1、专题5解直角三角形题型一锐角三角函数的概念例 1在RtABC中，C90，若sinA，则cosA的值为(A)A. B. C. D.【解析】 如答图，设BC5k，AB13k， 例1答图由勾股定理，得AC12k，cosA.变式跟进1在RtABC中，ACB90，BC1，AB2，则下列结论正确的是(D)AsinA BtanACcosB DtanB22017益阳如图1，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，CAB，则拉线BC的长度为(A，D，B在同一条直线上)(B) 图1A. B.C. Dhcos【解析】 根据同角的余角相等，得CADBCD，由cosBCD，知BC.因此选B.题型二特殊角的三角
2、函数值例 2计算下列各题：(1)tan45sin60cos30；(2)sin230sin45tan30.解：(1)原式11；(2)原式.变式跟进32cos30tan45_0_4计算：cos45tan45tan302cos60sin45.解：原式1211.题型三解直角三角形例 3如图2，在ABC中，B60，AB2，BC1，则C的度数为_45_ 图2 例3答图【解析】 如答图，作AHBC，在RtABH中，cosB，BH2cos601，AH，BC1，CHBCBH11，在RtACH中，tanC1，C45.【点悟】在一个三角形中，如果已知角度或者角的三角函数值求线段的长度，通常可考虑解直角三角形知识求解
3、如果没有直角三角形，可通过作辅助线构造直角三角形变式跟进52017天河区校级一模如图3，在等腰直角三角形ABC中，A90，AC6，D是AC上一点，过D作DEBC于点E，若tanDBA，则CE的长为_图3【解析】 在等腰直角三角形ABC中，A90，AC6，ABAC6，CABC45，tanDBA，AD，CD，DEBC，CECD.题型四利用直角三角形测量物体的高度例 42017张家界位于张家界核心景区的贺龙铜像是我国近百年来最大的铜像，铜像由像体AD和底座CD两部分组成，如图4，在RtABC中，ABC70.5，在RtDBC中，DBC45，且CD2.3 m，求像体AD的高度(最后结果精确到0.1 m，
4、参考数据：sin70.50.943，cos70.50.334，tan70.52.824)图4解：在RtBCD中，DBC45，BCCD2.3，在RtABC中，tanABC，tan70.5，AD4.2(m)答：像体AD的高度约为4.2 m.变式跟进62017东营一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度如图5，在A处测得塔顶的仰角为，在B处测得塔顶的仰角为，又测量出A，B两点的距离为s m，则塔高为 s m.图5【解析】 在RtCBD中，BD，ADs，在RtCAD中，CDADtantan，化简得CDs.72017鄂州如图6，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向
5、前走3 m到达A处，测得树顶端E的仰角为30，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45.已知A点离地面的高度AB2 m，BCA30，且B，C，D三点在同一直线上(1)求树DE的高度；(2)求食堂MN的高度 图6 第7题答图解：(1)由题意，得AFBC，FACBCA30，EACEAFCAF303060.ACE180BCADCE180306090，AEC180EACACE180609030.在ABC中，BCA30，AB2，AC2AB4.在ACE中，AEC30，AC4，ECAC4.在CDE中，sinECD，ECD60，EC4，sin6
6、0，ED4sin6046(m)答：树DE的高度为6 m；(2)如答图，延长NM交BC于点G，则GBMA3.在ABC中，AB2，AC4，BC2.在CDE中，CE4，DE6，CD2.GDGBBCCD32234.在GDN中，NDG45，NGGD34.MNNGMGNGAB342(14)m.答：食堂MN的高度为(14)m.题型五利用直角三角形解决航海问题例 52017天水如图7，一艘轮船位于灯塔P南偏西60方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离(结果保留根号) 图7 例5答图解： 如答图，过P作PMAB的延长线于点M，设
7、PMx，则BMx，AB20.tanPAM，解得x1010，根据题意可知，最短距离为PM(1010)海里变式跟进82017大庆如图8，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30方向上，小明沿河岸向东走80 m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60方向上，则点A到河岸BC的距离为_20_m. 图8 第8题答图【解析】 如答图，过点A作ADBC于点D.根据题意，得ABC903060，ACD30，在RtABD中，tanABD，BD.同理，在RtACD中，CD，BDCDBC80，80，解得AD20，即点A到河岸BC的距离为20 m.92017天津如图9，一艘海
8、轮位于灯塔P的北偏东64方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处求BP和BA的长(结果取整数，参考数据：sin640.90，cos640.44，tan642.05，1.414) 图9 第9题答图解：如答图，过点P作PMAB于M，由题意可知，A64，B45，PA120.RtAPM中，PMPAsinA PAsin64108，AM PAcosA PAcos6452.8.在RtBPM中，B45，BMPM108，PBPM153，BABMAM10852.8161.答： BP长约为153海里，BA长约为161海里题型六利用直角三角形解决坡度问题例 6
