1、平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a 和 b，作 OAa，OBb，则 就是 a 与 b 的夹角设 是 a 与 b 的夹角，则 的取值范围是_0或 180_，_ab第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例AOB0180ab90平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量_叫做a与b的数量积，记作ab投影_叫做向量a在b方向上的投影，_叫做
2、向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的乘积|a|b|cos|a|cos|b|cos|b|cos 平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 3向量数量积的运算律(1)ab.(2)(a)b(ab)(3)(ab)c.baa(b)acbc平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 结论几何表示坐标表示模夹角cos _cos _ab 的充要条件_|ab|与|a|b|的关系|ab|_|x1x2y1y2|_x21y21
3、|a|_aaab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22ab0 x1x2y1y20|a|b|x21y21x22y22|a|_4平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1已知|a|2，|b|6，ab6 3，则a与b的夹角为()A6 B3 C23 D56答案：D小题体验2已知|a|5，|b|4，a与b的夹角为120，则ab_答案：10平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演
4、 练 3(2016山东高考)已知向量a(1，1)，b(6，4)若a(tab)，则实数t的值为_解析：a(1，1)，b(6，4)，tab(t6，t4)又a(tab)，则a(tab)0，即t6t40，解得t5答案：5平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)不能得出bc，两边不能约去一个向量2两个向量的夹角为锐角，则有ab0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有ab0，则a和b的夹角为锐角，若ab0，则a和b的夹角为钝角；(ab)ca(bc)；若ab0，则a0或b0其中正
5、确的说法有_个答案：0小题纠偏平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2(2016北京高考)已知向量a(1，3)，b(3，1)，则a与b夹角的大小为_解析：由题意得|a|132，|b|312，ab1 3 312 3设a与b的夹角为，则cos 2 322 32 0，6答案：6平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点一 平面向量的数量积的运算题组练透1(易错题)设a(1，2)，b(3,4)，c(3,2)，则(a2b)c()A(15,12)B0C
6、3 D11解析：a2b(1，2)2(3,4)(5,6)，(a2b)c(5,6)(3,2)3答案：C 平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2已知 AB(2,1)，点C(1,0)，D(4,5)，则向量 AB在 CD方向上的投影为()A3 22B3 5C3 22D3 5解析：因为点C(1,0)，D(4,5)，所以 CD(5,5)，又 AB(2,1)，所以向量AB 在CD 方向上的投影为|AB|cos AB，CD AB CD|CD|155 23 22 答案：C 平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落
7、 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 3已知向量a与b的夹角为60，且a(2，6)，|b|10，则ab_解析：因为a(2，6)，所以|a|22622 10，又|b|10，向量a与b的夹角为60，所以ab|a|b|cos 602 10 101210答案：10平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 4如图，在等腰直角三角形ABC中，C90，AC2，D为BC的中点，则 AB AD_解析：法一：由题意知，ACBC2，AB2 2，AB AD AB(AC CD)AB AC AB CD|AB|AC|cos 45|AB
8、|CD|cos 452 22 22 2 21 22 6平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A(0,2)，B(2,0)，D(1,0)，AB(2,0)(0,2)(2，2)，AD(1,0)(0,2)(1，2)，AB AD2(1)(2)(2)6答案：6平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 谨记通法向量数量积的2种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|
9、cos 适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题，如“题组练透”第1题易错平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点二 平面向量数量积的性质平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直 锁定考向平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前
10、 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 题点全练角度一：平面向量的模1已知e1，e2是单位向量，且e1e212若向量b满足be1be21，则|b|_解析：e1e212，|e1|e2e1，e212，e1，e260又be1be210，b，e1b，e230由be11，得|b|e1|cos 301，|b|1322 33 答案：2 33平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 角度二：平面向量的夹角2(2017山西四校联考)已知|a|1，|b|2，且a(ab)，则向量a与向量b的夹角为()A6 B4C3D
11、23解析：a(ab)，a(ab)a2ab12a，b0，a，b 22，a，b4答案：B 平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 3(2017江西八校联考)在ABC中，AB(2，3)，AC(1，2)，则ABC的面积为_解析：由题意得，(|AB|AC|)2(|AB|AC|cos AB，AC)2(|AB|AC|sin AB，AC)2，即(|AB|AC|)2(AB AC)2(|AB|AC|sin AB，AC)2，|AB|AC|sin AB，AC2 3，SABC12|AB|AC|sin AB，AC1 32 答案：1 32平面向量的
12、数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 角度三：平面向量的垂直4(2016山东高考)已知非零向量 m，n 满足 4|m|3|n|，cosm，n13，若 n(t mn)，则实数 t 的值为()A4 B4C94D94解析：n(t mn)，n(t mn)0，即 t mn|n|20，t|m|n|cosm，n|n|20又 4|m|3|n|，t34|n|213|n|20，解得 t4故选 B答案：B 平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 通法在握平面向量数量积求解问
13、题的策略(1)求两向量的夹角：cos ab|a|b|，要注意0，(2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2或|a|aa|ab|ab2 a22abb2若a(x，y)，则|a|x2y2(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 演练冲关1(2017合肥质检)已知不共线的两个向量a，b满足|ab|2且a(a2b)，则|b|()A 2B2C2 2D4解析：由a(a2b)得，a(a2b)|a|22ab0，则|ab|ab2|a|22
14、ab|b|2|b|2，故选B答案：B 平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos 13，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _解析：ab(3e12e2)(3e1e2)92911138|a|2(3e12e2)2941211139，|a|3|b|2(3e1e2)291611138，|b|2 2，cos ab|a|b|832 22 23 答案：2 23平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 3已
15、知向量 AB与 AC的夹角为120，且|AB|3，|AC|2若 APAB AC，且 AP BC，则实数的值为_解析：BC AC AB，由于 AP BC，所以 AP BC0，即(AB AC)(AC AB)AB2 AC2(1)AB AC94(1)3212 0，解得 712答案：712平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点三 平面向量与三角函数的综合典例引领已知函数 f(x)ab，其中 a(2cos x，3sin 2x)，b(cos x,1)，xR(1)求函数 yf(x)的单调递减区间；(2)在ABC 中，角 A，B，
16、C 所对的边分别为 a，b，c，f(A)1，a 7，且向量 m(3，sin B)与 n(2，sin C)共线，求边长 b 和 c 的值解：(1)f(x)ab2cos2x 3sin 2x1cos 2x 3sin 2x12cos2x3，令 2k2x32k(kZ)，解得 k6xk3(kZ)，所以 f(x)的单调递减区间为k6，k3(kZ)平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)f(A)12cos2A3 1，cos2A3 1又32A373，2A3，即A3a 7，由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)23bc7 向
17、量m(3，sin B)与n(2，sin C)共线，所以2sin B3sin C由正弦定理得2b3c，由，可得b3，c2平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 由题悟法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等平面向量的数量积与平面向量应用举例 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 即时应用(2017临沂模拟)已知向量 m(sin 2，cos)，n(sin，cos)，其中 R(1)若 mn，求角；(2)若|mn|2，求 cos 2 的值解：(1)若 mn，则 mn0，即为sin(sin 2)cos20，即 sin 12，可得 2k6或 2k56，kZ(2)若|mn|2，即有(mn)22，即(2sin 2)2(2cos)22，即为 4sin248sin 4cos2 2，即有 88sin 2，可得 sin 34，即有 cos 212sin212 91618
