1、专项强化练(十一)直线与圆A组题型一直线的方程1已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值为_解析：由题意可知a0.当x0时，ya2.当y0时，x.所以a2，解得a2或a1.答案：2或12将直线y3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为_解析：将直线y3x绕原点逆时针旋转90得到直线yx，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y(x1)，即x3y10.答案：x3y103若直线y2x10，yx1，yax2交于一点，则a_.解析：直线y2x10与yx1的交点坐标为(9，8)，代入yax2，得8a(9)2，解得a.答案：4点A(1,1)到直线xcos ysin
2、20的距离的最大值为_解析：由点到直线的距离公式，得d2sin，又R，所以dmax2.答案：2临门一脚1求直线方程的一般方法(1)直接法：根据条件，选择适当的直线方程形式，直接写出方程(2)待定系数法：先设出方程，再根据条件求出待定系数2五种直线方程灵活选择，要牢记用斜率首先考虑斜率不存在；用截距要考虑截距为0或不存在的情况，不能出现漏解的情况题型二圆的方程1已知方程x2y22kx4y3k80表示一个圆，则实数k的取值范围是_解析：由(2k)2424(3k8)4(k23k4)0，解得k4.答案：(，1)(4，)2圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是_解析：设圆心为(0，b
3、)，半径为r，则r|b|，所以圆的方程为x2(yb)2b2.因为点(3,1)在圆上，所以9(1b)2b2，解得b5.所以圆的方程为x2(y5)225.答案：x2(y5)2253已知圆x2y22x4ya0关于直线y2xb成轴对称图形，则ab的取值范围是_解析：由题意知，直线y2xb过圆心，而圆心坐标为(1,2)，故b4，圆的方程化为标准方程为(x1)2(y2)25a，所以a5，由此，得ab0.3如果遇到求解与三角形有关的圆的方程，应该研究三角形特征如等边三角形或直角三角形的外接圆和内切圆，更容易用标准式求解题型三直线与圆、圆与圆的位置关系1(2019盐城中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点
4、P在直线l：ykx6(k0)上，过点P作圆O：x2y24的切线，切点分别是A，B，且AB的中点为Q，若OQ1，则k的取值范围为_解析：连接OP，OA，由已知及圆的几何性质知，OP经过点Q，且OAAP，AQOP，所以RtOPARtOAQ，所以，即OA2OPOQ，又OA2，OQ1，所以OP4，所以点O到直线l的距离d4.因为k0，所以k，故k的取值范围为.答案：2(2018镇江高三期末)已知圆C与圆x2y210x10y0相切于原点，且过点A(0，6)，则圆C的标准方程为_解析：由题意可知，圆C的圆心在直线yx上，设圆C的圆心为(a，a)，半径为r，则r2a2a2a2(a6)2，解得a3，所以圆心为
5、(3，3)，r218，圆C的标准方程为(x3)2(y3)218.答案：(x3)2(y3)2183过点P(4,0)的直线l与圆C：(x1)2y25相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为_解析：根据题意，由于(41)25，所以点P在圆C外，过圆心C作CMAB于M，连结AC.易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x4)，即kxy4k0，则CM，AM.又点A恰好是线段PB的中点，所以PM3AM，在RtPMC中，CM2PM2PC2，即25，得180k220，即k，故直线l的方程为x3y40.答案：x3y404在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，点B(1，1)，P为
6、圆x2y22上一动点，则的最大值是_解析：法一：设点P(x，y)，则x2y22，所以，令，则x(21)y320，由题意，直线x(21)y320与圆x2y22有公共点，所以，解得04，所以的最大值为2.法二：当AP不与圆相切时，设AP与圆的另一个交点为D，由条件AB与圆C相切，则ABPADB，所以ABPADB，所以2，所以的最大值为2.答案：2临门一脚1直线与圆的位置关系用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判定较好2涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，计算弦长时，要注意应用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形3根据相交、相切的位置关系求直线方程时，要注意先定性再定量，不能漏解4圆上存
7、在一点的存在性问题可以通过求解动点轨迹转化为位置关系问题B组高考提速练1“a1”是“直线axy2a0与直线(2a1)xaya0互相垂直”的_条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析：两直线互相垂直，a(2a1)(1)a0，即2a22a0，解得a0或a1.答案：充分不必要2经过点P(5，4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是_解析：由题意设所求方程为y4k(x5)，即kxy5k40.由|5k4|5，得k或k，故所求直线方程为8x5y200或2x5y100.答案：8x5y200或2x5y1003圆心在直线2xy70上的圆C与y轴交于两点A(0，4)，B
8、(0，2)，则圆C的方程为_解析：因为圆过A(0，4)，B(0，2)，所以圆心C的纵坐标为3，又圆心C在直线2xy70上，所以圆心C为(2，3)，从而圆的半径为rAC，故所求的圆C的方程为(x2)2(y3)35.答案：(x2)2(y3)354(2019扬州期末)已知直线l：yx4与圆C：(x2)2(y1)21相交于P，Q两点，则CQ_.解析：根据题意知，圆C：(x2)2(y1)21的圆心坐标为(2,1)，半径r1，圆心C到直线l的距离d，则PQ2，则PCQ90，故CQ0.答案：05过坐标原点且与圆x24xy220相切的直线方程为_解析：圆x24xy220的圆心为(2,0)，半径为，易知过原点与
