1、上海市南洋中学2020届高三数学上学期10月学习能力诊断测试题（含解析）一、填空题（本题满分54分，1-6题每小题4分，7-12题每小题5分）1.已知全集，集合，则 【答案】；【解析】试题分析：由已知得，所以，故答案为考点：集合的运算2.方程的解_.【答案】【解析】【分析】根据对数的运算性质，可得，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据对数的运算性质，可得，可得，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质及其应用，其中解答中熟记对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.函数的反函数是_【答案】【解析】【分析】先求函数的值域为，再将用表示，最后
2、对调.【详解】因为，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查反函数的求法，考查简单的运算能力和对概念的理解.4.已知数列是等差数列，若，则_【答案】【解析】【分析】利用等差中项得，所求式子也利用等差中项化简得，即可到到答案.【详解】因为数列是等差数列，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查等差中项的性质，考查基本量法的运用，属于基础题.5.若，则_【答案】【解析】【分析】根据诱导公式得，即可得到答案.【详解】因为，所以.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式，求解过程中不能把正负号弄错，考查奇变偶不变这一法则的简单运用.6.已知数列的通项公式为，则_【答案】【解析】【分析】先
3、对等比数列进行求和，再进行极限运算.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列前项和、数列极限计算，考查数列中的基本量法，考查基本的运算求解能力.7.某班要从名男生和名女生中选出人参加公益活动，要求人中既有男生又有女生，则不同的选法种数有_种.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】选出人中既有男生又有女生，包括两种情况，一2男1女，二是1男2女，分别计算后再相加得到选法种数.【详解】选出人中既有男生又有女生，包括两种情况：2男1女选法共有：；1男2女选法共有：，由加法原理得：不同的选法种数有.故答案为：.【点睛】本题考查组合及两个基本计数原理、组合数公式的应用，体现了分类论
4、论的数学思想.8.已知为单位矩阵，且，则_【答案】【解析】【分析】利用单位矩阵是个方阵，除左上角到右下角的对角线上的元素均为1，以外全都为0，即可求出的正弦值和余弦值，再根据角的范围得到的余弦值和正弦值，再代入两角和的正弦公式中，即可得到答案.【详解】因为为单位矩阵，所以因为，所以所以.故答案为：.【点睛】本题考查单位矩阵概念、同角三角函数的基本关系、两角和正弦公式，考查基本运算能力，注意在求解过程中，符号的正负不能弄错.9.设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为 【答案】【解析】试题分析：设等比数列的公比为，由得，解得.所以，于是当或时，取得最大值.考点：等
5、比数列及其应用10.已知函数的定义域为，当时，;当时，；当时，则_【答案】【解析】当时，所以当时，故；当时，所以；当时，所以，故故填.11.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是_【答案】【解析】要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大因为ABC内切圆的半径为2，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值为，此时球的体积为R3=，故填.12.如果等差数列的公差都为，若满足对于任意，都有，其中为常数，则称它们互为“同宗”数列.已知等差数列中，首项，公差，数列为数列的“同宗”数列，若，则_【答案】
6、2【解析】【分析】由等差数列通项公式得，由新定义可得，分别讨论，2，3，求得的极限，由数列的单调性可得【详解】由等差数列中，首项，公差，可得，数列为数列的“同宗”数列，可得，由，则，当时，若，不成立；当时，成立；当时，不成立；同理可得时，由，即，可设，可得递减，可得仅有时，故答案为：2【点睛】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消法求和，以及数列极限的求法，考查分类讨论思想方法和运算能力、推理能力，属于中档题二、选择题（本题满分20分，每小题5分）13.已知点在第三象限，则角的终边在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由点在第三象限得再根
7、据三角函数在各个象限的符号，判断角所在的象限.【详解】点在第三象限得所以所以第二象限角.故选：B.【点睛】本题主要考查角的象限的确定，根据三角函数值的符号和角的关系是解决本题的关键14.已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】当“直线a和直线b相交”时，平面和平面必有公共点，即平面和平面相交，充分性成立；当“平面和平面相交”，则 “直线a和直线b可以没有公共点”，即必要性不成立.故选A.15.无穷等差数列的首项，公差，的前项的和为，则（ ）A.
