1、第 28 讲 正弦定理和余弦定理 1.正、余弦定理在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_Casin A bsin B csin C2R常见变形cos Ab2c2a22bc；cos Bc2a2b22ac；cos Ca2b2c22ab(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin
2、 Ccsin B，asin Ccsin A2.在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式absin Absin Aabab解的个数一解两解一解一解无解3.三角形常用面积公式(1)S12aha(ha 表示 a 边上的高).(2)S12absin C12acsin B12bcsin Aabc4R.(3)S12r(abc)(r 为内切圆半径).1.三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(3)sinAB2cosC2；(4)cosAB2sinC2.2.三角形中的射影定理在ABC 中，abcos Cccos B
3、；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.3.在ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，ABabsin Asin Bcos Acos B.考点 1 利用正、余弦定理解三角形 名师点睛(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.典例 1.(2021新高考卷)记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
4、c.已知 b2ac，点 D 在边 AC 上，BDsin ABCasin C.(1)证明：BDb.(2)若 AD2DC，求 cos ABC.2（2022全国高考真题）记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知cossin 21sin1cos2ABAB(1)若23C，求 B；(2)求222abc的最小值举一反三 1（2022上海模拟预测）如图，在 ABC 中，已知45B，D 是 BC 边上的一点，5,7,3ADACDC，则 AB 的长为（）A5 3B5 6C 5 32D 5 622（2022山东济南市历城第二中学模拟预测）锐角 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，
5、c，且满足(sinsin)()sin3AB abCac，若1b ，则22ac的取值范围是_3（2022山东日照三模）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若2ac，且sin,sin,sinABC 成等比数列，则cos A _4（2022江苏江苏一模）在 ABC 中，角,A B C 的对边分别为,a b c.若3ab，则cosB 的最小值是_.5（2022全国高考真题（理）记 ABC 的内角,A B C 的对边分别为,a b c，已知sinsin()sinsin()CABBCA(1)证明：2222abc；(2)若255,cos31aA，求 ABC 的周长 考点 2 判断三角形
6、的形状 名师点睛 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.典例 1（2022浙江高三专题练习）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sin 22 sin cos aBbBA，则 ABC 的形状一定是（）A等腰三角形B锐角三角形C直角三角形D钝角三角形2（2022全国高三专题练习）在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c
7、 若22tantanbBcC，则 ABC 的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D不确定举一反三 1（2022江苏南通模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为 1，7，7，则（）A能制作一个锐角三角形B能制作一个直角三角形C能制作一个钝角三角形D不能制作这样的三角形2（2022全国高三专题练习）在 ABC 中，角,A B C 所对的边分别是,a b c，且2 coscaB，则 ABC 的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形3（2022浙江高三专题练习）若 ABC 满足222abcbc，且sin2sinBC，则
8、ABC 的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角三角形或直角三角形4（2022浙江高三专题练习）已知 ABC 内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，面积为S.若 sinsin2ACabA，23SBA CA，则 ABC 的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形5（2022湖南长沙一中高三开学考试）ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知3cossin3abCcB.(1)求内角 B 的大小；(2)已知 ABC 的面积为32，2ac，请判定 ABC 的形状，并说明理由.考点 3 和三角形面积有关的问题 名师点睛 与三角形面积有关问题的解
