1、函数的奇偶性、周期性与对称性考试要求1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用知识梳理1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个xD都有xTD，且f(xT)f(x)，那么函数yf(x)就叫做周期函数，非零
2、常数T叫做这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期常用结论1奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性2函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)3函数对称性常用结论(1)f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)f(x)的图象关于直线xa对称(2)f(ax)f(bx)f(x)的图象关于直线x对称f(ax)f(bx)f(x)的图象关于点对称(3)f(2
3、ax)f(x)2bf(x)的图象关于点(a，b)对称思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)0.()(2)若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则yf(x)g(x)为奇函数()(3)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(kN*)也是函数的一个周期()(4)若函数f(x)满足f(2x)f(2x)，则f(x)的图象关于直线x2对称()教材改编题1下列函数中为偶函数的是()Ayx2sinxByx2cosxCy|lnx|Dy2x答案B解析根据偶函数的定义知偶函数满足f(x)f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为
4、(0，)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数2若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x0,2)时，f(x)2x，则f(2023)_.答案解析f(x)的周期为2，f(2023)f(1)21.3.设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为_答案(2,0)(2,5解析由图象可知，当0x0；当2x5时，f(x)0，又f(x)是奇函数，当2x0时，f(x)0.综上，f(x)0的解集为(2,0)(2,5题型一函数的奇偶性命题点1判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(3)f(x)log2(x)解(1
5、)由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数(2)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数(3)显然函数f(x)的定义域为R，f(x)log2xlog2(x)log2(x)1log2(x)f(x)，故f(x)为奇函数思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数(2)
6、判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立命题点2函数奇偶性的应用例2(1)(2022哈尔滨模拟)函数f(x)x(exex)1在区间2,2上的最大值与最小值分别为M，N，则MN的值为()A2B0C2D4答案C解析依题意，令g(x)x(exex)，显然函数g(x)的定义域为R，则g(x)x(exex)g(x)，即函数g(x)是奇函数，因此，函数g(x)在区间2,2上的最大值与最小值的和为0，而f(x)g(x)1，则有Mg(x)max1，Ng(x)min1，于是得MNg(x)
7、max1g(x)min12，所以MN的值为2.(2)(2021新高考全国)已知函数f(x)x3(a2x2x)是偶函数，则a_.答案1解析方法一(定义法)因为f(x)x3(a2x2x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(x)f(x)对任意的xR恒成立，所以(x)3(a2x2x)x3(a2x2x)对任意的xR恒成立，所以x3(a1)(2x2x)0对任意的xR恒成立，所以a1.方法二(取特殊值检验法)因为f(x)x3(a2x2x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(1)f(1)，所以2a，解得a1，经检验，f(x)x3(2x2x)为偶函数，所以a1.方法三(转化法)由题意知f(x)x3(a2x2x)的定
8、义域为R，且是偶函数设g(x)x3，h(x)a2x2x，因为g(x)x3为奇函数，所以h(x)a2x2x为奇函数，所以h(0)a20200，解得a1，经检验，f(x)x3(2x2x)为偶函数，所以a1.教师备选1已知函数f(x)，则函数f(x)()A既是奇函数也是偶函数B既不是奇函数也不是偶函数C是奇函数，但不是偶函数D是偶函数，但不是奇函数答案C解析由9x20且|6x|60，解得3x3且x0，可得函数f(x)的定义域为x|3x3且x0，关于原点对称，所以f(x)，又f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数，但不是偶函数2若函数f(x)为奇函数，则f(g(1)_.答案1解析f(x)为奇函数且f(
9、1)g(1)，f(1)f(1)(1)1，g(1)1，f(g(1)f(1)1.思维升华(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题跟踪训练1(1)(2021全国乙卷)设函数f(x)，则下列函数中为奇函数的是()Af(x1)1Bf(x1)1Cf(x1)1Df(x1)1答案B解析f(x)1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数yf(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为yf(x1)1.(2)