9、该圆相切时，直线有斜率设斜率为k，则直线方程为ykx，则，所以k21，所以k1，所以直线方程为yx.答案：yx6已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为_解析：由题意得C1(1,1)，圆心C2与C1关于直线xy10对称，且半径相等，则C2(2，2)，所以圆C2的方程为(x2)2(y2)21.答案：(x2)2(y2)217已知直线xya0与圆C：(x2)2(y2)24相交于A，B两点，且ABC为等腰直角三角形，则实数a_.解析：由题意得圆的圆心为C(2，2)，半径为2，由ABC为等腰直角三角形可知圆心到直线的距离为，所以，所以a2.答案：28在平面
10、直角坐标系xOy中，若与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围是_解析：由题意知，以A(2,2)为圆心，1为半径的圆与以B(m,0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4(m2)2416，所以22m22，且m2.答案：(22，2)(2,22)9已知A(1,0)，B(2,1)，C(5，8)，ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B到直线l的距离为_解析：设ABC的外接圆的圆心为O(a，b)，线段AB的中点为D，线段BC的中点为E，因为A(1,0)，B(2,1)，C(5，8)，所以D，E，kAB，kBC3，由ODAB，OEBC，得即解得设直线l的斜率为k，
11、则kkOA1，解得k，故直线l的方程为y0(x1)，即3x4y30，故点B到直线l的距离为1.答案：110已知圆C：x2y24x2y200，直线l：4x3y150与圆C相交于A，B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则ABD面积的最大值为_解析：因为圆C的标准方程为(x2)2(y1)225，所以圆心C(2,1)，半径r5，所以圆心C到直线l：4x3y150的距离为d4，所以AB226，因为D为圆C上异于A，B两点的任一点，所以D到直线AB即直线l：4x3y150的距离的最大值为dr9，所以ABD面积的最大值为6927.答案：2711(2019扬州中学模拟)已知点P(x1，y1)为圆C1：(
12、x1)2(y1)24上的动点，Q(x2，y2)为圆C2：(x2)2(y2)216上的动点，则集合M(x，y)|xx1x2，yy1y2表示的平面区域的面积为_解析：法一：由题意知 ，C1(1,1)，C2(2，2)，(x11)2(y11)24，(x22)2(y22)216，(x11，y11)，(x22，y22)因为xx1x2，yy1y2，所以x1(x11)(x22)，y1(y11)(y22)，所以(x1)2(y1)2(x11)(x22)2(y11)(y22)2202(x11)(x22)2(y11)(y22)20220224cos 2016cos 4,36(其中为与的夹角)，所以集合M(x，y)|x
13、x1x2，yy1y2表示的平面区域为以(1，1)为圆心，半径分别为2,6的圆所围成的圆环，则其面积S36432.法二：因为点P(x1，y1)为圆C1：(x1)2(y1)24上的动点，Q(x2，y2)为圆C2：(x2)2(y2)216上的动点，所以可设x112cos ，y112sin ，x224cos ，y224sin ，则xx1x2(12cos )(24cos )12cos 4cos ，yy1y2(12sin )(24sin )12sin 4sin ，所以(x1)2(y1)2(2cos 4cos )2(2sin 4sin )22016cos ()4,36，所以集合M(x，y)|xx1x2，yy
14、1y2表示的平面区域为以(1，1)为圆心，半径分别为2,6的圆所围成的圆环，则其面积S36432.答案：3212已知点P(t,2t)(t0)是圆C：x2y21内一点，直线tx2tym与圆C相切，则直线l：xym0与圆C的位置关系是_解析：由点P(t,2t)(t0)是圆C：x2y21内一点，得|t|1.因为直线tx2tym与圆C相切，所以1，所以|m|1.圆C：x2y21的圆心(0,0)到直线xym0的距离d0)，若对于线段AB上的任意一点P，圆C上都存在不同的两点M，N，满足2，则r的取值范围为_解析：法一：由题意得，线段AB的方程为3xy30(0x1)设P(m，n)(0m1)，N(x，y)，
15、则由2，得M.因为M，N均在圆C上，所以即由题意知，以(3,2)为圆心，r为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，所以rr.又3mn30，所以r210m212m1025r2.令f(m)10m212m10(0m1)，易知f(m)10m212m10在0,1上的值域为，故r2且1025r2，得r2r2，所以r2.综上，r2，故圆C的半径r的取值范围为.法二：过点C作CDMN于点D，设CDd，MN2l，则PD5l，MDl，连接CP，CM，则消去l，得d2，因为0d2r2，所以得r2CP225r2.易得线段AB的方程为3xy30(0x1)，设P(m，n)(0m1)，则3mn30，所以CP2(m3)2(
16、n2)210m212m10，所以r210m212m1025r2对任意的m0,1成立令f(m)10m212m10(0m1)，易知f(m)10m212m10在0,1上的值域为，故r2且1025r2，解得r2r2对任意的m0,1成立，所以r2.综上，r2，故圆C的半径r的取值范围为.答案：14在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2y21，圆M：(xa3)2(y2a)21(a为实数)若圆O与圆M上分别存在点P，Q，使得OQP30，则a的取值范围为_解析：过Q作圆O的切线QR，切点为R，根据圆的切线性质，有OQROQP30；反过来，如果OQR30，则存在圆O上的点P，使得OQP30.所以，若圆O上存在点P，使得OQP30，则OQR30.因为OP1，所以OQ2时不成立，所以OQ2，即点Q在圆面x2y24上又因为点Q在圆M上，所以圆M：(xa3)2(y2a)21与圆面x2y24有公共点，所以OM3.因为OM2(0a3)2(02a)2，所以(0a3)2(02a)29，解得a0.答案：
