1、第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例第11课时生活中的优化问题举例基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1.学会解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题.2.学会利用导数解决生活中简单实际问题，并体会导数在解决实际问题中的作用.3.提高将实际问题转化为数学问题的能力.基础巩固一、选择题(每小题 5 分，共 40 分)1某公司的盈利 y(元)和时间 x(天)的函数关系是 yf(x)，且f(100)1，这个数据说明在 100 天时()A公司已经亏损B公司的盈利在增加C公司盈利在逐渐减少D公司有时盈利有时亏损C解析：因为 f(100)1，所以函数图象在这一点处的切线的斜率为负值，说明公司
2、的盈利在逐渐减少2已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为 y13x381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13 万件B11 万件C9 万件D7 万件C解析：yx281(x9)(x9)，令 y0 得 x9 或x9(舍去)，经计算，当 x9 时，y 取得最大值3某人以 6 m/s 的速度匀速前进追赶停在交通灯前的汽车，当他距离汽车 25 m 时，交通灯由红变绿，汽车以 1 m/s2 的加速度开走，则人和汽车在行进中的最近距离是()A5 mB6 mC7 mD8 mC解析：设人和汽车在行进中的距离为 d m，所用时间为 t s，则d12t2
3、256t.令 dt60，解得 t6.易知当 t6 时，dmin7.4把长度为 16 cm 的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为()A2B4C6D8D解析：设一段长为 x cm，其中 0 x16，则另一段长为(16x)cm，故两正方形面积的和 Sx4216x4218x22x16，S14x2，令 S0，得 x8，易知当 x8 时，Smin8.5内接于半径为 R 的圆的矩形的周长的最大值为()A2RB3RC4RD4 2RD解析：如图，设ABC，则周长l4R(sincos)00，函数 V(x)是增函数，当 x(40,60)时，V(x)0，函数 V(x)是减函数所以函数的最大值为 V
4、(40)16 000，此时 x40.7用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽的比为 21，则该长方体的最大体积为()A2 m3 B3 m3 C4 m3 D5 m3B解析：设长方体的宽为 x m，则长为 2x m，高为 h1812x44.53x(m)0 x32，故长方体的体积为 V(x)2x2(4.53x)9x26x30 x32，V(x)18x18x218x(1x)令 V(x)0，解得 x1 或 x0(舍去)当 0 x0；当 1x32时，V(x)0.故在 x1 处 V(x)取得极大值，并且这个极值就是 V(x)的最大值8若球的半径为 R，作内接于球的圆柱，则该圆柱的
5、侧面积的最大值为()A2R2BR2C4R2D.12R2A解析：设内接圆柱的高为 h，底面半径为 x，则 xR2h24.S 圆柱侧2xh2hR2h24 2 R2h2h44，令 tR2h2h44，则 t2R2hh3，令 t0，得 h0(舍去)或 h 2R.当 0h0；当 2Rh2R 时，t0，当h 2R 时，圆柱侧面积最大圆柱侧面积最大值为 2 2R4R42R2.故应选 A.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)9某房地产公司有 50 套公寓要出租，当月租金定为 1 000 元时，公寓会全部租出去，月租金每增加 50 元，就会多 1 套租不出去若租出去的公寓每月需花费 100 元维修费，则房租
6、定为_元时可获得最大利润1800解析：设没有租出去的公寓套数为 x，利润为 y 元，则 y(1 00050 x)(50 x)100(50 x)45 0001 600 x50 x2，y1 600100 x.令 y0，得 x16.易知当 x16 时，y 取得最大值，即房租为 1 800 元时，利润最大10一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为 0.4 m,0.6 m，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是_m2.0.06解析：设长为 0.4 m 和 0.6 m 的直角边上对应的矩形边长分别为 x m，y m，则0.4x0.4 y0.6，得 y0.61.5x
7、.所以矩形的面积 Sxyx0.61.5x 0.6x1.5x2，令 S0.63x0，得 x0.2.易知当 x0.2 时，所得矩形面积最大，且最大面积为 0.2(0.61.50.2)0.06(m2)11某工厂需要围建一个面积为 512 m2 的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为_.32m,16m解析：设长，宽分别为 a m，b m，则 ab512，且 la2b，l2b512b，l2512b2.令 l0 得 b2256，b16.当 0b16 时，l16 时，l0.当 b16 时，l 取最小值b16，a32.即当长、宽分别为 32
8、m,16 m 时最省材料三、解答题(共 25 分)12(12 分)某厂生产某种产品 x 件的总成本 c(x)1 200 275x3(单位：万元)，又知产品单价的平方与产品件数 x 成反比，生产100 件这样的产品单价为 50 万元，问产量定为多少时总利润最大？解：设单价为 q 万元(q0)，总利润为 y 万元，由题意，得 q2xk.当 x100 时，q50，所以 502100k，k250 000.所以 q2x250 000，即 q500 x.所以总利润 yxqc(x)x500 x1 200 275x3500 x 275x31 200.当 x0；当 x25 时，y0.所以当 x25 时，y 有最
9、大值答：当产量定为 25 件时，总利润最大13(13 分)某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/时)的函数解析式可以表示为：y1128 000 x3 380 x8(0 x120)已知甲、乙两地相距 100 千米(1)当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少耗油量为多少升？解：(1)当 x40 时，汽车从甲地到乙地行驶了10040 2.5(时)，1128 000403 380408 2.517.5(升)答：当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 17.5
10、 升(2)当汽车的速度为 x 千米/时，汽车从甲地到乙地行驶了100 x时，设耗油量为 h(x)升依题意，得 h(x)1128 000 x3 380 x8 100 x11 280 x2800 x 154(0 x120)，h(x)x640800 x2 x3803640 x2，(0 x120)令 h(x)0，得 x80.当 x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数故当 x80 时，h(x)取到极小值 h(80)11.25.因为 h(x)在(0,120上只有一个极小值，所以它是最小值答：当汽车以 80 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少耗油量为 11.25 升能力提升14(2
11、0 分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的 形 状 是 正 四 棱 锥 P-A1B1C1D1，下 部 的 形 状 是 正 四 棱 柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱锥的高 PO1 的四倍(1)若 AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1 为多少时，仓库的容积最大？解：(1)由 PO12 知 OO14PO18.因为 A1B1AB6，所以正四棱锥 P-A1B1C1D1 的体积V 锥13A1B21PO11362224(m3)；正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的体积V 柱AB2OO162
12、8288(m3)所以仓库的容积 VV 锥V 柱24288312(m3)(2)设 A1B1a m，PO1h m，则 0h6，OO14h.如图，连接O1B1.因为在 RtPO1B1 中，O1B21PO21PB21，所以2a22h236，即 a22(36h2)于是仓库的容积 VV柱V锥a24h13a2h133 a2h263(36hh3)(0h6)，从而 V263(363h2)26(12h2)令 V0，得 h2 3或 h2 3(舍)当 0h0，V 是单调递增函数；当 2 3h6 时，V0，V 是单调递减函数故 h2 3时，V 取得极大值，也是最大值因此，当 PO12 3 m 时，仓库的容积最大谢谢观赏！Thanks!
