1、2015-2016学年上海市五校高三（上）12月联考数学试卷（理科）一、填空题1已知a，bR，i是虚数单位若a+i=2bi，则（a+bi）2=2（理）函数y=sin2ax（a0）的最小正周期为2，则实数a=3函数的定义域为4集合A=x|x2|3，xR，B=y|y=x2，1x2则R（AB）=5如果2+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则mn的值为6已知双曲线=1，其双曲线的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则该双曲线的方程为7在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A=8若等比数列an的各项均为正数，且a10a11+a9a12
2、=2e5，则lna1+lna2+lna20=9在ABC中，AB=5，AC=6，点P是ABC的外接圆圆心，则=10无穷等比数列an的前n项和为Sn，首项是a10，若Sn=，则a1的取值范围是11对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，使得f（x）=f（x），则称f（x）为“局部奇函数”若f（x）=2x+m是定义在区间1，1上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是12已知数列an满足，当n3时，an=2an1或an=an1+an2，若a1=1，a2=2，则此数列的前2015项中，奇数项最多有项13已知M是ABC内的一点（不含边界），且=2，BAC=30若MBC、MAB、MAC的面积分别是x，y，
3、z，则的最小值为14在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y26x+5=0，点A，B在圆上，且AB=2则|的取值范围是二、选择题15直线l1；x+ay+2=0和直线l2：（a2）x+3y+6a=0，则“a=3”是“l1l2”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件16已知函数y=loga（x+c）（a，c为常数，其中a0，a1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）Aa1，c1Ba1，0c1C0a1，c1D0a1，0c117下列命题正确的是（）A若ab0，则2B若a0，则a+4C若a0，b0，则lga+lgb2D若xk，kZ，则sin2x+518已知函数f（x
4、）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=（|xa2|+|x2a2|3a2），若xR，f（x1）f（x），则实数a的取值范围为（）A，B，C，D，三、解答题19如图，A，B是单位圆O上的动点，C是圆与x轴正半轴的交点，设COA=（1）当点A的坐标为时，求的值（2）若0，且当点A，B在圆上沿逆时针方向移动时，总有AOB=，试求BC的取值范围20提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60
5、千米/小时，研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数（）当0x200时，求函数v（x）的表达式；（）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=xv（x）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）21已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C （1）求C的方程：（2）l是与圆P，圆M都相切的条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|22已知函数f（x）=2x+a2x，其中常数a0（1）当a=1时，f（x）的最小值；（2）讨论函数的
6、奇偶性，并说明理由；（3）当a=256时，是否存在实数k（1，2，使得不等式f（kcosx）f（k2cos2x）对任意xR恒成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由23数列an的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称数列an是“E数列”（1）数列an的前n项和Sn=3n（nN*），判断数列an是否为“E数列”，并说明理由；（2）数列bn是等差数列，其首项b1=1，公差d0，数列bn是“E数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列an，总存在两个“E数列”bn和cn，使得an=bn+cn（nN*）成立2015-2016学年上海市五校高三（
7、上）12月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1已知a，bR，i是虚数单位若a+i=2bi，则（a+bi）2=34i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】由已知等式结合复数相等的条件求得a，b的值，则复数a+bi可求，然后利用复数代数形式的乘法运算得答案【解答】解：由a，bR，且a+i=2bi，得，即a=2，b=1a+bi=2i（a+bi）2=（2i）2=34i故答案为：34i【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件，是基础题2（理）函数y=sin2ax（a0）的最小正周期为2，则实数a=【考点】三角函数的周期性及其求法【专题】计算题【