9、题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.典例 1（2022全国高考真题）记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，分别以 a，b，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,S SS，已知12331,sin23SSSB(1)求 ABC 的面积；(2)若2sinsin3AC，求 b2（2022福建三明一中模拟预测）已知 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且22 coscbaC(1)求角 A；(2)若 M 为 BC 的中点，3AM，求 ABC
10、 面积的最大值 举一反三 1（2022江苏南京市第五高级中学模拟预测）在 ABC 中，ABAC，D 为 AC 的中点，2BD ，则 ABC 面积的最大值为_.2（2022浙江高考真题）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知345,cos5acC(1)求sin A 的值；(2)若11b，求 ABC 的面积3（2022山东济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在 ABC 中，M 为 BC 上一点，2ABACBC，0,2B 且15sin8B(1)若 AMBM，求 ACAM 的值；(2)若 AM 为BAC的平分线，且1AC ，求ACM的面积4（2022广东大埔县虎山中学模拟预测
11、）在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且222ababc(1)求角 C；(2)若 ABC 的面积5 34S，且21c，求 ABC 的周长5（2022江苏南通模拟预测）在 ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，2coscos3bAaBc(1)求 cosB；(2)若 b3，ac，ABC 的面积为2 2，求 a 第 28 讲 正弦定理和余弦定理 1.正、余弦定理在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_Ca
12、sin A bsin B csin C2R常见变形cos Ab2c2a22bc；cos Bc2a2b22ac；cos Ca2b2c22ab(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A2.在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式absin Absin Aabab解的个数一解两解一解一解无解3.三角形常用面积公式(1)S12aha(ha 表示
13、a 边上的高).(2)S12absin C12acsin B12bcsin Aabc4R.(3)S12r(abc)(r 为内切圆半径).1.三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(3)sinAB2cosC2；(4)cosAB2sinC2.2.三角形中的射影定理在ABC 中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.3.在ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，ABabsin Asin Bcos A0，所以 BDb.(2)解 法一 如图所示，过点 D 作 DEBC 交 AB 于 E，因为 AD2
14、DC，所以AEEBADDC2，DEBC23，所以 BEc3，DE23a.在BDE 中，cosBEDBE2DE2BD22BEDEc294a29 b22c32a3c24a29b24acc24a29ac4ac.在ABC 中，cosABCAB2BC2AC22ABBCc2a2b22acc2a2ac2ac.因为BEDABC，所以 cosBEDcos ABC，所以c24a29ac4acc2a2ac2ac，化简得 3c26a211ac0，方程两边同时除以 a2，得 3 ca211 ca 60，解得ca23或ca3.当ca23，即 c23a 时，cos ABCc2a2ac2ac49a2a223 a243a2 7
15、12；当ca3，即 c3a 时，cos ABCc2a2ac2ac9a2a23a26a2761(舍).综上，cos ABC 712.法二 因为AD 2DC，所以BD 23BC13BA，所以BD 249BC 249BCBA19BA 2.因为 BDb，所以 b249a249accosABC19c2，所以 9b24a24accosABCc2.又 b2aca2c22accosABC，所以，得 8ac3a26accosABC，所以 cosABC8ac3a26ac43 a2c.由知94ac4cosABCca，1acca2cosABC，所以 116ac 3ca，所以 6 ac211ac30，解得ac32或ac
16、13.当ac32时，cosABC4334 712；当ac13时，cosABC431676(不合题意，舍去).所以 cosABC 712.2（2022全国高考真题）记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知cossin 21sin1cos2ABAB(1)若23C，求 B；(2)求222abc的最小值【解】（1）因为2cossin 22sincossin1sin1cos 22coscosABBBBABBB，即1sincoscossinsincoscos2BABABABC，而02B，所以6B；（2）由（1）知，sincos0BC，所以,022CB，而sincossin2BCC ，