9、2016杭州期中如图10，水库大坝截面的迎水坡坡比(DE与AE的长度之比)为10.6，背水坡坡比为12，大坝高DE30 m，坝顶宽CD10 m，求大坝的截面的周长和面积图10解：迎水坡坡比(DE与AE的长度之比)为10.6，DE30 m，AE18 m，在RtADE中，AD6 m，背水坡坡比为12，BF60 m，在RtBCF中，BC30 m，周长DCADAEEFBFBC6103088(63098)m，面积(10181060)3021 470(m2)故大坝的截面的周长是(63098)m，面积是1 470 m2.【点悟】坡度坡角问题关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角
10、形在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路变式跟进102017重庆如图11，已知点C与某建筑物底端B相距306 m(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195 m至坡顶D处斜坡CD的坡度(或坡比)i12.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1 m，参考数据：sin200.342，cos200.940，tan200.364)(A)A29.1 m B31.9 mC45.9 m D95.9 m 图11 第10题答图【解析】 如答图，过点D作DEBC，垂足为E，解RtCDE得DE75 m，CE180
11、 m，根据BC306 m可求得BE126 m，过A作AFDE，AFBE126 m，DAF20，而tan200.364，即，DF45.864 m，ABDEDF29.1 m过关训练12017洪泽RtABC中，C90，cosA，AC6 cm，那么BC等于(A)A8 cm B. cmC. cm D. cm【解析】 在RtABC中，C90，cosA，AC6 cm，AB10 cm，BC8(cm)22016益阳小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度如图1，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等小明将PB拉到PB的位置，测得PBC(BC为水平线)，测角仪的高度为1 m，则旗杆PA的高度为(A)图1A. B.
12、C. D.【解析】 设PAPBPBx，在RtPCB中，sin，sin，x.3计算：(1)sin260tan30cos30tan45；(2)cos60.解：(1)原式11；(2)原式.42017安徽如图2，游客在点A处坐缆车出发，沿ABD的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB BD600 m，75，45，求DE的长(参考数据：sin750.97，cos750.26，1.41)图2解：在RtABC中，cos，BCABcos156(m)在RtBDF中，sin，DFBDsin600300423(m)又EFBC，DEDFEF579(m)52016临沂一般地，当，为任意角时，sin()与si
13、n()的值可以用下面的公式求得：sin()sincoscossin；sin()sincoscossin.例如sin90sin(6030) sin60cos30cos60sin301.类似地，可以求得sin15的值是_62017贵港如图3，点P在等边三角形ABC的内部，且PC6，PA8，PB10，将线段PC绕点C顺时针旋转60得到PC，连结AP，则sinPAP的值为_ 图3 第6题答图【解析】 如答图，连结PP，线段PC绕点C顺时针旋转60得到PC，CPCP6，PCP60，CPP为等边三角形，PPPC6，ABC为等边三角形，CBCA，ACB60，PCBPCA，在PCB和PCA中， PCBPCA，
14、PBPA10，6282102，PP2AP2PA2，APP为直角三角形，APP90，sinPAP.72017泰兴校级二模如图4，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB4 km.有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60的方向，从B测得小船在北偏东45的方向(1)求点P到海岸线l的距离(结果保留根号)；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15的方向求点C与点B之间的距离(结果精确到0.1 km，1.41，1.73) 图4 第7题答图解：(1)如答图，过点P作PDAB于点D.设PDx km.在RtPBD中，BDP90，PBD9
15、04545，BDPDx km.在RtPAD中，ADP90，PAD906030，ADPDx km.BDADAB，xx4，x22，点P到海岸线l的距离为(22)km；(2)如答图，过点B作BFAC于点F.根据题意得ABC105，在RtABF中，AFB90，BAF30，BFAB2 km.在ABC中，C180BACABC45.在RtBCF中，BFC90，C45，BCBF2 km2.8 km.答：点C与点B之间的距离大约为2.8 km.82017德州如图5所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，图5检测点设在距离公路10 m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9 s已知B30，C45.(1)求B，C之间的距离(结果保留根号)；(2)如果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由(参考数据：1.7，1.4)解：(1)如答图，过点A作ADBC于点D，则AD10 m.在RtACD中，C45，RtACD是等腰直角三角形，第8题答图CDAD10 m.在RtABD中，tanB，B30，BD10 m，BCBDDC m.答：B，C之间的距离是(1010)m；(2)这辆汽车超速理由如下：由(1)知BC m，又1.7，BC27 m，汽车速度v30(m/s)又30 m/s108 km/h，而此地限速为80 km/h，这辆汽车超速12
