1、5简单的幂函数(二)内容标准学科素养1.理解函数奇偶性的定义2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题.精确数学概念熟练数形结合恰当等价转化授课提示：对应学生用书第36页基础认识知识点一函数奇偶性的几何特征观察下列函数图像，判断函数的奇偶性提示：关于y轴对称，所以对应函数为偶函数，关于原点对称，所以对应函数为奇函数知识梳理函数奇偶性的几何特征一般地，图像关于y轴对称的函数称为偶函数，图像关于原点对称的函数称为奇函数知识点二函数的奇偶性(1)若对定义域内的任意x都有f(x)f(x)0或1(f(x)0)，则对应的函数是不是奇函数？提示：根据奇函数的定义知，满足这
2、两种对应关系的函数都是奇函数(2)若函数图像关于原点对称，则该函数是不是奇函数？提示：根据函数的图像特征，结合奇函数的定义知该函数是奇函数知识梳理函数的奇偶性(1)奇函数的定义一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数，在奇函数f(x)中，f(x)和f(x)的绝对值相等，符号相反，即f(x)f(x)反之，满足f(x)f(x)的函数yf(x)一定是奇函数注意：奇函数的定义域一定关于原点对称(2)偶函数的定义一般地，图像关于y轴对称，像这样的函数叫作偶函数在偶函数f(x)中，f(x)和f(x)的值相等，即f(x)f(x)；反之，满足f(x)f(x)的函数yf(x)一定是偶函数注意：偶函数的定义域一定
3、关于原点对称(3)当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有奇偶性知识点三奇偶性与单调性判断函数yx2和y在(，0)和(0，)上的单调性的特点提示：yx2是偶函数，在(0，)上是增函数，在(，0)上是减函数，yx2在(，0)和(0，)上单调性相反y是奇函数，在(，0)和(0，)上单调性相同知识梳理奇偶性与单调性一般地，(1)若奇函数f(x)在a，b上是增函数，且有最大值M，则f(x)在b，a上是增函数，且有最小值M.(2)若偶函数f(x)在(，0)上是减函数，则f(x)在(0，)上是增函数(3)知道了函数的奇偶性，我们可以先研究函数的一半，再利用对称性了解其另一半，从而减少工作量思考：1.奇(
4、偶)函数的定义域有何特征？提示：奇(偶)函数的定义要求“对定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)(f(x)f(x)”，故“x”，“x”两个变量均属于定义域，即奇(偶)函数的定义域必关于原点对称2若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)是定值吗？提示：f(0)0.因为f(x)是奇函数，f(0)f(0)，即f(0)f(0)，2f(0)0，f(0)0.3你认为怎样判断函数的奇偶性？提示：第一步：求定义域并判断是否关于原点对称第二步：若定义域关于原点对称则求f(x)并判断是否等于f(x)或f(x)第三步：若f(x)f(x)，则f(x)是奇函数，若f(x)f(x)，则f(x)是偶函数，若定义域不关于
5、原点对称或f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)不具有奇偶性 自我检测1函数yx是()A奇函数 B偶函数C奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数解析：令f(x)x，则f(x)xf(x)，f(x)是奇函数答案：A2函数f(x)x2的图像()A关于x轴对称 B关于y轴对称C关于原点对称 D关于yx对称解析：f(x)(x)2x2f(x)，f(x)为偶函数，图像关于y轴对称答案：B3已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)3，则f(2)等于_解析：由于函数f(x)是奇函数，则f(2)f(2)3.答案：3授课提示：对应学生用书第37页探究一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x
6、)；(2)f(x)x32x；(3)f(x)；(4)f(x)思路点拨先求出定义域，再判断f(x)与f(x)的关系解析(1)函数的定义域为x|x1，不关于原点对称，f(x)既不是奇函数又不是偶函数(2)函数的定义域为R，关于原点对称，f(x)(x)32(x)2xx3f(x)，f(x)是奇函数(3)由得x21，即x1.函数的定义域为1,1，关于原点对称又f(1)f(1)0，f(x)既是奇函数又是偶函数(4)函数的定义域关于原点对称当x0时，x0，f(x)x1(x)x(1x)f(x)当x0时，x0，f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)f(x)f(x)f(x)是奇函数方法技巧1.用定义法判断函数的奇