10、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0，f(x)2x2xa，则a_；当x0时，f(x)_.答案12x2x1解析f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，即1a0，a1.当x0时，f(x)2x2x1，设x0，f(x)2x2(x)12x2x1，又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)2x2x1，f(x)2x2x1.题型二函数的周期性例3(1)(2022重庆质检)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x2)f(x2)，当x(0,2)时，f(x)x2，则f等于()ABC.D.答案A解析由f(x2)f(x2)，知yf(x)的周期T4，又f(x)是定义在R上的奇函数，fff
11、f.(2)函数f(x)满足f(x)f(x2)13，且f(1)2，则f(2023)_.答案解析f(x)f(x2)13，f(x2)，f(x4)f(x)，f(x)的周期为4，f(2023)f(3).教师备选若函数f(x)则f(2023)_.答案1解析当x0时，f(x)f(x1)f(x2)，f(x1)f(x)f(x1)，得，f(x1)f(x2)，f(x)的周期为6，f(2023)f(33761)f(1)f(0)f(1)20211.思维升华(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，
12、进而解决问题跟踪训练2(1)(2022安庆模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2，当1x3时，f(x)x，则f(1)f(2)f(3)f(2023)等于()A336B338C337D339答案B解析因为f(x6)f(x)，所以函数的周期T6，于是f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)(32)21，f(4)f(2)(22)20，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，所以f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)1，而202363371，所以f(1)f(2)f(3)f(2023)33711338.(2)函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且f
13、(x)为定义在R上的奇函数，则f(2021)f(2022)_.答案0解析f(x1)f(x1)，f(x)的周期为2，f(2021)f(2022)f(1)f(0)，又f(x)为定义在R上的奇函数，f(0)0，且f(1)f(1)，又f(x)的周期为2，f(1)f(1)，由得f(1)0，f(2021)f(2022)0.题型三函数的对称性例4(1)(多选)(2022承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2x)f(2x)，且f(x)f(x)，则下列结论正确的是()Af(x)的图象关于直线x2对称Bf(x)的图象关于点(2,0)对称Cf(x)的周期为4Dyf(x4)为偶函数答案ACD解析f
14、(2x)f(2x)，则f(x)的图象关于直线x2对称，故A正确，B错误；函数f(x)的图象关于直线x2对称，则f(x)f(x4)，又f(x)f(x)，f(x4)f(x)，T4，故C正确；T4且f(x)为偶函数，故yf(x4)为偶函数，故D正确(2)已知函数yf(x)2为奇函数，g(x)，且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x6，y6)，则y1y2y6_.答案12解析函数yf(x)2为奇函数，函数yf(x)的图象关于点(0,2)对称，又g(x)2，其图象也关于(0,2)对称，两函数图象交点关于(0,2)对称，则y1y2y63412.延伸探究在本例(2)中，把函数
15、“yf(x)2”改为“yf(x1)2”，把“g(x)”改为“g(x)”，其他不变，求x1x2x6y1y2y6的值解yf(x1)2为奇函数，函数f(x)的图象关于点(1,2)对称，又g(x)2，g(x)的图象也关于点(1,2)对称，则x1x2x6y1y2y6323418.教师备选1函数f(x)lg|2x1|图象的对称轴方程为_答案x解析内层函数t|2x1|的对称轴是x，所以函数f(x)lg|2x1|图象的对称轴方程是x.2已知函数f(x)x3ax2bx1的图象关于点(0,1)对称，且f(1)4，则ab_.答案1解析因为f(x)关于点(0,1)对称，所以f(x)f(x)2，故f(1)f(1)2，即
16、1ab1(1)ab12，解得a0，所以f(x)x3bx1，又因为f(x)3x2b，所以f(1)3b4，解得b1，所以ab1.思维升华(1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题跟踪训练3(1)函数f(x)的周期为6，且f(x2)为偶函数，当x0,2时，f(x)2x1，则f(2025)_.答案1解析f(x)的周期为6，则f(2025)f(3)，又f(x2)为偶函数，f(x)的图象关于直线x2对称，f(3)f(1)1，f(2025)1.(2)(多选)关于函数f(x)sin
17、x有如下四个命题，其中正确的是()Af(x)的图象关于y轴对称Bf(x)的图象关于原点对称Cf(x)的图象关于直线x对称Df(x)的图象关于点(，0)对称答案BCD解析f(x)sinx的定义域为x|xk，kZ，f(x)sin(x)sinxf(x)，f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故A错误，B正确fcosx，fcosx，ff，f(x)的图象关于直线x对称，故C正确又f(x2)sin(x2)sinx，f(x)sinx，f(x2)f(x)，f(x)的图象关于点(，0)对称，故D正确课时精练1如果奇函数f(x)在3,7上单调递增且最小值为5，那么f(x)在区间7，3上()A单调递增且最小值为5B单
