A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成,已知休闲区A1B1C1D1的面积为1000平方米
12、,人行道的宽分别为4米和10米,设休闲区的长A1B1为x米(x0).(1)求矩形公园ABCD所占面积S(单位:平方米)关于x的函数解析式;(2)要使公园所占面积最小,问休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别为多少米?9.()食品安全问题越来越受到人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康造成危害.为了让消费者吃到放心的蔬菜,某农村合作社搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每年投入200万元种植蔬菜,且每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验发现,种西红柿的年收入P(万元)、种黄瓜的年收入Q(万元)与投入资金a(万元)分别满足关系式:P=80+42a,Q=14
13、a+120.设甲大棚的投入资金为x万元,每年两个大棚的总收入为f(x)(万元).(1)求f(50)的值;(2)如何安排甲、乙两个大棚的投入资金,才能使总收入最大?10.()通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生掌握和接受概念的能力依赖于老师引入和讲授概念所用的时间,刚开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持理想状态,随后学生的注意力开始分散.用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大,表示接受能力越强),x表示老师引入和讲授概念所用的时间(单位:分钟),分析结果和试验表明,f(x)和x满足以下关系式:f(x)=-0.1x2+2.6x+43,0x10,59,10x
14、16,-3x+107,16x30.(1)开讲多少分钟后,学生的接受能力最强?能维持多少分钟?(2)开讲5分钟时与开讲20分钟时比较,学生的接受能力何时强一些?(3)一个数学难题,需要不低于55的接受能力以及13分钟的时间,老师能否在学生一直达到所需接受能力的状态下讲完这个难题?并说明理由.答案全解全析第三章函数3.3函数的应用(一)3.4数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点基础过关练1.B2.A5.B6.A9.C10.A1.B设脚的长度为ymm,对应的鞋码为x码,由题中表格可得,y=5x+50.当x=30时,y=530+50=200(mm).故选B.2.A因为倒第k次时共倒出纯酒精xL,所以
15、第k次后容器中含纯酒精(20-x)L,第(k+1)次倒出的纯酒精是20-x20L,所以f(x)=x+20-x20=1920x+1.3.答案19kg解析由题图知函数的图像是直线的一部分,设函数为y=kx+b(k0),将点(30,330),(40,630)代入得30k+b=330,40k+b=630,解得k=30,b=-570,所以y=30x-570,令y=0,得x=19.故乘客可免费携带行李的最大质量为19kg.4.解析(1)由题意可得f(x)=5x(15x40).当15x30时,g(x)=90,当30x40时,g(x)=90+(x-30)2=2x+30,所以g(x)=90,15x30,2x+3
16、0,30x40.(2)当15x18时,75f(x)90,g(x)=90,所以f(x)g(x);当x=18时,f(x)=g(x)=90;当18518=90,所以f(x)g(x);当30530=150,所以f(x)g(x).综上,当15x18时,选择A俱乐部比较划算;当x=18时,两家都可以;当18x40时,选择B俱乐部比较划算.5.B由题意可得,该企业一个月的收入是20x万元,生产成本是12x2+2x+20万元,所以利润M=20x-12x2+2x+20=-12x2+18x-20=-12(x-18)2+142,当且仅当x=18时,M取得最大值.6.A当8y4,则由题意可得c4=30,ca=5,解得
17、c=60,a=144,故选C.10.A由题意得,当0x1时,SAPM=121x=12x;当1x2时,SAPM=S梯形ABCM-SABP-SPCM=121+121-121(x-1)-1212(2-x)=-14x+34;当2x52时,SAPM=1252-x1=-12x+54.结合各选项可知选A.11.解析(1)由题意可知y=600,1x30,xN*,-10x+900,30x70,xN*.(2)设旅行社收入为f(x)(单位:元),则f(x)=xy=600x,1x30,xN*,-10x2+900x,30x70,xN*.当1x30,xN*时,f(x)为增函数,所以f(x)max=f(30)=60030=
18、18000,当3018000,所以当夏令营人数为45时,旅行社可以获得最大收入,最大收入为20250元.12.解析依题意,G(x)=x+2.设利润为f(x)(万元),则f(x)=-0.4x2+3.2x-2.8,0x5,8.2-x,x5.(1)要使工厂盈利,则f(x)0,当0x5时,解不等式-0.4x2+3.2x-2.80,即x2-8x+70,得1x7,15时,解不等式8.2-x0,得x8.2,5x8.2.综上所述,要使工厂盈利,x应满足1x5时,f(x)8.2-5=3.22),y=125tx+100x+60(500+100t)=125x10x-2+100x+30000+60000x-2=125
