1、专题六 导数讲义6.3导数与函数的极值、最值知识梳理.极值与最值1函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值2函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值
2、与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值题型一. 极值、最值的概念1函数yxsinx+cosx的一个极小值点为（）Ax=2Bx=2CxDx=32【解答】解：yf（x）xsinx+cosx，f（x）sinx+xcosxsinxxcosx，令f（x）0，解得x0或x=2+k，kZ，易得，函数在（0，12）单调递增，（12，）单调递减，故x=12为函数的极大值点，函数在（12，0）单调递减，（，12）单调递减增故x=12为函数的极大值点，函数在（12，32）单调
3、递减，在（32，2）单调递增，x不是极值点，x=32为函数的极小值点故选：D2（2017全国2）若x2是函数f（x）（x2+ax1）ex1的极值点，则f（x）的极小值为（）A1B2e3C5e3D1【解答】解：函数f（x）（x2+ax1）ex1，可得f（x）（2x+a）ex1+（x2+ax1）ex1，x2是函数f（x）（x2+ax1）ex1的极值点，可得：f（2）（4+a）e3+（42a1）e30，即4+a+（32a）0解得a1可得f（x）（2x1）ex1+（x2x1）ex1，（x2+x2）ex1，函数的极值点为：x2，x1，当x2或x1时，f（x）0函数是增函数，x（2，1）时，函数是减函数，
4、x1时，函数取得极小值：f（1）（1211）e111故选：A3（2013全国2）已知函数f（x）x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）Ax0R，f（x0）0B函数yf（x）的图象是中心对称图形C若x0是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（，x0）上单调递减D若x0是f（x）的极值点，则f（x0 ）0【解答】解：A、对于三次函数f （x ）x3+ax2+bx+c，A：由于当x时，y，当x+时，y+，故x0R，f（x0）0，故A正确；B、f（2a3x）+f（x）（2a3x）3+a（2a3x）2+b（2a3x）+c+x3+ax2+bx+c=4a3272ab3+2c，f（a3）（a3）3+
5、a（a3）2+b（a3）+c=2a327ab3+c，f（2a3x）+f（x）2f（a3），点P（a3，f（a3）为对称中心，故B正确C、若取a1，b1，c0，则f（x）x3x2x，对于f（x）x3x2x，f（x）3x22x1由f（x）3x22x10得x（，13）（1，+）由f（x）3x22x10得x（13，1）函数f（x）的单调增区间为：（，13），（1，+），减区间为：（13，1），故1是f（x）的极小值点，但f（x ）在区间（，1）不是单调递减，故C错误；D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f（x0 ）0，故D正确由于该题选择错误的，故选：C4已知函数f（x）x3+ax24x+
6、5在x2处取极值（aR）（1）求f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在3，3上的最大值【解答】解：（1）由f（x）x3+ax24x+5，得f（x）3x2+2ax4，函数f（x）在x2处取极值，f（2）0，a2，经检验，a2符合题意，f（x）x3+2x24x+5（2）由（1）知f（x）3x2+4x4（3x2）（x+2），x3，2）时，f（x）0；x(2，23)时，f（x）0；x(23，3时，f（x）0；x3，2）时，f（x）单调递增；x(2，23)时，f（x）单调递减；x(23，3时，f（x）单调递增；f（x）的最大值只可能为f（2）或f（3），又f（2）13，f（3）38，函数f（x）在3，
7、3上的最大值为f（3）38题型二.已知极值、最值求参考点1.利用二次函数根的分布1若函数f（x）x33bx+b在区间（0，1）内有极小值，则b的取值范围是（）A（，1）B（0，1）C（1，+）D（1，0）【解答】解：由题意，得f（x）3x23b，令f（x）0，则xb，函数在（b，b）上f（x）0，函数递减，在（b，+）上f（x）0，函数递增x=b时，函数取得极小值函数f（x）x33bx+b在区间（0，1）内有极小值，0b1，b（0，1）故选：B2已知函数f（x）=13x312ax2+x在区间（12，3）上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（）A（2，+）B2，+）C（2，52）D（2，