8、单调递减B. 单调递增C. 有最大值D. 有最小值【答案】C【解析】【分析】由等差数列的公差得数列为递减数列，且先正值，后负值，从而判断出有最大值【详解】无穷等差数列的首项，公差，是递减数列，且先正值，后负值；的前项和为先增加，后减小；有最大值；故选：C.【点睛】本题考查等差数列的单调性，求解时要从两个量，判断等差数列的性质.事实上，等差数列的前几项都大于或等于0，从某项起开始小于0，则此类等差数列存在前几项和达到最大值.16.已知函数满足，若函数与图像的交点为则（ ）A. 0B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意得,函数和的图象都关于对称,所以两函数的交点也关于对称,对于每一组
9、对称点和，都有.从而.故选B.考点：函数的性质.【易错点睛】本题主要考查了函数的性质.本题作为高考选择题的压轴题,考生的易错点是不明确本题要考察的知识点是什么,不知道正确利用两个函数的对称性（中心对称）,确定两个函数的交点也是关于对称,最后正确求和得出结论.本题考查了函数的对称性,但不是从奇偶性的角度进行考查,从而提高了考试的难度.三、解答题（本题满分76分）17.如图，在正三棱柱中，已知它的底面边长为，高为.（1）求正三棱柱的表面积与体积；（2）若分别是的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由，能求出正三棱柱的表面积，再由底
10、面积乘高求出正三棱柱的体积（2）连结，则，从而等于异面直线与所成角，由此能求出异面直线与所成角的大小【详解】（1），。（2）连结，则，又，故等于异面直线与所成角.由已知得，故于是异面直线与所成角的大小为.【点睛】本题考查正三棱柱的体积和表面积的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养18.已知为锐角，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正切函数的倍角公式求得，再结合平方关系求得，的值，最后由倍角公式得的值；（2）由（1）求得，再由求得，利用，展开两角差的正切求解【详解】（1），又为锐角，由得：，；（2）
11、由（1）得，则，则点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，求解过程中，注意根据角的范围决定三角函数值的符号的应用19.某企业参加项目生产工人为人，平均每人每年创造利润万元.根据现实的需要，从项目中调出人参与项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润万元（），项目余下的工人每人每年创造利图需要提高（1）若要保证项目余下的工人创造的年总利润不低于原来名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从项目调出的人数不能超过总人数的时，才能使得项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围
12、.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，列出不等式，求解即可；（2）求出的范围，得出不等式，整理可得恒成立，根据的范围，可知函数在定义域内为减函数，当时，函数取得最小值【详解】设调出人参加项目从事售后服务工作（1）由题意得：，即，又，所以即最多调整500名员工从事第三产业（2）由题知，从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则，所以，所以，即恒成立，因为，所以，所以，又，所以，即的取值范围为【点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值20.已知函数，其中，（1）当时，求使得等式成立的的取值范围；（2）当
13、时，求使得等式成立的的取值范围；（3）求的区间上的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由得，再将代入不等式得：，对进行讨论去绝对值，从而得到的取值范围；（2）问题等价于解不等式，其中，对分成和两种情况去掉绝对值，再解含参不等式；（3）由题意得为一个分段函数，利用（2）的结论得分别求出每一段函数的最大值，再进行比较，最大的即为函数的最大值.【详解】（1）由得，因为，所以上述不等式等价于，当时，解得：，所以；当时，方程无解，所以；综上所述.（2）因为，所以由，当时，显然成立，所以不成立.当时，方程的两根为，且，所以的解为，与取交集还是，综上所述：使成立的的取值范围是.（3）
14、由（2）得，当时，此时，所以.当时，因为，所以的最大值为中较大者，当时，即，；当时，即，；当时，即，；所以综上所述：【点睛】本题以新定义取两个函数中较小的构成新的函数，考查一元二次函数中的含参讨论问题，对逻辑推理能力和运算求解能力的要求较高，综合考查数形结合思想、分类讨论思想、数形结合思想，读懂为分段函数是求解本题的关键.21.若有穷数列（）满足：；.则称该数列为“阶非凡数列”（1）分别写出一个单调递增的“阶非凡数列”和一个单调递减的“阶非凡数列”；（2）设，若“阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式；（3）记“阶非凡数列”的前项的和为，求证：【答案】（1）三阶；四阶；（2），；（3）证明见解析
15、；【解析】分析】（1）令即可得到“阶非凡数列”；令，即可得到“阶非凡数列”；（2）由等差数列是“阶非凡数列” 得，则数列各项以为分界线，接下来对公差分两种情况讨论，即和，将均用表示，从而分别求得通项公式；（3）对分两种情况讨论，即和，当时结论显然成立，当时，要结合绝对值不等式进行证明.【详解】（1）“阶非凡数列”为：；“阶非凡数列”为：.（2）设等差数列的公差为，即，当时，为递增数列，且，；，.，当时，为递减数列，同理可得：，即，.（3）当时，；当时，综上所述：成立.【点睛】本题考查新定义的应用、数列的求和、绝对值不等式的证明方法，考查综合分析问题和解决问题的能力，对逻辑推理能力和运算求解能力要求较高.