17、所以2CB，即有22AB，所以30,424BC所以222222222sinsincos 21cossincosabABBBcCB 2222222cos11cos24cos52 854 25coscosBBBBB 当且仅当22cos2B 时取等号，所以222abc的最小值为 4 25 举一反三 1（2022上海模拟预测）如图，在 ABC 中，已知45B，D 是 BC 边上的一点，5,7,3ADACDC，则 AB 的长为（）A5 3B5 6C 5 32D 5 62【答案】D【解析】在ACD中，由余弦定理得：2224992511cos227314ACCDADCAC CD，因为0,C，所以2115 3
18、sin11414C，在 ABC 中，由正弦定理得：sinsinABACCB，即7sin 455 314AB ，解得：5 62AB 故选：D2（2022山东济南市历城第二中学模拟预测）锐角 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足(sinsin)()sin3AB abCac，若1b ，则22ac的取值范围是_【答案】7,42 3【分析】因为(sinsin)()sin3AB abCac，由正弦定理得2223acbac，由余弦定理得2223cos22acbBac，而(0,)B,所以6B，因为1b ，由正弦定理知2sinsinsinbacBAC，所以22224sin4sin2(1c
19、os2)2(1cos2)acACAC542 cos 2cos 242 3 sin 263AAA，因为在锐角 ABC 中，有02A，5062A，得 32A，所以 22333A，此时3sin 2123A，则22742 3ac，故答案为：7,42 33（2022山东日照三模）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若2ac，且sin,sin,sinABC 成等比数列，则cos A _【答案】24【分析】解：由sin,sin,sinABC 成等比数列，得22sinsinsin,BACbac，又2ac所以:2:2:1a b c，所以2222222122cos242 2bcaAbc.故答
20、案为：244（2022江苏江苏一模）在 ABC 中，角,A B C 的对边分别为,a b c.若3ab，则cosB 的最小值是_.【答案】2 23【分析】解：由余弦定理得222cos2acbBac，又3ab，所以2222238cos236+bcbbcBb cbc，因为2222+24 288bcbcbc，当且仅当2 2cb时取等号，所以228+4 22 2cos663bcbcBbcbc，所以cosB 的最小值是 2 23，故答案为：2 23.5（2022全国高考真题（理）记 ABC 的内角,A B C 的对边分别为,a b c，已知sinsin()sinsin()CABBCA(1)证明：2222
21、abc；(2)若255,cos31aA，求 ABC 的周长【解】(1)证明：因为sinsinsinsinCABBCA，所以sinsincossinsincossinsincossinsincosCABCBABCABAC，所以2222222222222acbbcaabcacbcabacbcab，即22222222222acbabcbca，所以2222abc；(2)解：因为255,cos31aA，由（1）得2250bc，由余弦定理可得2222cosabcbcA，则50502531bc，所以312bc，故2222503181bcbcbc，所以9bc，所以 ABC 的周长为14abc.考点 2 判断三
22、角形的形状 名师点睛 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.典例 1（2022浙江高三专题练习）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sin 22 sin cos aBbBA，则 ABC 的形状一定是（）A等腰三角形B锐角三角形C直角三角形D钝角三角形【答案】A【分析】由正弦定理 sin22 sincosaBbBA，得22sinsi
23、ncos2sincosABBBA，又在 ABC 中，,0,A B，所以sin0B，所以 tantanAB，即 AB，故 ABC 的形状一定是等腰三角形，故选：A2（2022全国高三专题练习）在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c 若22tantanbBcC，则 ABC 的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D不确定【答案】C【分析】在 ABC 中，原等式化为：22sincossincosbBCcCB，由正弦定理 sinsinbcBC得，22coscosbbCccB，即 coscosbBcC，由余弦定理得：22222222acbabcbcacab，整理得2
