1、上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练抓基础自主学习明考向题型突破第五节 椭 圆 上一页返回首页下一页高三一轮总复习考纲传真 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质3.了解椭圆的简单应用 4.理解数形结合思想上一页返回首页下一页高三一轮总复习1椭圆的定义(1)我们把平面内到两个定点 F1，F2 的距离(大于|F1F2|)的点的集合叫作这两定点 F1，F2 叫作椭圆的，两个焦点 F1，F2 间的距离叫作椭圆的之和等于常数椭圆焦点焦距上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)集合 PM|MF1|MF2|2a，|F
2、1F2|2c，其中 a，c 为常数且 a0，c0.当 2a|F1F2|时，M 点的轨迹为椭圆；当 2a|F1F2|时，M 点的轨迹为线段 F1F2；当 2ab0)y2a2x2b21(ab0)图形 上一页返回首页下一页高三一轮总复习范围axa bybbxb aya对称性对称轴：；对称中心：顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)性质离心率eca，且 e(0,1)a，b，c 的关系c2a2b2 坐标轴原点上一页返回首页下一页高三一轮总复习1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内
3、与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2 构成PF1F2 的周长为 2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()答案(1)(2)(3)(4)上一页返回首页下一页高三一轮总复习2(教材改编)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于12，则 C 的方程是()A.x23y241B.x24 y231C.x24y221Dx24y231D 椭圆的焦点在 x 轴上，c1.又离心率为ca12，故 a2，b2a2c241
4、3，故椭圆的方程为x24y231.上一页返回首页下一页高三一轮总复习3(2015广东高考)已知椭圆x225y2m21(m0)的左焦点为 F1(4,0)，则 m()A2 B3 C4 D9B 由左焦点为 F1(4,0)知 c4.又 a5，25m216，解得 m3 或3.又 m0，故 m3.上一页返回首页下一页高三一轮总复习4(2016全国卷)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B12C.23D34上一页返回首页下一页高三一轮总复习B 如图，|OB|为椭圆中心到 l 的距离，则|OA|OF|AF|OB|，即 bcab2，所以
5、eca12.上一页返回首页下一页高三一轮总复习5椭圆x24y231 的左焦点为 F，直线 xm 与椭圆相交于点 A，B，当FAB的周长最大时，FAB 的面积是_3 直线 xm 过右焦点(1,0)时，FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为 4a8，即 a2，此时，|AB|2b2a 232 3，SFAB12233.上一页返回首页下一页高三一轮总复习椭圆的定义与标准方程 (1)如图 8-5-1 所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是()图 8-5-1A椭圆 B双
6、曲线C抛物线D圆上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2y2b21(0b|OF|.P 点的轨迹是以 O，F 为焦点的椭圆 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)不妨设点 A 在第一象限，设半焦距为 c，则 F1(c,0)，F2(c,0)上一页返回首页下一页高三一轮总复习AF2x 轴，则 A(c，b2)(其中 c21b2,0b|F1F2|这一条件(2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义，但一定要注意|PF1|PF2|与|PF1|PF2|的整体代换 2求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即
7、首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于 a，b 的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为 Ax2By21(A0，B0，AB)的形式 上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 1(1)已知 F1，F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P为椭圆 C 上的一点，且PF1 PF2.若PF1F2 的面积为 9，则 b_.(2)已知 F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A，B 两点，且|AB|3，则 C 的方程为_.【导学号：57962394】上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)3(2)x24y231(1)
8、由定义，|PF1|PF2|2a，且PF1 PF2，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，2|PF1|PF2|4a24c24b2，|PF1|PF2|2b2.SPF1F212|PF1|PF2|122b29，因此 b3.上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)依题意，设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)过点 F2(1,0)且垂直于 x 轴的直线被曲线 C 截得弦长|AB|3，点 A1，32 必在椭圆上，1a2 94b21.又由 c1，得 1b2a2.由联立，得 b23，a24.故所求椭圆 C 的方程为x24y231.上一页返回首页下一页
9、高三一轮总复习椭圆的几何性质 (2016全国卷)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左、右顶点P 为 C 上一点，且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为()A.13 B.12 C.23 D.34上一页返回首页下一页高三一轮总复习A 法一：设点 M(c，y0)，OE 的中点为 N，则直线 AM 的斜率 k y0ac，从而直线 AM 的方程为 y y0ac(xa)，令 x0，得点 E 的纵坐标 yE ay0ac.同理，OE 的中点 N 的纵