8、分析】利用二倍角公式化简函数的表达式，直接利用周期公式求解即可【解答】解：函数y=sin2ax=，因为函数的周期为2，所以2=，所以a=；故答案为：【点评】本题是基础题，考查三角函数的周期的应用，考查计算能力3函数的定义域为（0，10【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据根式有意义的条件和对数函数的定义求函数的定义域【解答】解：函数，1lgx0，x0，0x10，故答案为（0，10【点评】此题主要考查了对数函数的定义域和根式有意义的条件，是一道基础题4集合A=x|x2|3，xR，B=y|y=x2，1x2则R（AB）=（，1）（0，+）【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题；集合【分析】求
9、出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B交集的补集即可【解答】解：由A中不等式解得：3x23，即1x5，A=1，5，由B中y=x2，1x2，得到4y0，即B=4，0，AB=1，0，则R（AB）=（，1）（0，+），故答案为：（，1）（0，+）【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键5如果2+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则mn的值为20【考点】复数代数形式的混合运算【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数【分析】由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，2i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，然
10、后利用根与系数的关系求得m，n的值得答案【解答】解：2+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，由实系数一元二次方程虚根成对原理可得，2i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则m=（2+i）+（2i）=4，m=4，n=（2+i）（2i）=5mn=40故答案为：20【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，考查了实系数一元二次方程虚根成对原理，是基础题6已知双曲线=1，其双曲线的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则该双曲线的方程为=1【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物线y2=4x的焦点为：（，0）可得所求的双曲
11、线c=，根据a2=c2b2可求a的值，从而可得双曲线的方程为【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为：（，0）所求的双曲线的右焦点为（，0），故c=根据双曲线的定义可知，a2=c2b2=1则双曲线的方程为： =1故答案为： =1【点评】本题以抛物线的焦点的求解为切入点，主要考查了双曲线的方程的求解，比较基础7在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A=30【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数【
12、解答】解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，代入得a2b2=bc=6b2，即a2=7b2，由余弦定理得：cosA=，A为三角形的内角，A=30故答案为：30【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键8若等比数列an的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+lna20=50【考点】等比数列的性质；对数的运算性质【专题】等差数列与等比数列【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案【解答】解：数列an为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，a10a1
13、1+a9a12=2a10a11=2e5，则a10a11=e5，lna1+lna2+lna20=ln（e5）10=lne50=50故答案为：50【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题9在ABC中，AB=5，AC=6，点P是ABC的外接圆圆心，则=【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用【分析】设外接圆的半径为r，由向量的三角形法则，以及向量的数量积的定义，结合等腰三角形的性质，即可得到设外接圆的半径为r，由向量的三角形法则，以及向量的数量积的定义，结合等腰三角形的性质，即可得到【解答】解：设外接圆的半径为r，=（）=
14、r6cosOACr5cosOAB，=65=，故选：【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于中档题和易错题10无穷等比数列an的前n项和为Sn，首项是a10，若Sn=，则a1的取值范围是（0，1）（1，）【考点】等比数列的前n项和；极限及其运算【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由等比数列的求和公式和极限运算可得q=1a12，由|q|1可得不等式，解不等式可得【解答】解：Sn=，a10且Sn=，|q|1，且=，故a12=1q，q=1a12，由|q|1可得11a121，解得0a1，又当a1=1时，q=1a12=0，故答案为：（0，1）（1，）【点评】本题考查等比