24、22244a ba cbc，则有2222222()()()abcbcbc，于是有bc或222bca，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以 ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形.故选：C 举一反三 1（2022江苏南通模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为 1，7，7，则（）A能制作一个锐角三角形B能制作一个直角三角形C能制作一个钝角三角形D不能制作这样的三角形【答案】C【分析】由向量关系与余弦定理列方程求解三条边长后判断【详解】设三角形的三条边为 a，b，c，设 BC 中点为 D，1()2ADABAC，则222124ADABACAB AC2222222211222
25、424bcacbbcbcabc，2222228bca同理，2222222228,224abcacb2222831003283abc，2 21310 332 213abc，4 2110 333ac，可以构成三角形2225610044333acb，cos0B，ABC 为钝角三角形，故选：C2（2022全国高三专题练习）在 ABC 中，角,A B C 所对的边分别是,a b c，且2 coscaB，则 ABC 的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【答案】A【分析】首先利用正弦定理边化角公式得到sin0AB，即可得到答案.【详解】因为2 coscaB，所以sin
26、2sincosCAB，即sinsincoscossin2sincosABABABAB，整理得到sincoscossinsin0ABABAB，因为0A，0B，所以AB，即0AB，AB，ABC 为等腰三角形.故选：A3（2022浙江高三专题练习）若 ABC 满足222abcbc，且sin2sinBC，则 ABC 的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角三角形或直角三角形【答案】B【分析】由正弦定理可得2bc，结合222abcbc，可得3,2ac bc，即222bac，分析即得解【详解】由正弦定理，以及sin2sinBC，可得2bc代入222abcbc，可得2222(2)23acccc
27、c3,2ac bc故22290bacB故 ABC 为直角三角形故选：B4（2022浙江高三专题练习）已知 ABC 内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，面积为S.若 sinsin2ACabA，23SBA CA，则 ABC 的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形【答案】C【分析】由三角形的内角和定理、诱导公式、正弦定理以及二倍角的正弦公式化简已知条件，可求角 B，由三角形的面积公式和平面向量数量积的定义可求角 A，再由三角形的内角和求角C，即可判断 ABC 的形状，进而可得正确选项.【详解】因为 sinsin2ACabA，所以 sinsin22BabA，即 coss
28、in2BabA，由正弦定理可得：sincossinsin2BABA，因为sin0A，所以cossin2sincos222BBBB，因为022B，所以cos02B，所以2sin12B ，可得1sin22B，所以 26B，解得3B，因为23SBA CA，所以12sin3cos2bcAbcA，即sin3cosAA，所以 tan3A，可得3A，所以3CAB，所以 ABC 的形状是正三角形，故选：C.5（2022湖南长沙一中高三开学考试）ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知3cossin3abCcB.(1)求内角 B 的大小；(2)已知 ABC 的面积为32，2ac，请判定 A
29、BC 的形状，并说明理由.解：（1）因为3cossin3abCcB，由正弦定理可得3sinsin cossin sin3ABCCB，又由sinsin sinsin coscos sinABCBCBCBC，可得3cos sinsin sin3BCCB，因为0,C，可得sin0C，所以3cossin3BB，即 tan3B，又因为0,B，可得3B.（2）因为 ABC 的面积为3,23B，所以133csin242SaBac，所以2ac，因为2ac，所以1,2ca，所以2212cos412232bacacB ，所以222abc，故 ABC 为直角三角形.考点 3 和三角形面积有关的问题 名师点睛 与三角
30、形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.典例 1（2022全国高考真题）记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，分别以 a，b，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,S SS，已知12331,sin23SSSB(1)求 ABC 的面积；(2)若2sinsin3AC，求 b解：（1）由题意得222212313333,22444SaaSbSc，则22212333334442SSSabc，即2222acb，由余弦定理得222cos2acbB
31、ac，整理得cos1acB ，则cos0B，又1sin3B，则212 2cos133B，13 2cos4acB，则12sin28ABCSacB；（2）由正弦定理得：sinsinsinbacBAC，则223 294sinsinsinsinsin423bacacBACAC，则3sin2bB，31sin22bB.2（2022福建三明一中模拟预测）已知 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且22 coscbaC(1)求角 A；(2)若 M 为 BC 的中点，3AM，求 ABC 面积的最大值解：(1)解法一：因为22 coscbaC，由正弦定理得：sin2sin2sincosCBAC
