1、备课资料一、课外阅读算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)(1)设a1，a2，a3，a n为正实数，这n个数的算术平均值记为A，几何平均值记为G，即，即AG,当且仅当a1a2an时，AG.特别地当n2时，,当n3时，. (2)用局部调整法证明均值不等式AG.设这n个正数不全相等.不失一般性，设0a1a2a n，易证a 1Aa n，且a1Gan.在这n个数中去掉一个最小数a1，将a 1换成A，再去掉一个最大数an，将an换成a1anA，其余各数不变，于是得到第二组正数：A，a2，a3，a n1，a1a nA.这一代换具有下列性质：两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A
2、1，那么A1=A,两组数的几何平均值最大.设第二组数的几何平均值为G1，则G1A(a1anA)a 1an(Aa1)(a nA),由a1Aan，得(Aa1)(anA)0,则A(a1anA)a1an.Aa 2a 3a n1(a1a nA)a1a 2an1a n.G1G.若第二组数全相等，则A1G 1，于是AA1G 1G证明完毕.若第二组数不全相等，再作第二次替换.仍然是去掉第二组数中的最小数b1和最大数bn，分别用A1(即A)和b1bnA代替，因为有b1A1b n且A1A.因而第二组数中的A不是最小数b1，也不是最大数bn，不在去掉之列，在替换中不会被换掉，而只会再增加，如此替换下去，每替换一次，
3、新数中至少增加一个A，经过n2次替换，新数中至少出现n2个A，最多经过n1次替换，得到一个全部是A的新数组.此时新数组的算术平均值等于几何平均值.在每次替换中，数组的算术平均值不变，始终等于A，而几何平均值不断增大，即GG 1G2G k，而GkAkA，因而GA成立.二、课外拓展平均值不等式：平均不等式是最重要而基本的不等式之一，应用极其广泛，如能灵活运用，将产生意想不到的效果，这类试题在数学竞赛中经常出现.请同学们课后查找资料，阅读此四个不等式的证明过程.平均值定理：设n个正数a1，a2，an，记调和平均几何平均， 算术平均，平方平均.这4个平均有如下关系：HnGnAnQ n,等号成立的充要条
4、件都是a1=a 2=a n.备课资料备用习题1.已知a、b是正实数，试比较an+bn与a n-1b+abn-1的大小.解：an+bn-a n-1b-ab n-1=an-1(a-b)+bn-1(b-a)=(a-b)(an-1-bn-1).当ab0时，a-b0,a n-1-b n-10,得(a-b)(an-1-bn-1)0;当ba0时，a-b0,a n-1-bn-10,得（a-b）(a n-1-b n-1)0;当b=a0时，（a-b）(an-1-bn-1)=0;所以当ab时，an+bna n-1b+ab n-1;当a=b时,an+bn=a n-1b+ab n-1.2.已知ABC内接于单位圆，且(1
5、+tanA)(1+tanB)=2，（1）求证:内角C为定值；（2）求ABC面积的最大值. （）证明：由(1+tanA)(1+tanB)=21+tanAtanB+tanA+tanB=2(1-)(tanA+tanB)=0.(tanA+tanB)0,，即tan(A+B)=1.C=135.（2）解析：由题意,可得SABC= ACBCsinC= ACBC ()2.当AC=BC时，SABC有最大值，最大值为SABC= (AC)2.再作辅助线如图，连结OC、OA，OC交AB于D得ABOC，所以AD=BD=,CD=1-,AC 2=AD2+CD2= 2-2,所以SABC的最大值= (AC)2=.3.一批救灾物资
6、随26辆汽车从某市以x km/h的速度匀速开往400 km处的灾区，为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于km，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？解析：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知t相当于：最后一辆车行驶了25个 +400 km所用的时间，因此，. 当且仅当,即x=80时取“=”.答：这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间是10小时.4.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料6
7、0平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A、B孔面积忽略不计)分析：应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值.解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知,其中k0且k是比例系数.依题意要使y最小，只需求ab的最大值.由题设得4b2ab2a0（a0，b0），即a2bab30（a0，b0），a2b2,2ab30.当且仅当a2b时取“”，ab有最大值.当a2b时有2abab30，即b22b10.解之，得b 13，b2（舍去）.a2b.故当a米，b3米时，经沉淀后流出的水中
8、杂质最少.解法二：设y为流出的水中杂质的质量分数，由题意可知4b2ab2a0（a0，b0），a2bab30（a0，b0）.（0a30).由题设，其中k0且k是比例系数，依题只需ab取最大值.当且仅当a2时取“”，即a，b3时ab有最大值18.故当a米，b3米时经沉淀后流出的水中杂质最少.点评：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验证“”成立.5.如图，在ABC中，0，AC3，B4，一条直线分AB的面积为相等的两部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长.分析：本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在AB与BC之间的线段EF，同时考虑到题设
9、中的等量关系，即SBSAB，因此，所选变量还应便于求两个三角形的面积，于是考虑设BEx，By.解：设Bx，By(0x4，0y），则SBBBsinBxysinB.又SABBA34,依题意可知SBSAB.xysinB3.，xy10,又,在B中，由余弦定理得2B2B22BBcosBx 2y 22xyx2y212xy14，当且仅当xy时，等号成立.故此时线段EF的长为2.点评：本题从求线段的长度问题转化为求函数的最值问题.而求函数最值是不等式的重要应用，当解析式比较复杂时，利用三角函数的有关知识，巧妙地寻求等量关系，合理变形，是我们常用的一惯手法.从而使我们注意到：数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想方法.全 品中考网