15、数列的求和公式，涉及极限的运算和不等式的解法，属基础题11对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，使得f（x）=f（x），则称f（x）为“局部奇函数”若f（x）=2x+m是定义在区间1，1上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是，1【考点】抽象函数及其应用【专题】函数的性质及应用【分析】利用局部奇函数的定义，建立方程关系，然后判断方程是否有解即可【解答】解：根据局部奇函数的定义，f（x）=2x+m时，f（x）=f（x）可化为2x+2x+2m=0，因为f（x）的定义域为1，1，所以方程2x+2x+2m=0在1，1上有解，令t=2x，2，则2m=t+，设g（t）=t+，则g（t）=1=，当t（0
16、，1）时，g（t）0，故g（t）在（0，1）上为减函数，当t（1，+）时，g（t）0，故g（t）在（1，+）上为增函数，所以t，2时，g（t）2，所以2m2，即m故答案为：【点评】本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力12已知数列an满足，当n3时，an=2an1或an=an1+an2，若a1=1，a2=2，则此数列的前2015项中，奇数项最多有1343项【考点】数列递推式【专题】计算题；对应思想；数学模型法；点列、递归数列与数学归纳法【分析】由题意结合数列递推式求出数列中出现奇数最多项的情况，然后利用所得规律求得是奇数
17、的最多项数【解答】解：a1=1，a2=2，由an=an1+an2，得a3=3，a4=a3+a2=5，a5=a4+a3=8，a6=a5+a4=13，a7=a6+a5=21，a8=a7+a6=34，当n3时，数列是两项奇数一项偶数重复出现，此时数列的前2015项中，是奇数的项最多有；或a1=1，a2=2，由an=an1+an2，得a3=3，a4=a3+a2=5，由an=2an1，得a5=10，a6=a5+a4=15，a7=a6+a5=25，由an=2an1，得a8=50，当n3时，数列是两项奇数一项偶数重复出现，此时数列的前2015项中，是奇数的项最多有此数列的前2015项中，是奇数的项最多有13
18、43项故答案为：1343【点评】本题考查数列递推式，关键是明确能使数列中出现奇数最多项的情况，属中档题13已知M是ABC内的一点（不含边界），且=2，BAC=30若MBC、MAB、MAC的面积分别是x，y，z，则的最小值为9【考点】基本不等式；平面向量数量积的运算【专题】整体思想；数形结合法；解三角形；不等式【分析】由向量和三角形的知识可得正数x，y，z满足x+y+z=1，整体代入可得=（）（x+y+z）=5+，由基本不等式可得【解答】解：由题意可得=bccos30=2，解得bc=4，故ABC的面积S=bcsin30=1，正数x，y，z满足x+y+z=1，=（）（x+y+z）=5+5+2=9当
19、且仅当=即z=2（x+y）时取等号，结合x+y+z=1可得x+y=且z=故选答案为：9【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及三角形和向量的知识，属中档题14在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y26x+5=0，点A，B在圆上，且AB=2则|的取值范围是4，8【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】本题可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将转化为，根据AB=2得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最值，得到本题答案【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x，y）x=，y=（x1+x2，y1+y2）=2，圆C：x2+y26x+
20、5=0，（x3）2+y2=4，圆心C（3，0），半径CA=2点A，B在圆C上，AB=2，CA2CM2=（AB）2，即CM=1点M在以C为圆心，半径r=1的圆上OMOCr=31=2，OMOC+r=3+1=42|4，4|8故答案为：4，8【点评】本题考查了数形结合思想和函数方程的思想，可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将转化为，根据AB=2得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最值，得到本题答案二、选择题15直线l1；x+ay+2=0和直线l2：（a2）x+3y+6a=0，则“a=3”是“l1l2”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充
21、分条件与充要条件的判断【专题】转化法；直线与圆；简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可【解答】解：若a=3，则两直线方程分别为x+3y+2=0和x+3y+18=0，满足两直线平行，即充分性成立，若l1l2，当a=0时，两直线分别为x+2=0和2x+3y=0，此时两直线不平行，不满足条件当a0时，若两直线平行则，由得a22a=3，即a22a3=0，解得a=3或a=1，当a=1时， =，不满足条件则a1，即a=3，故“a=3”是“l1l2”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件求出a的取值范围是解决本题的关键
22、16已知函数y=loga（x+c）（a，c为常数，其中a0，a1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）Aa1，c1Ba1，0c1C0a1，c1D0a1，0c1【考点】对数函数图象与性质的综合应用【专题】函数的性质及应用【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论【解答】解：函数单调递减，0a1，当x=1时loga（x+c）=loga（1+c）0，即1+c1，即c0，当x=0时loga（x+c）=logac0，即c1，即0c1，故选：D【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础17下列命题正确的是（）A若ab0，则2B若a0，则a+4C若a0，b0
