1、 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 第四节数列求和na1an2na1nn1d2na1，q1，a11qn1q，q1.1公式法 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 nn12n(n1)n22几种数列求和的常用方法 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前 n 项和常用的裂项公式有：1nn1_；12n12n1_；1n n1_.1n 1n11212n112n1n
2、1 n 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前 n 项和即可用错位相减法求解(4)倒序相加法：如果一个数列an与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法求解 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1若Sn123456(1)n1n，则S50_答案：25小题体验2(教材习题改编)数列1 12，3 14，5 18，7 116，(2n1)12n，
3、的前n项和Sn的值等于_答案：n21 12n 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论2在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an1的式子应进行合并3在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1设f(n)2242721023n10(nN*)，则f(3)_小题纠偏答案：27(871)2已知数列an的前
4、n项和为Sn且ann2n，则Sn_答案：(n1)2n12 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点一 公式法求和题组练透1(2017重庆适应性测试)在数列an中，an1an2，a25，则数列an的前4项和为()A9 B22C24 D32解析：依题意得，数列an是公差为2的等差数列，a1a223，因此数列an的前4项和等于43432 224，选C答案：C 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2若等比数列an满足a1a410，a2a520，则an的前n项和Sn_解析：由题意a2a5q(a1a
5、4)，得20q10，故q2，代入a1a4a1a1q310，得9a110，即a1109 故Sn109 12n12109(2n1)答案：109(2n1)数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 3已知等差数列an满足a32，前3项和S392(1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足b1a1，b4a15，求bn的前n项和Tn解：(1)设an的公差为d，则由已知条件得a12d2，3a1322 d92，化简得a12d2，a1d32，解得a11，d12，故an的通项公式an1n12，即ann12 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点
6、 突 破 课 后 三 维 演 练(2)由(1)得b11，b4a1515128设bn的公比为q，则q3b4b18，从而q2，故bn的前n项和Tnb11qn1q112n122n1 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 谨记通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点二 分组转化法求和解：(1)设等比数列bn的公比为 q，则 qb3b2933，所以 b1b2q 1，b4b3q27，所以
7、 bn3n1(nN*)设等差数列an的公差为 d因为 a1b11，a14b427，所以113d27，即 d2所以 an2n1(nN*)典例引领(2016北京高考)已知an是等差数列，bn是等比数列，且 b23，b39，a1b1，a14b4(1)求an的通项公式；(2)设 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)由(1)知，cnanbn2n13n1从而数列cn的前 n 项和Sn13(2n1)133n1n12n1213n13 n23n12 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破
8、课 后 三 维 演 练 由题悟法分组转化法求和的常见类型提醒 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 即时应用(2017兰州实战考试)在等差数列an中，a2a723，a3a829(1)求数列an的通项公式；(2)设数列anbn是首项为1，公比为q的等比数列，求bn的前n项和Sn解：(1)设等差数列an的公差是 da3a8(a2a7)2d6，d3，a2a72a17d23，解得 a11，数列an的通项公式为 an3n2 数列求和 结 束
9、 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)数列anbn是首项为1，公比为q的等比数列，anbnqn1，即3n2bnqn1，bn3n2qn1Sn147(3n2)(1qq2qn1)n3n12(1qq2qn1)，故当q1时，Snn3n12n3n2n2；当q1时，Snn3n121qn1q 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点三 错位相减法求和典例引领(2016山东高考)已知数列an的前 n 项和 Sn3n28n，bn是等差数列，且 anbnbn1(1)求数列bn的通项公式；(2)令 cnan1n1bn2n，求
10、数列cn的前 n 项和 Tn解：(1)由题意知，当 n2 时，anSnSn16n5，当 n1 时，a1S111，满足上式，所以 an6n5设数列bn的公差为 d由a1b1b2，a2b2b3，即112b1d，172b13d，可解得b14，d3.所以 bn3n1 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)由(1)知 cn6n6n13n3n 3(n1)2n1，又 Tnc1c2cn，得 Tn32 223 23(n1)2n1，2Tn32 233 24(n1)2n2，两式作差，得Tn32 2223242n1(n1)2n234412n12 n12n23n2
11、n2，所以 Tn3n2n2 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 由题悟法用错位相减法求和的3个注意事项(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 即时应用(2017泉州调研)已知等差数列an的前 n 项和 Sn 满足 S36，S515(1
12、)求an的通项公式；(2)设 bn an2an，求数列bn的前 n 项和 Tn解：(1)设等差数列an的公差为 d，首项为 a1，S36，S515，3a112331d6，5a112551d15，数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)由(1)得 bn an2an n2n，Tn12 222 323n12n1 n2n，12Tn 122 223 324n12n n2n1，得12Tn12 122 123 12n n2n1121 12n112 n2n11 12n n2n1，Tn22n2n 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突
13、破 课 后 三 维 演 练 考点四 裂项相消法求和裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列an的通项公式，达到求解目的常见的命题角度有：(1)形如an1nnk型；(2)形如an1nk n 型；(3)形如ann1n2n22型 锁定考向 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 角度一：形如 an1nnk型1(2017西安质检)等差数列an的各项均为正数，a11，前 n 项和为 Sn；数列bn为等比数列，b11，且 b2S26，b2S38(1)求数列an与bn的通项公式；(2)求 1S1 1
14、S2 1Sn解：(1)设等差数列an的公差为 d，d0，bn的公比为 q，则 an1(n1)d，bnqn1依题意有q2d6，q33d8，解得d1，q2或d43，q9(舍去)故 ann，bn2n1 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)由(1)知 Sn12n12n(n1)，1Sn2nn121n 1n1，1S1 1S2 1Sn2112 1213 1n 1n121 1n1 2nn1 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 角度二：形如 an1nk n 型2(2017江南十校联考)已知函数 f(x
15、)x 的图象过点(4,2)，令an1fn1fn，nN*记数列an的前 n 项和为 Sn，则 S2 017()A 2 0161 B 2 0171C 2 0181 D 2 0181解析：由 f(4)2 可得 42，解得 12，则 f(x)x12an1fn1fn1n1 n n1 n，S2 017a1a2a3a2 017(2 1)(3 2)(43)(2 017 2 016)(2 018 2 017)2 0181答案：C 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 角度三：形如 ann1n2n22型3正项数列an的前 n 项和 Sn 满足：S2n(n2n1)
16、Sn(n2n)0(1)求数列an的通项公式 an；(2)令 bnn1n22a2n，数列bn的前 n 项和为 Tn证明：对于任意的 nN*，都有 Tn0，Snn2n于是 a1S12，当 n2 时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n综上，数列an的通项公式为 an2n 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)证明：由于 an2n，故 bnn1n22a2nn14n2n22 1161n21n22 Tn 1161 132 122 142 132 1521n121n121n21n22 1161 1221n121n22 1161 122 564
17、数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 通法在握利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等如：若an是等差数列，则1anan11d1an 1an1，1anan2 12d1an 1an2 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 演练冲关(2016石家庄一模)已知等差数列an中，2a2a3a520，且前10项和S10100(1)求数列an的通项公式；(2)若bn1anan1，求数列bn的前n项和解：(1)由已知得2a2a3a54a18d20，10a11092d10a145d100，解得a11，d2.an的通项公式为an12(n1)2n1 数列求和 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)bn12n12n11212n112n1，数列bn的前n项和Tn12113131512n112n1 12112n1n2n1板块命题点专练（八）点击此处
