1、160古典概型的概率19.(12分)(2015辽宁锦州一模,文19,古典概型的概率,解答题)某幼儿园有教师30人,对他们进行年龄状况和受教育程度的调查,其结果如下:本科研究生合计35岁以下5273550岁(含35岁和50岁)1732050岁以上213(1)从该幼儿园教师中随机抽取一人,求具有研究生学历的概率;(2)从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人,求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率.解:(1)设“从该幼儿园教师中随机抽取一人,具有研究生学历”为事件A,由题可知幼儿园总共有教师30人,其中“具有研究生学历”的共6人,则P(A)=630=15.幼儿园教师中随机抽取一人,
2、具有研究生学历的概率为15.(2)设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师用1,2表示,3550岁(含35岁和50岁)具有研究生学历的教师为3,4,5,50岁以上具有研究生学历的教师为6,从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人,所有可能结果有15个,它们是:12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共有15种抽法,其中全是3550岁(含35岁和50岁)的结果有3种,分别为:34,35,45,记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人,有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件B,则B中的结果共有15-3=12个,故所求概率为
3、P(B)=1215=45.18.(12分)(2015河南开封二模,文18,古典概型的概率,解答题)某种产品按质量标准分成五个等级,等级编号x依次为1,2,3,4,5,现从一批产品中随机抽取20件,对其等级编号进行统计分析,得到频率分布表如下:x12345频率a0.30.35bc(1)若所抽取的20件产品中,等级编号为4的恰有2件,等级编号为5的恰有4件,求a,b,c的值.(2)在(1)的条件下,将等级编号为4的2件产品记为x1,x2,等级编号为5的4件产品记为y1,y2,y3,y4,现从x1,x2,y1,y2,y3,y4,这6件产品中任取两件(假定每件产品被取出的可能性相同),写出所有可能的结
4、果,并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率.解:(1)由频率分布表得a+0.3+0.35+b+c=1,即a+b+c=0.35.抽取的20件产品中,等级编号为4的恰有2件,b=220=0.1.等级编号为5的恰有4件,c=420=0.2.a=0.35-b-c=0.05.故a=0.05,b=0.10,c=0.20.(2)从产品x1,x2,y1,y2,y3,y4中任取两件,所有可能的结果为:x1,x2,x1,y1,x1,y2,x1,y3,x1,y4,x2,y1,x2,y2,x2,y3,x2,y4,y1,y2,y1,y3,y1,y4,y2,y3,y2,y4,y3,y4,共15个.设A表示“从x1,x2,
5、y1,y2,y3,y4,这6件产品中任取两件,这两件产品的等级编号恰好相同”,则A包含的基本事件为:x1,x2,y1,y2,y1,y3,y1,y4,y2,y3,y2,y4,y3,y4,共7个,故所求概率为P=715.18.(12分)(2015河南郑州一模,文18,古典概型的概率,解答题)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球,记下球上所标数字后,再将该小球放回箱子中摇匀后,乙从该箱子中摸出一个小球.(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同为平局),求甲获胜的概率;(2)若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于6
6、则甲获胜,否则乙获胜,这样规定公平吗?解:用(x,y)(x表示甲摸到的数字,y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件,则基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25个.(1)事件A包含的基本事件有:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4
7、),共有10个,则P(A)=1025=25.(2)设甲获胜的事件为B,乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共有10个,则P(B)=1025=25.所以P(C)=1-P(B)=1-25=35.因为P(B)P(C),所以这样规定不公平.12.(2015河南商丘二模,文12,古典概型的概率,选择题)已知函数f(x)=13x3+ax2+b2x+1,若a是从1,2,3三个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为()A.79B.13C.
8、59D.23解析:求导数可得f(x)=x2+2ax+b2,要满足题意需x2+2ax+b2=0有两不等实根,即=4(a2-b2)0,即ab,又a,b的取法共33=9种,其中满足ab的有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),共6种,故所求的概率为P=69=23.答案:D161古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等)18.(12分)(2015辽宁大连一模,文18,古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等),解答题)某校甲、乙两个班级各有5名编号分别为1,2,3,4,5的学生进行投篮训练,每人投10次,投中的次数统计如下表:学生1号2号3号4
9、号5号甲班65798乙班48977(1)从统计数据看,甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定(用数据说明)?(2)在本次训练中,从两班中分别任选一个同学,比较两人的投中次数,求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率.解:(1)两个班数据的平均值都为7,甲班的方差s甲2=15(6-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(8-7)2=2,乙班的方差s乙2=15(4-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(7-7)2=145,因为s甲20,解得k-1.又点(1,1)应在已知圆的外部,把点代入圆方程得:1+1+k-2-54k0,解得k0.则实数k的取值范围是k-4或-1k0
10、.则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x2+y2+kx-2y-54k=0相切的概率等于P=0-(-1)2-(-2)=14.答案:B5.(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文8,与角度、长度有关的几何概型,选择题)实数m是0,6上的随机数,则关于x的方程x2-mx+4=0有实根的概率为()A.14B.13C.12D.23解析:方程x2-mx+4=0有实根,判别式=m2-160.m-4或m4时方程有实根.实数m是0,6上的随机数,区间长度为6,4,6的区间长度为2,所求的概率为P=26=13.答案:B164与面积、体积有关的几何概型8.(2015辽宁锦州二模,文8,
11、与面积、体积有关的几何概型,选择题)如图,将半径为1的圆分成相等的四段弧,再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投一点,此点落在星形区域内的概率为()A.4-1B.1C.1-1D.2解析:将图形平均分成四个部分,则每个图形空白处的面积为214-1211=24-12=2-1,阴影部分的面积为12-42-1=4-,根据几何概型的概率公式可得点落在星形区域内的概率为4-=4-1.答案:A5.(2015辽宁锦州一模,文5,与面积、体积有关的几何概型,选择题)如图,矩形ABCD中,点E为边CD的中点,若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自ABE内部的概率等于()A.14B.13C.
12、12D.23解析:由几何概型的计算方法,可以得出所求事件的概率为P=SABES矩形ABCD=0.5ABBCABBC=12.答案:C15.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文15,与面积、体积有关的几何概型,选择题)将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组3x+4y19,x1,y1所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是.解析:画出关于x,y的不等式组3x+4y19,x1,y1所构成的三角形区域,如图.三角形ABC的面积为S1=1234=6,离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2=12,所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P=1-26=1-12.答案:1-12