8、103）【解答】解：函数f（x）=13x312ax2+x，求导f（x）x2ax+1，由f（x）在（12，3）上既有极大值又有极小值，则f（x）0在（12，3）内应有两个不同实数根f(12)0f(3)0121a3f(1a)0，解得：2a52，实数a的取值范围（2，52），故选：C考点2.参变分离3若函数f（x）=x33a2x2+x+1在区间（12，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（）A（2，52）B2，52）C（2，103）D2，103）【解答】解：函数f（x）=x33a2x2+x+1，f（x）x2ax+1，若函数f（x）=x33a2x2+x+1在区间（12，3）上有极值点，则f（x）x2a
9、x+1在区间（12，3）内有零点由x2ax+10可得ax+1xx（12，3），2a103，当a2时，函数f（x）的导函数等于零时值只有1，可是两边的单调性相同，所以a不能等于2故选：C4已知函数f(x)=exx2+2klnxkx，若x2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A(，e24B(，e2C（0，2D2，+）【解答】解：函数f（x）的定义域是（0，+），f（x）=ex(x2)x3+2kxk=(exkx2)(x2)x3，x2是函数f（x）的唯一一个极值点，x2是导函数f（x）0的唯一根，exkx20在（0，+）无变号零点，即k=exx2在x0上无变号零点，令g（x）=exx2
10、，因为g（x）=ex(x2)x3，所以g（x）在（0，2）上单调递减，在x2 上单调递增，所以g（x）的最小值为g（2）=e24，所以必须ke24，故选：A考点3.分类讨论5已知函数f（x）ax1x（a+1）lnx+1在（0，1上的最大值为3，则实数ae【解答】解：f（x）a+1x2a+1x=(ax1)(x1)x2，令g（x）（ax1）（x1），x（0，1），当a1时，ax1x10，g（x）0，f（x）0，f（x）在（0，1上单调递增，f（x）maxf（1）a，即a3（舍去），当a1时，x（0，1a），g（x）0，f（x）0；x（1a，1）时，g（x）0，f（x）0，故f（x）在（0，1a）上
11、单调递增，在（1a，1）上单调递减，f（x）maxf（1a），2a（a+1）ln1a=3，即a（a+1）lna+10，即a（a+1）lna+10，令h（x）x（x+1）lnx+1（x1），h（x）lnx1x0，h（x）在（1，+）上单调递减，且h（e）0，ae，故答案为：e6已知函数f(x)=(12x2ax)lnx12x2+32ax（1）讨论函数f（x）的极值点；（2）若f（x）极大值大于1，求a的取值范围【解答】解：f(x)=(xa)lnx+12xax+32a=(xa)(lnx12)（1）a0时，f（x）在(0，e)单减，(e，+)单增，极小值点为x=e0ae时，f（x）在（0，a）单增，(
12、a，e)单减，(e，+)单增，极小值点为x=e，极大值点为xaa=e时，f（x）在（0，+）单增，无极值点ae时，f（x）在(0，e)单增，(e，a)单减，（a，+）单增，极小值点为xa，极大值点为x=e（2）由（1），a0和a=e时，无极大值，不成立当ae时，极大值f(e)=aee41，解得ae4+1e，e4+1ee=1e3e4=1e(13e4)0，ae当0ae时，极大值f(a)=12a2(2lna)1，得2lna2a2，令ta2，则g(t)=212lnt2t，g(t)=12t+2t2=4t2t2，g(t)在t4取得极大值g（4）0，且g（1）0，而ae，te，而g（t）在（1，e）单增，g
13、（t）0解为（1，e），则a(1，e)，综上a(1，e)(e，+)7已知函数f（x）lnxax（aR）（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若函数f（x）在1，e上的最小值为32，求a的值【解答】解：（1）函数f（x）lnxax的导数为f（x）=1x+ax2=x+ax2，x0，当a0时，f（x）0恒成立，f（x）在（0，+）递增；当a0时，由f（x）0可得xa，则f（x）在（a，+）递增；（2）由f（x）在1，e上的最小值可能为端点处的函数值或极值，若f（1）a为最小值，可得a=32，即a=32，由（1）可得f（x）在1，32）递减，在（32，e递增，故f（x）在x=32处取得最小值，故不成
14、立；若f（e）1ae为最小值，可得1ae=32，即a=12e，由（1）可得f（x）在1，12e）递减，在（12e，e递增，故f（x）在x=12e处取得最小值，故不成立；若f（a）ln（a）+1为最小值，可得ln（a）+1=32，即a=e，由（1）可得f（x）在1，e）递减，在（e，e递增，故f（x）在x=e处取得最小值，故成立则a=e考点4.初探隐零点设而不求，虚设零点8（2013湖北）已知a为常数，函数f（x）x（lnxax）有两个极值点x1，x2（x1x2）（）Af(x1)0，f(x2)12Bf(x1)0，f(x2)12Cf(x1)0，f(x2)12Df(x1)0，f(x2)12【解答】解
