1、2018级高二下学期第一次阶段性测试数学一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设i为虚数单位,则(xi)6的展开式中含x4的项为()A. 15x4B. 15x4C. 20ix4D. 20ix4【答案】A【解析】试题分析:二项式的展开式的通项为,令,则,故展开式中含的项为,故选A.【考点】二项展开式,复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算,复数的概念及运算也是高考的热点,几乎是每年必考的内容,属于容易题.一般来说,掌握复数的基本概念及四则运算即可二项式可以写为,则其通项为,则含的项为2. 已知集合A=5,B=1,
2、2,C=1,3,4,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()A. 33B. 34C. 35D. 36【答案】A【解析】解:不考虑限定条件确定的不同点的个数为C21C31A33=36,但集合B、C中有相同元素1,由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有三个,故所求的个数为36-3=33个,故选A3.抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意,求得的值,再由条件概率的计算公式,即可求解.【详解】记事件A表示“第一次正面向上”,事件B表示“第二次反面向上”,则P(
3、AB)=,P(A)=,P(B|A)=,故选C.【点睛】本题主要考查了条件概率的计算,其中解答中认真审题,熟记条件概率的计算公式,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.4.已知随机变量且,则( )A B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析:由正态分布性质知,所以考点:正态分布5.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,不同的安排方法共有( )A. 20种B. 30种C. 40种D. 60种【答案】A【解析】【详解】根据题意,分析可得,甲可以被分配在星期一、二、三;据此分3种情况讨论
4、,计算可得其情况数目,进而由加法原理,计算可得答案解:根据题意,要求甲安排在另外两位前面,则甲有3种分配方法,即甲在星期一、二、三;分3种情况讨论可得,甲在星期一有A42=12种安排方法,甲在星期二有A32=6种安排方法,甲在星期三有A22=2种安排方法,总共有12+6+2=20种;故选A6.已知,则“”是“对恒成立”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】对两个条件分别进行化简,再转化成判断两个集合之间的关系,即可得答案.【详解】一方面,另一方面,对恒成立,所以“”是“对恒成立”的充分不必要条件故选:B【点睛】本题考查
5、不等式的求解、一元二次不等式恒成立问题、简易逻辑知识,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力.7.若函数在区间上有最小值,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对函数进行求导,求出函数的单调区间,结合已知条件进行求解即可.【详解】,当时,单调递减,当时,单调递增,当时,单调递减,因此函数的极小值为:或要想函数区间上有最小值,则有:.故选:A【点睛】本题考查了函数在区间有最小值求参数取值范围,考查了导数的应用,考查了数学运算能力.8.在二项式的展开式,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为
6、( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据前三项的系数成等差数列求n,再根据古典概型概率公式求结果【详解】因为前三项的系数为,当时,为有理项,从而概率为,选C.【点睛】本题考查二项式定理以及古典概型概率,考查综合分析求解能力,属中档题.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.集合,是实数集子集,定义且,若集合,则以下说法正确的是( )A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】先求得集合,然后根据定义求得,由此判断出正确结论.【详解】对于集合,由于二次
7、函数开口向上,对称轴为,定义域为,所以当时有最小值为,当时有最大值为.所以.对于集合,由于二次函数开口向上,对称轴为轴,定义域为,所以当时,有最小值为,当时有最大值为.所以.所以,.故选:BCD【点睛】本小题主要考查二次函数值域求法,考查集合运算,属于基础题.10.设函数,则下列结论正确的是( )A. 的一个周期为B. 的图象关于直线对称C. 的图象关于点对称D. 在区间上单调递增【答案】AD【解析】【分析】A:利用正弦型函数最小正周期公式直接判断即可;B:判断当时,函数值是否是最值即可;C:判断当时,函数的值是否为零即可;D:求出的取值范围,然后进行判断即可.【详解】A:函数的最小正周期为:
8、,所以是函数的一个周期,故本结论是正确的;B:当时,该函数值不是函数的最值,故本结论是错误的;C:当时,故本结论是错误的;D:当时,所以函数单调递增,故本结论是正确的.故选:AD【点睛】本题考查了正弦型函数的周期、对称性、单调性,属于基础题.11.下面结论正确的是( )A. 若,则事件A与B是互为对立事件B. 若,则事件A与B是相互独立事件C. 若事件A与B是互斥事件,则A与也是互斥事件D. 若事件A与B是相互独立事件,则A与也是相互独立事件【答案】BD【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件的知识判断AC两个选项的正确性,根据相互独立事件的知识判断BD两个选项的正确性.【详解】对于A选项,要使
9、为对立事件,除还需满足,也即不能同时发生,所以A选项错误.对于C选项,包含于,所以与不是互斥事件,所以C选项错误.对于B选项,根据相互独立事件的知识可知,B选项正确.对于D选项,根据相互独立事件的知识可知,D选项正确.故选:BD【点睛】本小题主要考查互斥事件和对立事件,考查相互独立事件,属于基础题.12.下列判断正确的是( )A. 若随机变量服从正态分布,则;B. 已知直线平面,直线平面,则“”是“”的必要不充分条件;C. 若随机变量服从二项分布:,则;D. 已知直线经过点,则的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性可判断A选项;B选项为充分不必要条件;根据二项分布均
10、值公式求解可判断C选项;由题意知,根据基本不等式求出的范围即可判断D选项.【详解】A选项,若随机变量服从正态分布,根据正态分布曲线的对称性有,所以,A选项正确;B选项,因为,直线平面,所以直线平面,又直线平面,所以,充分性成立;设,在内取平行于的直线,则且,但是与相交,必要性不成立,B不正确;C选项,因为,所以,C正确;D选项,由题意知,因为,所以,当且仅当时取等号,故D正确.故选:ACD【点睛】本题考查正态分布曲线的对称性,二项分布的期望,线、面之间的位置关系,均值不等式,属于中档题.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.任意选择四个日期,设表示取到的四个日期中星期天的个数,
11、则_,_.【答案】 (1). . (2). 【解析】【分析】根据二项分布的期望和方差的计算公式,计算出以及.【详解】任意选择四个日期,取到星期天的概率为,所以.所以.故答案为:(1);(2)【点睛】本小题主要考查二项分布的期望和方差的计算,属于基础题.14.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是_【答案】【解析】【分析】利用互斥事件概率加法公式求解【详解】解:因为取出2粒都是黑子的概率为,都是白子的概率是,所以从中任意取出2粒恰好是同一色的概率为:【点睛】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要注意互斥事件概率加法公
12、式的合理运用15.已知是离心率为2的双曲线右支上一点,则该双曲线的渐近线方程为_,到直线的距离与到点的距离之和的最小值为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用双曲线的离心率求出m,然后求解渐近线方程;利用双曲线的定义,转化求解P到直线y2x的距离与P到点F(2,0)的距离之和的最小值【详解】离心率为2的双曲线,可得,解得m3,双曲线方程为:x2,故双曲线的渐近线方程为:y;双曲线的焦点坐标(2,0),PFPF2,PF+PD2+PF+PD,显然PDF三点共线,并且PF垂直直线y2x时,P到直线y2x的距离与P到点F(2,0)的距离之和的最小值:22故答案为y;2【点睛】本题考查直
13、线与双曲线的位置关系的应用,双曲线的简单性质的应用,考查分析问题解决问题的能力16.某城市新修建的一条道路上有12盏路灯,为了节省用电而又不能影响正常的照明,可以熄灭其中的3盏灯,但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两盏灯,则熄灯的方法有_种(请用数字作答)【答案】【解析】试题分析:本题使用插空法,先将亮的盏灯排成一排,由题意,两端的灯不能熄灭则有个符合条件的空位,进而在个空位中,任取个插入熄灭的盏灯,有中方法,故答案为.考点:1、阅读能力、数学建模能力;2、化归思想及组合问题的“插空法”.【方法点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及组合问题的“插空法”,属于难题.与实际应用相
14、结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是:将熄灯方法转化为组合问题的“插空法”解答.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在二项式的展开式中(1)求该二项展开式中所有项的系数和的值;(2)求该二项展开式中含项的系数;(3)求该二项展开式中系数最大的项【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)令,即可得该二项展开式中所有项的系数和的值;(2)在通项公式中,令的幂指数等于4,求得的值,可得含项的系数