10、坐标 yN ay0ac.2yNyE，2ac 1ac，即 2a2cac，eca13.上一页返回首页下一页高三一轮总复习法二：如图，设 OE 的中点为 N，由题意知|AF|ac，|BF|ac，|OF|c，|OA|OB|a.PFy 轴，|MF|OE|AF|AO|aca，|MF|ON|BF|OB|aca.又|MF|OE|MF|2|ON|，即aca ac2a，a3c，故 eca13.上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析 2求椭圆离心率的主要方法有：(1)直接求出 a，c 的值，利用离心率公式直接求解(2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，
11、借助于 b2a2c2 消去b，转化为含有 e 的方程(或不等式)求解 上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 2(2015福建高考)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆 E 的离心率的取值范围是()A.0，32B0，34C.32，1D34，1上一页返回首页下一页高三一轮总复习A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为 4a2(|AF|BF|)8，所以 a2.又 d|304b|3242 45，所以 1b2
12、，所以 eca1b2a21b24.因为 1b2，所以 0b0)的半焦距为 c，原点 O 到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c2.图 8-5-2(1)求椭圆 E 的离心率；(2)如图 8-5-2，AB 是圆 M：(x2)2(y1)252的一条直径，若椭圆 E 经过 A，B 两点，求椭圆 E 的方程上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为 bxcybc0，则原点 O 到该直线的距离 dbcb2c2bca，3 分 由 d12c，得 a2b2 a2c2，解得离心率ca 32.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)由(1)知，椭圆 E 的方程
13、为 x24y24b2.依题意，圆心 M(2,1)是线段 AB 的中点，且|AB|10.易知，AB 与 x 轴不垂直，设其方程为 yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.8 分 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28k2k114k2，x1x242k124b214k2.上一页返回首页下一页高三一轮总复习由 x1x24，得8k2k114k2 4，解得 k12.从而 x1x282b2.10 分 于是|AB|1122|x1x2|52x1x224x1x2 10b22.由|AB|10，得 10b22 10，解得 b23.故椭圆 E 的方程为x212y23
14、1.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习角度 2 由位置关系研究直线的性质(2015全国卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，点(2，2)在 C 上(1)求 C 的方程；(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB的中点为 M.证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)由题意有 a2b2a 22，4a2 2b21，解得 a28，b24.3 分 所以 C 的方程为x28y241.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)证明：设直线 l：ykxb(k0，b0)
15、，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).7 分 将 ykxb 代入x28y241，得(2k21)x24kbx2b280.9 分 故 xMx1x22 2kb2k21，yMkxMbb2k21.于是直线 OM 的斜率 kOMyMxM 12k，即 kOMk12.所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.12 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单 2 设 直 线 与 椭 圆 的 交
16、点 坐 标 为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|1k2x1x224x1x211k2 y1y224y1y2(k 为直线斜率)上一页返回首页下一页高三一轮总复习思想与方法1椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况 2求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x2my2n 1(m0，n0，且mn)可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为 Ax2By21(A0，B0，且 AB)，这种形式在解题中更简便 上一页返回首页下一页高三一轮总复习3讨论
17、椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，常用方法：(1)求得 a，c 的值，直接代入公式 eca求得；(2)列出关于 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据 b2a2c2，消去 b，转化成关于 e 的方程(或不等式)求解 上一页返回首页下一页高三一轮总复习易错与防范1判断两种标准方程的方法是比较标准形式中 x2 与 y2 的分母大小 2注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2y2b21(ab0)上点的坐标为 P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点 P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽视而导致求最值错误的原因 3椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的最大距离为 ac，最小距离为 ac.上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练（四十九）点击图标进入