23、，则lga+lgb2D若xk，kZ，则sin2x+5【考点】基本不等式【专题】函数思想；综合法；不等式【分析】由基本不等式求最值的规则，逐个验证可得【解答】解：选项A，当ab异号时，2，故A错误；选项B，由a0可得a+2=4，故B错误；选项C，当a0，b0时，lga和lgb可能为负数，故错误；选项D，xk，kZ，sin2x（0，1，sin2x+=t+在（0，1单调递减，当t=1时，t+取最小值5，即sin2x+5故选：D【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题18已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=（|xa2|+|x2a2|3a2），若xR，f（x1）f（x），则实数a
24、的取值范围为（）A，B，C，D，【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】把x0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x0时的函数的最大值，由对xR，都有f（x1）f（x），可得2a2（4a2）1，求解该不等式得答案【解答】解：当x0时，f（x）=，由f（x）=x3a2，x2a2，得f（x）a2；当a2x2a2时，f（x）=a2；由f（x）=x，0xa2，得f（x）a2当x0时，函数f（x）为奇函数，当x0时，对xR，都有f（x1）f（x），2a2（4a2）1，解得：故实数a的取值范围是故选：B【点评】本题
25、考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对xR，都有f（x1）f（x）得到不等式2a2（4a2）1，是中档题三、解答题19如图，A，B是单位圆O上的动点，C是圆与x轴正半轴的交点，设COA=（1）当点A的坐标为时，求的值（2）若0，且当点A，B在圆上沿逆时针方向移动时，总有AOB=，试求BC的取值范围【考点】任意角的三角函数的定义【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值【分析】（1）根据三角形函数线以及点A的坐标，求出sin=，cos=，再根据二倍角公式，分别求出cos2，sin2，代入计算即可；（2）先表示出点B的坐标，根据点与点的距离公式
26、，根据三角函数的图象和性质即可求出，BC的取值范围【解答】解：（1）点A的坐标为，sin=，cos=，cos2=2cos21=，sin2=2sincos=，=（2）B（cos（+），sin（+），C（1，0），|BC|2=cos（+）12+sin2（+）=22cos（+），0，+，cos（+），122cos（+）3，1|BC|【点评】本题考查了三角函数线的问题，二倍角的问题，以及点与点的距离公式和三角函数的图象与性质，属于基础题20提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到2
27、00辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数（）当0x200时，求函数v（x）的表达式；（）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=xv（x）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用【专题】应用题【分析】（）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20x200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（）先在区间（0，
28、20上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间20，200上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200上的最大值【解答】解：（） 由题意：当0x20时，v（x）=60；当20x200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为（）依题并由（）可得当0x20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为6020=1200当20x200时，当且仅当x=200x，即x=100时，等号成立所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200上取得最大值综上所述，当x=100
29、时，f（x）在区间0，200上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时答：（） 函数v（x）的表达式（） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时【点评】本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题21已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C （1）求C的方程：（2）l是与圆P，圆M都相切的条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|【考点】直线和圆的方程的应用【专题】综