15、：f（x）lnx+12ax，（x0）令f（x）0，由题意可得lnx2ax1有两个解x1，x2函数g（x）lnx+12ax有且只有两个零点g（x）在（0，+）上的唯一的极值不等于0g(x)=1x2a=12axx当a0时，g（x）0，f（x）单调递增，因此g（x）f（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去当a0时，令g（x）0，解得x=12a，x(0，12a)，g（x）0，函数g（x）单调递增；x(12a，+)时，g（x）0，函数g（x）单调递减x=12a是函数g（x）的极大值点，则g(12a)0，即ln12a+11=ln(2a)0，ln（2a）0，02a1，即0a12故当0a12时，g（x）0有
16、两个根x1，x2，且x112ax2，又g（1）12a0，x1112ax2，从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+）上递减f（x1）f（1）a0，f（x2）f（1）a12故选：D9已知f（x）（x1）2+alnx在(14，+)上恰有两个极值点x1，x2，且x1x2，则f(x1)x2的取值范围为（）A(3，12ln2)B(12ln2，1)C(，12ln2)D(12ln2，34ln2)【解答】解：f（x）（x1）2+alnx，则f（x）2x2+ax=2x22x+ax（x0），令f（x）0，得2x22x+a0，由题意知2x22x+a0在（14，+）上
17、有2个根x1，x2，故a02(14)2214+a0=48a0，解得：38a12，由根与系数的关系得x1+x2=1x1x2=a2，由求根公式得x1，2=112a2，x1x2，x2=1+12a2，38a12，12x234，则f(x1)x2=(x11)2+alnx1x2=x22+2x1x2lnx1x2x2+2（1x2）ln（1x2）x21+2（1x2）ln（1x2）+1（12x234），令t1x2，则14t12，设g（t）t+2tlnt+1（14t12），则g（t）1+2lnt，易知g（t）在（14，12）上单调递增，故g（t）1+2lnt12ln2lne40，故当14t12时，函数g（t）为减函数
18、，g（t）14+214ln14+1=34ln2，且g（t）12+2ln12ln12+1=12ln2，f(x1)x2（12ln2，34ln2）故选：D10（2017全国2）已知函数f（x）ax2axxlnx，且f（x）0（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e2f（x0）22【解答】解：（1）因为f（x）ax2axxlnxx（axalnx）（x0），则f（x）0等价于h（x）axalnx0，求导可知h（x）a1x则当a0时h（x）0，即yh（x）在（0，+）上单调递减，所以当x01时，h（x0）h（1）0，矛盾，故a0因为当0x1a时h（x）0、当x1a时h（x）0，所以h（
19、x）minh（1a），又因为h（1）aaln10，所以1a=1，解得a1；另解：因为f（1）0，所以f（x）0等价于f（x）在x0时的最小值为f（1），所以等价于f（x）在x1处是极小值，所以解得a1；（2）由（1）可知f（x）x2xxlnx，f（x）2x2lnx，令f（x）0，可得2x2lnx0，记t（x）2x2lnx，则t（x）21x，令t（x）0，解得x=12，所以t（x）在区间（0，12）上单调递减，在（12，+）上单调递增，所以t（x）mint（12）ln210，又t（1e2）=2e20，所以t（x）在（0，12）上存在唯一零点，所以t（x）0有解，即f（x）0存在两根x0，x2，且
20、不妨设f（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x02lnx00，所以f（x0）=x02x0x0lnx0=x02x0+2x02x02=x0x02，由x012可知f（x0）（x0x02）max=122+12=14；由f（1e）0可知x01e12，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1e）上单调递减，所以f（x0）f（1e）=1e2；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e2f（x0）22课后作业.极值、最值1若函数f（x）（x2+ax+3）ex在（0，+）内有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是（）A（
