1、5.4 数系的扩充与复数的引入-2-知识梳理 双基自测 2311.复数的有关概念 内 容 意 义 备 注 复数的概念 形如 (aR,bR)的数叫复数,其中实部为 ,虚部为 当 b=0 时,a+bi 为实数;当 a=0,且 b0 时,a+bi为纯虚数;当 b0时,a+bi 为虚数 复数相等 a+bi=c+di 实数能比较大小,虚数不能比较大小 共轭复数 a+bi 与 c+di 共轭 (a,b,c,dR)实数 a 的共轭复数是 a本身 a+bi a b a=c,且b=d a=c,且b=-d-3-知识梳理 双基自测 231内 容 意 义 备 注 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面
2、,叫实轴,y 轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数 复数的模 设OZ 对应的复数为 z=a+bi,则向量OZ 的长度叫做复数z=a+bi 的模,记作|z|或|a+bi|z|=|a+bi|=a2+b2 x轴-4-知识梳理 双基自测 2312.复数的几何意义 -5-知识梳理 双基自测 2313.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则 加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=;乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=;除法:12=
3、+i+i=(+i)(-i)(+i)(-i)=+2+2+-2+2i(c+di0).(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(ad+bc)i-6-知识梳理 双基自测 231(2)复数加法的运算定律:复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3C,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=.(3)复数加、减法的几何意义 复数加法的几何意义:若复数 z1,z2 对应的向量1 ,2 不共线,则复数 z1+z2是以1 ,2 为两邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数;复数减法的几何意义:复数 z1-z2 是1 2 =21 所对应的复数.z2+z1 z1+(z2+z3)2-7-
4、知识梳理 双基自测 34151.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)若aC,则a20.()(2)已知z=a+bi(a,bR),当a=0时,复数z为纯虚数.()(3)复数z=a+bi(a,bR)中,虚部为bi.()(4)方程x2+x+1=0没有解.()(5)由于复数包含实数,在实数范围内两个数能比较大小,因而在复数范围内两个数也能比较大小.()答案 答案 关闭(1)(2)(3)(4)(5)-8-知识梳理 双基自测 23415 答案 解析 解析 关闭要使复数 z 在复平面内对应的点在第四象限,应满足 +3 0,-1 0,解得-3m1,故选 A 答案 解析 关闭A 2.(2016全国甲卷,理1
5、)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+)D.(-,-3)-9-知识梳理 双基自测 234153.(2016全国乙卷,理2)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()A.1B.2C.3D.2 答案 解析 解析 关闭因为(1+i)x=1+yi,x,yR,所以 x=1,y=x=1.所以|x+yi|=|1+i|=2,故选 B.答案 解析 关闭B-10-知识梳理 双基自测 234154.设 i 是虚数单位,则复数 i3-2i=()A.-iB.-3i C.iD.3i 答案 解析 解析 关闭i
6、3-2i=i2i-2ii2=-i+2i=i,故选 C.答案 解析 关闭C-11-知识梳理 双基自测 234155.(教材习题改编P129TB1)已知(1+2i)=4+3i,则z=.答案 解析 解析 关闭=4+3i1+2i=(4+3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=10-5i5=2-i,z=2+i.答案 解析 关闭2+i -12-考点1 考点2 考点3 考点 1 复数的有关概念 例 1(1)设复数 z 满足1+1-=i,则|z|=()A.1B.2C.3D.2(2)下面是关于复数 z=2-1+i的四个结论:p1:|z|=2;p2:z2=2i;p3:z的共轭复数为1+i;p4:z的虚部为-1
7、.其中正确的是()A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4(3)(2016江苏,2)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是 .思考求解与复数概念相关问题的基本思路是什么?答案 答案 关闭(1)A(2)C(3)5-13-考点1 考点2 考点3 解析:(1)1+1-=i,z=i-1i+1=(i-1)(-i+1)(i+1)(-i+1)=i,|z|=1.(2)z=2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-1-i,故|z|=2,p1 错误;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2正确;z 的共轭复数为-1+i,p3 错误;p4 正确.(3)因为 z=(1+2
8、i)(3-i)=5+5i,所以 z 的实部是 5.-14-考点1 考点2 考点3 解题心得求解与复数概念相关问题的基本思路:复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数以及求复数的实部、虚部都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,bR)的形式,再根据题意求解.-15-考点1 考点2 考点3 对点训练1(1)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.2+i B.2-iC.-1+iD.-1-i A.-4B.-45C.4D.45(2)复数 z=-3+i2+i的共轭复数是()答案 答案 关闭(1)D(2)D-16-考点1 考
9、点2 考点3 解析:(1)(3-4i)z=|4+3i|,z=53-4i=5(3+4i)(3-4i)(3+4i)=35+45i.(2)z=-3+i2+i=(-3+i)(2-i)(2+i)(2-i)=-5+5i5=-1+i,故 z 的共轭复数为-1-i.-17-考点1 考点2 考点3 考点 2 复数的几何意义 例2(1)设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限(2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.-5B.5C.-4+iD.-4-i 思考复数具有怎样的几何意义?几何意义的作用是什么?2i
10、1-i 答案 答案 关闭(1)B(2)A-18-考点1 考点2 考点3 解析:(1)由复数除法的运算法则可得,2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=2i-22=-1+i,对应点为(-1,1)在第二象限内.故选B.(2)由题意知:z2=-2+i.又z1=2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选A.-19-考点1 考点2 考点3 解题心得 1.复数 z=a+bi(a,bR)Z(a,b)=(a,b).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.-20-考点1 考点2 考点
11、3 对点训练2(1)如图,在复平面内,若复数z1,z2对应的向量分别是则复数z1+z2所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限(2)设aR,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=.,答案 解析 解析 关闭(1)由题图知A(1,2),B(1,-1),所以z1=1+2i,z2=1-i,所以z1+z2=1+2i+1-i=2+i,其在复平面内对应的点为(2,1),位于第一象限,故选A.(2)(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)iR,a+1=0,即a=-1.答案 解析 关闭(1)A(2)-1-21-考点1 考点2 考点3 考点 3 复数的代数运
12、算 例3(1)复数=()A.iB.1+i C.-iD.1-i(2)已知a,bR,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则的值为 .思考利用复数的四则运算求复数的一般方法是什么?1+2i2-i 答案 答案 关闭(1)A(2)2-22-考点1 考点2 考点3 解析:(1)1+2i2-i=(1+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=2+i+4i-25=i,故选 A.(2)(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,则 1+=,1-=0,所以 =2,=1,即=2.故答案为 2.-23-考点1 考点2 考点3 解题心得利用复数的四则运算求复数的一般方法:(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类
13、比多项式的运算.(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简.-24-考点1 考点2 考点3 对点训练3(1)已知a,bR,i是虚数单位,若a+i=2-bi,则(a+bi)2=()A.3-4iB.3+4iC.4-3iD.4+3i A.1+i B.1-iC.-1+iD.-1-i(3)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=()A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i(2)已知(1-i)2=1+i(i 为虚数单位),则复数 z=()答案 解析 解析 关闭(1)a+i=2-bi,a+bi=2-i,即(a+bi)2=(2-i)2=4-4i-1=3-4i.(2)由已知得 z=(1-i)21+i=-2i1+i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-2-2i2=-1-i.(3)(z-2i)(2-i)=5,z-2i=52-i.z=2i+52-i=2i+5(2+i)(2-i)(2+i)=2i+2+i=2+3i.故选 A.答案 解析 关闭(1)A(2)D(3)A
