1、函数的单调性与最值 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 第二节函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2函数的单调性与最值 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 增函数减函数定义当x1x2时，都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是_当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是_图象描述自左向右看图象是_自左向右看图象是_增函数减函数上升的下降的函数的单调性与最值
2、 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)，区间D叫做函数yf(x)的单调性单调区间函数的单调性与最值 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M结论M为函数yf(x)的最大值M为函数yf(x)的最小值函数的单调性与最值 结
3、束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1下列函数中，定义域是R且为增函数的是()Ayex Byx3Cyln xDy|x|答案：B小题体验函数的单调性与最值 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2yx26x5的单调减区间为_解析：yx26x5(x3)24，表示开口向上，对称轴为x3的抛物线，其单调减区间为(，3答案：(，3函数的单调性与最值 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 3若函数 f(x)1x在区间2，a上的最大值与最小值的和为34，则a_解析：由f(x)1x 的图
4、象知，f(x)1x 在(0，)上是减函数，2，a(0，)，f(x)1x在2，a上也是减函数，f(x)maxf(2)12，f(x)minf(a)1a，121a34，a4答案：4函数的单调性与最值 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集2若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集例如，函数f(x)在区间(1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(1,0)(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x
5、)1x3两函数f(x)，g(x)在x(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)g(x)也为增(减)函数，但f(x)g(x)，1fx 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比函数的单调性与最值 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 1设定义在1,7上的函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的增区间为_答案：1,1，5,7小题纠偏函数的单调性与最值 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2函数 f(x)2x1在2,0上的最大值与最小值之差为_解析：易知f(x)在2,0上是减函数，f(x)maxf(x)minf(
6、2)f(0)23(2)43答案：43函数的单调性与最值 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 题组练透1下列四个函数中，在(0，)上为增函数的是()Af(x)3x Bf(x)x23xCf(x)1x1Df(x)|x|考点一 函数单调性的判断解析：当 x0 时，f(x)3x 为减函数；当 x0，32 时，f(x)x23x 为减函数，当 x32，时，f(x)x23x 为增函数；当 x(0，)时，f(x)1x1为增函数；当 x(0，)时，f(x)|x|为减函数答案：C 函数的单调性与最值 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维
7、演 练 2试讨论函数f(x)axx1(a0)在(1,1)上的单调性解：法一(定义法)：设1x1x21，f(x)ax11x1a1 1x1，f(x1)f(x2)a11x11 a11x21 ax2x1x11x21，由于1x1x20，x110，x210 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1,1)上递减；当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0时，f(x)0，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0，函数f(x)在(1,1)上递增函数的单调性与最值 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 3判断函数yx2x1在(1
8、，)上的单调性解：法一：任取 x1，x2(1，)，且 x11，x21，x110，x210，又 x10，x2x1x11x210，即 y1y20y1y2，函数 yx2x1在(1，)上单调递减函数的单调性与最值 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 法二：yx2x11 1x1yx1 在(1，)上是增函数，y 1x1在(1，)上是减函数，y1 1x1在(1，)上是减函数即函数 yx2x1在(1，)上单调递减函数的单调性与最值 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 谨记通法判断或证明函数的单调性的 2 种重要方法及其步骤
9、(1)定义法，其基本步骤：取值作差商变形确定符号与1的大小得出结论(2)导数法，其基本步骤：求导函数确定符号得出结论 函数的单调性与最值 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 典例引领考点二 求函数的单调区间解：(1)由于yx22x1，x0，x22x1，x0，即yx122，x0，x122，x0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)求下列函数的单调区间：(1)yx22|x|1；函数的单调性与最值 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 解：令 ux23x2，则原函数可以看
10、作 ylog 12u 与 ux23x2 的复合函数令 ux23x20，则 x1 或 x2函数 ylog 12(x23x2)的定义域为(，1)(2，)又 ux23x2 的对称轴 x32，且开口向上ux23x2 在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而 ylog 12u 在(0，)上是单调减函数，ylog 12(x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1)(2)ylog 12(x23x2)函数的单调性与最值 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 由题悟法确定函数的单调区间的3种方法提醒 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式
11、表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结函数的单调性与最值 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 即时应用1函数 y|x|(1x)在区间 A 上是增函数，那么区间 A 是()A(，0)B0，12 C0，)D12，解析：y|x|(1x)x1x，x0，x1x，x0 x2x，x0，x2x，x0，x12214，x0，x12214，x0.画出函数的草图，如图由图易知原函数在0，12 上单调递增故选 B答案：B函数的单调性与最值 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 2函数 y13223+
12、1xx 的单调递增区间为()A(1，)B，34C12，D34，解析：令 u2x23x12x34218因为 u2x34218在，34 上单调递减，函数 y13u 在 R上单调递减所以 y13223+1xx 在，34 上单调递增答案：B函数的单调性与最值 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 考点三 函数单调性的应用锁定考向高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值 函数的单调性
13、与最值 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突 破 课 后 三 维 演 练 题点全练角度一：求函数的值域或最值1函数f(x)1x，x1，x22，x1的最大值为_解析：当x1时，函数f(x)1x为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当xx11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab BcbaCacbDbac解析：因f(x)的图象关于直线x1对称由此可得f12f 52 由x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，知f(x)在(1，)上单调递减1252f52 f(e)，bac答案：D 函数的单调性与最值 结 束 课 前 双 基 落 实 课 堂 考 点 突
14、破 课 后 三 维 演 练 解析：由f(x)为R上的减函数且f1x 1，x0，即|x|1，x0.1x0或0 x1故选C答案：C 角度三：解函数不等式3已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f 1x1，若f(x)在(，)上单调递增，则实数a的取值范围为_解析：要使函数f(x)在R上单调递增，则有a1，a20，f10，即a1，a2，a210，解得20，若 f(2x2)f(x)，则实数 x的取值范围是()A(，1)(2，)B(，2)(1，)C(1,2)D(2,1)解析：当 x0 时，两个表达式对应的函数值都为零，函数的图象是一条连续的曲线当 x0 时，函数 f(x)x3 为增函数，当 x0 时，f(x)ln(x1)也是增函数，函数 f(x)是定义在 R 上的增函数因此，不等式 f(2x2)f(x)等价于 2x2x，即 x2x20，解得2x0)在 12，2 上的值域为 12，2，则a_，b_解析：f(x)axb(a0)在12，2 上是增函数，f12 12，f(2)2即2ab12，a2b2，解得a1，b52答案：1 52