32、，所以sin2sin()2sincosCACAC2sincos2cossin2sincos2cossinACACACAC，因为sin0C，所以12cos1,cos2AA，为0A，所以3A 解法二：因为22 coscbaC，由余弦定理得：222222abccbaab，整理得222bcbca，即222abcbc，又由余弦定理得2222cosabcbcA所以12cos1,cos2AA，因为0A，所以3A(2)解法一：因为 M 为 BC 的中点，所以1()2AMABAC，所以222124AMABAB ACAC，即22132cos43cbbc，即2212bcbc，而222bcbc，所以122bcbc即4
33、bc，当且仅当2bc时等号成立所以 ABC 的面积为113sin43222ABCSbcA即 ABC 的面积的最大值为3 解法二：设 BMMCm，在 ABM 中，由余弦定理得22323coscmAMB，在ACM中，由余弦定理得22323cosbmAMC，因为AMBAMC，所以coscos0AMBAMC所以+式得22262bcm在 ABC 中，由余弦定理得22242cosmbcbcA，而3A，所以2224mbcbc，联立得：22222212bcbcbc，即2212bcbc，而222bcbc，所以122bcbc，即4bc，当且仅当2bc时等号成立所以 ABC 的面积为113sin43222ABCSb
34、cA即 ABC 的面积的最大值为3 举一反三 1（2022江苏南京市第五高级中学模拟预测）在 ABC 中，ABAC，D 为 AC 的中点，2BD ，则 ABC 面积的最大值为_.【答案】83【分析】首先利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC 面积的最大值【详解】设2ABACm，2BCn，由于 ADBCDB，在ABD和BCD中应用余弦定理可得：2222444466mnmmmm，整理可得：2242mn，结合勾股定理可得 ABC 的面积：2222222111()24169(1)69222SBCACBCnmnnnnn222221616893(3(2)93nnnn，当且
35、仅当289n 时等号成立 则 ABC 面积的最大值为 83 故答案为：832（2022浙江高考真题）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知345,cos5acC(1)求sin A 的值；(2)若11b，求 ABC 的面积解：(1)由于3cos5C，0C，则4sin5C 因为45ac，由正弦定理知4sin5 sinAC，则55sinsin45AC(2)因为45ac，由余弦定理，得2222221612111355cos22225aaaabcCabaa，即26550aa，解得5a，而4sin5C，11b，所以 ABC 的面积114sin5 1122225SabC 3（2022
36、山东济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在 ABC 中，M 为 BC 上一点，2ABACBC，0,2B 且15sin8B(1)若 AMBM，求 ACAM 的值；(2)若 AM 为BAC的平分线，且1AC ，求ACM的面积解：（1）因为15sin8B，0,2B,所以27cos1 sin8BB，因为2ABAC，所以由正弦定理知 sin2sinCABBAC，即sin2sinCB，因为 AMBM，所以2AMCB，sinsin 22sincosAMCBBB，在 AMC中，sin2sincos7cossin2sin8ACAMCBBBAMCB（2）由题意知22ABAC，设 BCx，由余弦定理得222217
37、cos48xBx，解得2BC 或32BC 因为2ACBC，所以2BC，因为 AM 为BAC的平分线，BAMCAM 所以11sin2211sin22ABMACMAB AMBAMBMhSSAC AMCAMCMh（h 为底边 BC 的高）所以2BMABCMAC，故1233CMBC，而由（1）知15sin2sin4CB，所以1121515sin1223412ACMSAC CMC 4（2022广东大埔县虎山中学模拟预测）在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且222ababc(1)求角 C；(2)若 ABC 的面积5 34S，且21c，求 ABC 的周长解：(1)因为222ababc
38、，由余弦定理，得到2221cos22abcCab，又0C，所以3C；(2)因为 ABC 的面积5 34S，且21c，3C 所以有22135 3sin21244SabCababab，联立22526abab，则22226abababab，所以 ABC 的周长为621abc5（2022江苏南通模拟预测）在 ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，2coscos3bAaBc(1)求 cosB；(2)若 b3，ac，ABC 的面积为2 2，求 a解：(1)因为2coscos3bAaBc，由正弦定理得2sin cossin cossinsin3BAABAC，因为CAB，所以2sin cossin cossinsin coscos sin3BAABAABAB，所以22sin cossin3ABA，可得1cos3B.(2)2 2sin3B，12sin2 223ABCSacBac，可得6ac 在 ABC 中，由余弦定理得221293acac，2213ac，225ac，5ac，a，c 可看作一元二次方程2560 xx的两不等实根，ac3a