19、0x-2+2x-2+100(x-2+2)+30000+60000x-2=31450+100(x-2)+62500x-231450+210062500=36450,当且仅当100(x-2)=62500x-2,即x=27(负值舍去)时,y有最小值,最小值为36450.所以应该派27名消防队员前去救火,才能使总损失最少.15.解析(1)由题意可知该商品的利润函数为f(x)=10-Q(x)x-180,000x100,xN*,解得x63.至少生产并销售63台这款产品,才能实现盈利.(2)由(1)可知,当产量0x60,xN*时,无法实现盈利;当产量60x100,xN*时,由题意可知利润函数为f(x)=10
20、-Q(x)60-(x-60)-180.化简得f(x)=181-135x+160+(x+1)180-213560=1.当且仅当x=89时等号成立.可以实现盈利,利润最大时,产量为89台.能力提升练1.C2.A3.B4.BD5.CD一、单项选择题1.C设BC=xm,则花圃的面积为y=x(16-x)=-(x-8)2+64,且ax12.当0a8时,花圃面积的最大值S=64,S为定值;当8a12时,花圃面积的最大值逐渐变小,且S64.观察各选项知选C.2.A求上午8时的温度,即求t=-4时的函数值,所以T(-4)=(-4)3-3(-4)+60=8.故选A.3.B由是不小于m的最小整数可得=6,所以f(5
21、.5)=1.06(0.5+1)=1.064=4.24.故选B.二、多项选择题4.BD温度y关于时间t的图像是先凸后平,即前5min每当t增加一个单位增量t,y相应的增量y越来越小,而5min以后y关于t的增量保持为0,即温度保持不变,则B,D正确.5.CD在A中,出租车行驶2千米,乘客需付起步价8元和燃油附加费1元,共9元,A错误;在B中,出租车行驶4千米,乘客需付费8+12.15+1=11.15(元),B错误;在C中,出租车行驶10千米,乘客需付费8+2.155+2.85(10-8)+1=25.45(元),C正确;在D中,乘出租车行驶5千米,乘客需付费8+22.15+1=13.3(元),乘坐
22、两次需付费26.6元,26.625.45,D正确.故选CD.三、填空题6.答案10解析设该桶装水经营部的利润为f(x)元,则f(x)=xy-420-5y=-30x2+600x-2670=-30(x-10)2+330,所以当x=10时,f(x)取得最大值330,即该桶装水经营部要使日利润最大,销售单价应定为10元.四、解答题7.解析(1)依题意知总成本为(20000+100x)元,则y=-12x2+300x-20000,0400,(2)当0400,xN*时,y=60000-100x是减函数,故y20000,所以当月产量为300辆时,自行车厂的利润最大,最大利润为25000元.8.解析(1)因为休
23、闲区的长A1B1为x米,面积为1000平方米,所以休闲区的宽B1C1为1000x米,所以矩形公园ABCD的长与宽分别为(x+20)米,1000x+8米,因此矩形公园ABCD所占面积S=(x+20)1000x+8=1160+20000x+8x(x0).(2)S=1160+20000x+8x1160+220000x8x=1960,当且仅当20000x=8x,即x=50(负值舍去)时取等号,此时1000x=20,因此要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别为50米,20米.9.解析(1)若甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元,则f(50)=80+4250+14150+120=
24、277.5(万元).(2)f(x)=80+42x+14(200-x)+120=-14x+42x+250,由题意得x20,200-x20,即20x180,故f(x)=-14x+42x+250(20x180).令t=x,则x=t2,t25,65,故y=-14t2+42t+250=-14(t-82)2+282,当t=82,即x=128时,f(x)max=282.所以当甲大棚的投入资金为128万元,乙大棚的投入资金为72万元时,总收入最大.10.解析(1)当0x10时,f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9,故f(x)在0x10时单调递增,最大值为f(10)=-0.1(10-13)2+59.9=59;当1016时,f(x)为减函数,所以f(x)-316+107=59.因此开讲10分钟后,学生达到最强接受能力59,能维持6分钟时间.(2)f(5)=-0.1(5-13)2+59.9=53.5,f(20)=-320+107=4753.5,故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些.(3)不能.理由如下:当016时,令f(x)=55,即-3x+107=55,解得x=523.因此学生达到(含超过)55的接受能力的时间为523-6=343分钟13分钟,所以老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲完这个难题.