7、偶性时，为了判断f(x)与f(x)的关系，既可以从f(x)开始化简整理，也可以去考虑f(x)f(x)或f(x)f(x)是否等于0，当f(x)不等于0时也可考虑与1或1的关系2在选择题、填空题中，也可以用如下性质判断函数的奇偶性：(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；(2)奇函数的和、差仍为奇函数跟踪探究1.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)|x2|x2|；(3)f(x)0.解析：(1)f(x)的定义域是R，又f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(2)f(x)的定义域是R，又f(x)|x2|x2|x2|x2|f(x)，所以f(x)是偶函数(3)因为f(x)的定
8、义域为R，又f(x)0f(x)，且f(x)0f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数探究二利用奇偶性求解析式例2已知f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)2x23x1，求f(x)的解析式思路点拨若x0的解析式是已知的，则利用奇函数的定义，即可求得x0时的解析式注意不要忽略x0时f(x)的解析式解析当x0时，x0，则f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是奇函数，则f(x)f(x)，所以f(x)2x23x1.当x0时，f(0)f(0)，则f(0)f(0)，即f(0)0.所以f(x)的解析式为f(x)延伸探究本例中若把“奇函数”换成“偶函数”，求x0时f(x)的解析式解析：设
9、x0，则x0，f(x)2(x)23(x)12x23x1.f(x)是偶函数，f(x)f(x)，f(x)2x23x1，x0.方法技巧1.解决此类问题的一般方法是：(1)“求谁则设谁”，即需要求哪个区间的解析式，x就设在哪个区间内(2)利用已知区间的解析式代入(3)利用f(x)的奇偶性，把f(x)转化为f(x)或f(x)，从而得解析式2若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)0，不能漏掉跟踪探究2.已知f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)，则当x0时，f(x)_.解析：若x0，则x0，f(x)，又f(x)为偶函数，f(x)f(x).答案：探究三奇偶函数的图像问题例3如图是给出的奇函数
10、yf(x)在区间(，0上的图像，试作出函数在0，)上的图像，并求出f(3)的值思路点拨利用奇函数的图像关于原点对称作图，利用f(3)f(3)求值解析奇函数的图像关于原点成中心对称，只需作出图像上的每个点关于原点的对称点即可得到函数在0，)上的图像f(3)2，f(3)2.补充后的图像如图所示：方法技巧1.巧用奇偶性作函数图像的步骤(1)确定函数的奇偶性(2)作出函数在0，)(或(，0)上对应的图像(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(，0(或0，)上对应的函数图像2奇偶函数图像的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图像可以解决求值、比较大小及解不等式问题(2)策略：利用函数的
11、奇偶性作出相应函数的图像，根据图像直接观察跟踪探究3.如图，给出了偶函数yf(x)的局部图像，试画出此函数在y轴左侧的图像，并写出f(x)0的x的取值集合解析：因为偶函数的图像关于y轴对称，所以可得到此函数在y轴左侧的图像如图所示：由图像可知当x(，0)时，f(x)0；当x(0，)时，f(x)0；故使f(x)0的x的取值集合为(，0)(0，).授课提示：对应学生用书第38页课后小结1两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为奇函数；如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为偶函数2两个性质：函数为奇函数它的图像关于原点对称；函数为
12、偶函数它的图像关于y轴对称3证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了4已知函数奇偶性，在研究函数的图像与性质时，可先研究一半，再用对称性研究另一半素养培优忽视定义域，错判函数奇偶性易错案例：判断函数f(x)(x1) 的奇偶性易错分析：解答本题，若忽视函数f(x)的定义域而盲目变形为f(x)就容易错判为偶函数事实上，函数yf(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称；再者确定函数的定义域时，要针对函数原解析式，考查数学概念，等价转化等学科素养自我纠正：函数f(x)的定义域为1x1，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数.