21、，2）B（，2C（，3）D（，3【解答】解：函数的导数f（x）（2x+a）ex+（x2+ax+3）exx2+（a+2）x+a+3ex，若函数f（x）（x2+ax+3）ex在（0，+）内有且仅有一个极值点，等价为f（x）0在0，+）上只要一个变号根，即f（0）0，即可此时a+30，得a3，当a3时，f（x）（x2x）ex，由f（x）0得x0或x1，即x1是函数的一个极值点，满足条件，综上a3，即实数a的取值范围是（，3，故选：D2已知函数f(x)=xex13ax312ax2有三个极值点，则a的取值范围是（）A（0，e）B(0，1e)C（e，+）D(1e，+)【解答】解：函数的导数f（x）ex+x
22、exax2ax，若函数f(x)=xex13ax312ax2有三个极值点，等价为f（x）ex+xexax2ax0有三个不同的实根，即（1+x）exax（x+1）0，即（x+1）（exax）0，则x1，则exax0，有两个不等于1的根，则a=exx，设h（x）=exx，则h（x）=exxexx2=ex(x1)x2，则由h（x）0得x1，由h（x）0得x1且x0，则当x1时，h（x）取得极小值h（1）e，当x0时，h（x）0，作出函数h（x）=exx，的图象如图，要使a=exx有两个不同的根，则满足ae，即实数a的取值范围是（e，+），故选：C3已知f（x）ex，g（x）lnx，若f（t）g（s），
23、则当st取得最小值时，f（t）所在区间是（）A（ln2，1）B（12，ln2）C（13，1e）D（1e，12）【解答】解：令f（t）g（s）a，即etlnsa0，tlna，sea，stealna，（a0），令h（a）ealna，h（a）ea1ayea递增，y=1a递减，故存在唯一aa0使得h（a）0，0aa0时，ea1a，h（a）0，aa0时，ea1a，h（a）0，h（a）minh（a0），即st取最小值时，f（t）aa0，由零点存在定理验证ea01a0=0的根的范围：a0=12时，ea01a00，a0ln2时，ea01a00，故a0（12，ln2），故选：B4已知函数f（x）lnx+x2ax
24、+a（a0）有两个极值点x1、x2（x1x2），则f（x1）+f（x2）的最大值为（）A1ln2B1ln2C2ln2D3ln2【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=1x+2xa=2x2ax+1x，由题意可知2x2ax+10在（0，+）上有两个不同的解x1，x2，所以x1+x2=a2，x1x2=12，且202a0+1=10a40=a280，解得a22，所以f（x1）+f（x2）lnx1+x12ax1+a+lnx2+x22ax2+a，ln（x1x2）+x12+x22a（x1+x2）+2a=a24+2aln21=14（a4）2+3ln23ln2，当a4时，等号成立，故f（x1）+f
25、（x2）的最大值为3ln2故选：D5已知函数f(x)=lnx+12ax2+x，aR（1）求函数f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=1x+ax+1=ax2+x+1x当a0时，f（x）=1+xx，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，令f（x）0得ax2+x+10，14a（）当0，即a14时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，（）当0，即a14时，方程ax2+x+10的两个实根分别为 x1=114a2a，x2=1+14a2a若0a
26、14，则x10，x20，此时，当x（0，+）时，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递增若a0，则x10，x20，此时，当x（0，x1）时，f（x）0，f（x）单调递增，当x（x1，+）时，f（x）0f（x）单调递减，综上，当a0时，函数f（x）的单调递增区间为(0，114a2a)，单调递减区间为(114a2a，+)；当a0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+），（2）：由（1）得当a0时，函数f（x）在（0，+）上单调递增，故函数f（x）无极值；当a0时，函数f（x）的单调递增区间为(0，114a2a)，单调递减区间为(114a2a，+)；则f（x）有极大值，其值为f(x1)=lnx1+12ax12+x1，其中x1=114a2a而ax12+x1+1=0，f(x1)=lnx1+x112，设函数h（x）lnx+x12，x0，则h（x）=1x+120，则h（x）lnx+x12在（0，+）上为增函数又h（1）0，故h（x）0等价于x1因而f(x1)=lnx1+x1120等价于x11即在a0时，方程ax2+x+10的大根大于1，设（x）ax2+x+1，由于（x）的图象是开口向下的抛物线，且经过点（0，1），对称轴x=12a0，则只需（1）0，即a+20解得a2，而a0，故实数a的取值范围为（2，0）