30、合题；直线与圆【分析】（1）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（2）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|PN|=2R242=2，所以R2，当且仅当P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x2）2+y2=4分l的倾斜角为90若l的倾斜角不为90，由于M的半径1R，可知l与x轴不平行，确定Q（4，0），设l：y=k（x+4），由l与M相切，求出直线l的方程，再求|AB|【解答】解：（1）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知
31、圆心M（1，0）；圆N：（x1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3设动圆的半径为R，动圆P与圆M外切并与圆N内切，|PM|+|PN|=R+1+（3R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，a=2，c=1，b2=a2c2=3曲线C的方程为（去掉点（2，0）（2）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|PN|=2R231=2，所以R2，当且仅当P的圆心为（2，0），R=2时，其半径最大，其方程为（x2）2+y2=4l的倾斜角为90，直线l的方程为x=0，|AB|=2若l的倾斜角不为90，由于M的半径1R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点
32、为Q，则=，可得Q（4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l与M相切可得： =1，解得k=直线l的方程为y=（x+4），代入，可得7x2+8x8=0，|AB|=【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法22已知函数f（x）=2x+a2x，其中常数a0（1）当a=1时，f（x）的最小值；（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（3）当a=256时，是否存在实数k（1，2，使得不等式f（kcosx）f（k2cos2x）对任意xR恒成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由【考点】函数奇偶性的判断；函数的最值及其
33、几何意义【专题】综合题；函数思想；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】（1）直接利用不等式的基本性质求最值；（2）利用f（x）=f（x）及f（x）=f（x）求得a值，从而得到函数为奇函数或偶函数的a的取值；（3）由原函数可得当a=256时，函数在（0，4）上是减函数，利用单调性直接转化为kcosxk2cos2x恒成立，分离参数求解即可得到k值【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=2x+2x=，当且仅当，即x=0时取等号；（2）f（x）的定义域为R，f（x）=2x+a2x=，f（x）=，f（x）=2x+a2x=，由f（x）=f（x），得，即a22x+1=22x+a，（a1）22x（a
34、1）=0，即a=1；由f（x）=f（x），得，即a22x+22x+a+1=0，（a+1）22x+a+1=0，即a=1当a=1时，函数f（x）=2x+a2x为偶函数；当a=1时，函数f（x）=2x+a2x为奇函数；当a1且a1时，f（x）=2x+a2x为非奇非偶函数；（3）当k（1，2时，0kcosx3，0k2cos2x4当a=256时，f（x）=2x+2562x=，由复合函数的单调性知，f（x）在（0，4）上是减函数，要使f（kcosx）f（k2cos2x），xR，只要kcosxk2cos2x（xR），即cos2xcosxk2k（xR）设，则函数g（x）在R上的最大值为2要使式恒成立，必须k2
35、k2，即k2或k1 在区间k（1，2上存在k=2，使得原不等式对任意的xR恒成立【点评】本题考查利用不等式的基本性质求最值，考查了函数的单调性和奇偶性，考查综合分析和解决问题的能力，体现了数学转化思想方法，是中档题23数列an的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称数列an是“E数列”（1）数列an的前n项和Sn=3n（nN*），判断数列an是否为“E数列”，并说明理由；（2）数列bn是等差数列，其首项b1=1，公差d0，数列bn是“E数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列an，总存在两个“E数列”bn和cn，使得an=bn+cn（nN*）成立【考点】
36、数列的求和；数列递推式【专题】新定义；转化思想；分析法；等差数列与等比数列【分析】（1）运用a1=S1，an=SnSn1，（n1），可得an，再由新定义即可判断；（2）运用等差数列的通项公式和求和公式，可得m，再由新定义即可求得d=1；（3）若dn=bn（b是常数），求得前n项和，设bn=na1，cn=（da1）（n1），再由新定义可得则an=bn+cn，即可得证【解答】解：（1）由Sn=3n（nN*），且a1=S1，an=SnSn1，（n1），可得an=，当n=2时，9=23n1，得mN*，所以不是“E数列”；（2）由数列bn是等差数列，其首项b1=1，公差d0，可得n+d=1+（m1）d，即为m=+1，为非负整数，所以首先要恒为整数，d为所有非负整数的公约数且d0，所以d=1；（3）证明：首先，若dn=bn（b是常数），则数列dn前n项和为Sn=b是数列dn中的第项，因此dn是“E数列”，对任意的等差数列an，an=a1+（n1）d（d为公差），设bn=na1，cn=（da1）（n1），则an=bn+cn，而数列bn，cn都是“E数列”，故对任意的等差数列an，总存在两个“E数列”bn和cn，使得an=bn+cn（nN*）成立【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项和求和，考查推理和运算能力，属于中档题21