15、;(3)根据,求得的值,可得结论;【详解】(1)令,可得该二项展开式中所有项的系数和的值为;(2)二项展开式中,通项公式为,令,求得,故含项的系数为(3)第项的系数为,由,求得,故该二项展开式中系数最大的项为 【点睛】本题考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于中档题18.已知数列的前n项和为,满足:.(1)证明:数列是等比数列;(2)令,求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)利用当时,求证即可; (2)先结合(1)求得,再由,然后累加求和即可.【详解】解:(1)因为,-得:,即,又,即,则,即数列是以6为首项,3为公比的等比数列;(2
16、)由(1)得,则,即,则,即,故.【点睛】本题考查了利用定义法证明等比数列,重点考查了公式法求和及裂项求和法求和,属中档题.19.从7名男生和5名女生中选出5人,分别求符合下列条件的选法数.(1),必须被选出;(2)至少有2名女生被选出;(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务,但体育委员由男生担任,文娱委员由女生担任.【答案】(1);(2);(3)【解析】【分析】(1)从以外的人中,任选个人,由此求得选法数.(2)先计算出从人任选人的方法数,然后减去至多有名女生被选出的方法数,由此求得选法数.(3)先选出一名男生担任体育委员、然后选出一名女生担任文娱委员、再在剩余的人中任选
17、人进行安排,由此求得选法数.【详解】(1)由于,必须被选出,再从以外的人中,任选个人,故选法数有种.(2)从人任选人的方法数有,选出的人中没有女生的方法数有,选出的人中有名女生的方法数有.所以至少有2名女生被选出的选法数为.(3)先选出一名男生担任体育委员、然后选出一名女生担任文娱委员、再在剩余的人中任选人安排职务,故选法数为.【点睛】本小题主要考查实际生活中的组合数、排列数的计算,属于基础题.20.如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,ABAD,ADBC,APABAD1(1)若直线PB与CD所成角的大小为求BC的长;(2)求二面角BPDA的余弦值【答案】(1) BC的长为2;(2)二
18、面角的余弦值为.【解析】【详解】试题分析:(1)以为单位正交基底,建立空间直角坐标系设,则,利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可;(2)分别求出平面PBD与平面PAD的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果.试题解析:解:(1)以 为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz因为APABAD1,所以A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)设C(1,y,0),则(1,0,1),(1,1y,0) 因为直线PB与CD所成角大小为,所以|cos,| | ,即,解得y2或y0(舍),所以C(1,2,0),所以BC的长为2 (2)设平面PBD的一个法向量为(
19、x,y,z)因为(1,0,1),(0,1,1),则即 令x1,则y1,z1,所以(1,1,1) 因为平面PAD一个法向量为(1,0,0),所以cos, 所以,由图可知二面角BPDA的余弦值为21.设袋子中装有个红球、个黄球、个蓝球,且规定:取出1个红球得1分,取出1个黄球得2分,取出1个蓝球得3分.(1)当,时,从该袋子中依次任取(有放回,且每个球取到机会均等)2个球,记随机变量为取出此2球所得分数之和,求的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量为取出此球所得分数.若,求.【答案】(1)分布列见解析;(2)【解析】【分析】(1)根据相互独立事件概率计算公式,计算出
20、的分布列.(2)先求得的分布列,利用,列方程,由此求得.【详解】(1)依题意,且,.所以的分布列为(2)依题意可知的分布列为,由得,解得,故【点睛】本小题主要考查随机变量分布列、期望和方差的有关计算,属于中档题.22.已知函数.(1)若时,求的极值;(2)若,求的取值范围.【答案】(1)极大值,无极小值;(2).【解析】【分析】(1)将代入函数的解析式,利用导数可求出函数的极值;(2)由题意可得出,分、三种情况讨论,利用导数分析函数在定义域上的单调性,求出函数的最大值,然后解不等式,综合可得出实数的取值范围.【详解】(1)当时,则.令,即,得,解得.当时,当时,.所以,函数有极大值,无极小值;(2)因为恒成立,所以,.当时,令,则,当时,此时,函数单调递增;当时,此时,函数单调递减.,;当时,成立;当时,令,则,当时,此时,函数单调递增;当时,此时,函数单调递减.,即,得,解得.综上所述,实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值,同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题,考查运算求解能力,属于中等题.