18、调递减且最小值为5C单调递增且最大值为5D单调递减且最大值为5答案C解析因为奇函数f(x)在3,7上单调递增且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称，所以f(x)在区间7，3上单调递增且最大值为5.2(2022南昌模拟)函数f(x)的图象()A关于x轴对称B关于y轴对称C关于坐标原点对称D关于直线yx对称答案B解析f(x)3x3x，f(x)3x3x，f(x)f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称3已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(3)2，则f(2021)等于()A2B0C2D4答案A解析依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期
19、为4，且f(3)2，则有f(2021)f(35064)f(3)f(3)2，所以f(2021)2.4(2022宁德模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的xR都有f(x2)f(x)，当x0,2时，f(x)x2axb，则ab等于()A0B1C2D2答案C解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，且x0,2时，f(x)x2axb，所以f(0)b0，f(x)f(x)，又对任意的xR都有f(x2)f(x)，所以f(x2)f(x)，所以函数图象关于直线x1对称，所以1，解得a2，所以ab2.5(多选)已知yf(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()Ayf(|x|) Byf(x)Cyx
20、f(x) Dyf(x)x答案BD解析由奇函数的定义f(x)f(x)验证，A项，f(|x|)f(|x|)，为偶函数；B项，f(x)f(x)f(x)，为奇函数；C项，xf(x)xf(x)xf(x)，为偶函数；D项，f(x)(x)f(x)x，为奇函数可知BD正确6(多选)(2022湖北新高考9N联盟模拟)已知f(x)为R上的偶函数，且f(x2)是奇函数，则()Af(x)的图象关于点(2,0)对称Bf(x)的图象关于直线x2对称Cf(x)的周期为4Df(x)的周期为8答案AD解析f(x)为偶函数，f(x)的图象关于y轴对称，f(x)f(x)，又f(x2)是奇函数，f(x2)f(x2)，f(x2)f(x
21、2)0，f(x8)f(x4)f(x)，函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，f(x)为周期函数且周期为8.7(2022湘豫名校联考)已知f(x)ax2bx1是定义在a1,2a上的偶函数，则ab_.答案解析因为f(x)ax2bx1是定义在a1,2a上的偶函数，则有(a1)2a3a10，则a，同时f(x)f(x)，即ax2bx1a(x)2b(x)1，则有bx0，必有b0.则ab.8已知函数f(x)满足对xR，有f(1x)f(1x)，f(x2)f(x)，当x(0,1)时，f(x)x2mx，若f，则m_.答案解析由f(1x)f(1x)，f(x2)f(x)，知f(x)的图象关于直线x1对称，f(x)的
22、周期为4，fff，m，m.9已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以10，a1)，则f(1)等于()A1B0C1D2答案C解析由已知可得f(1)g(1)a2a21，f(1)g(1)a2a21，因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以f(1)g(1)a2a21，联立解得f(1)1.13(多选)(2022本溪统
23、考)已知定义在R上的奇函数f(x)对xR都有f(x2)f(x)，则下列判断正确的是()Af(x)是周期函数且周期为4Bf(x)的图象关于点(1,0)对称Cf(x)的图象关于直线x1对称Df(x)在4,4上至少有5个零点答案ACD解析对于A选项，因为f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)f(x)，所以函数f(x)的周期为4，故A项正确；对于B选项，因为f(x2)f(x)，且f(x)f(x)，所以f(x2)f(x)，所以f(x)的图象关于直线x1对称，故B项错误；对于C选项，因为f(x2)f(x)，所以f(x)f(x2)，又因为f(x)f(x)，所以f(x2)f(x)，所以f(x)的
24、图象关于直线x1对称，故C项正确；对于D选项，因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)0，因为T4，所以f(4)f(4)0，因为f(x2)f(x)，所以f(02)f(0)0，所以f(2)0，因为T4，所以f(2)0，故D项正确14已知函数f(x)，则f(x)f(1x)_，ffff_.答案11011解析因为f(x)，所以f(x)f(1x)1，设ffffm，则ffffm，得20222m，即m1011，故ffff1011.15(多选)(2022岳阳质检)设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，也叫取整函数令f(x)xx，以下结论正确的有()Af(1.1)0.9B函数f(x)为奇
25、函数Cf(x1)f(x)1D函数f(x)的值域为0,1)答案AD解析对于A，f(1.1)1.11.11.120.9，故A正确对于B，取x1.1，则f(1.1)0.9，而f(1.1)1.11.11.110.1，故f(1.1)f(1.1)，所以函数f(x)不为奇函数，故B错误对于C，f(x1)x1x1x1x1f(x)，故C错误对于D，由C的判断可知，f(x)为周期函数，且周期为1，当0x1时，则当x0时，f(0)000，当0x1时，f(x)xxx0x，当x1时，f(x)11110，故当0x1时，则有0f(x)0，A0)，使得对于任意xR，f(xT)Af(x)成立，则称函数f(x)具有性质P.(1)判断函数yx和ycosx是否具有性质P？(结论不要求证明)(2)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T，A2.已知当x(0，时，f(x)sinx，求函数f(x)在区间，0上的最大值解(1)因为函数yx是增函数，所以函数yx不具有性质P，当A1，T2时，函数ycos x对于任意xR，f(xT)Af(x)成立，所以ycos x具有性质P.(2)设x(，0，则x(0，由题意得f(x)2f(x)sin(x)，所以f(x)sin x，x(，0，由f()2f()，f(0)2f(0)，得f()f()0，所以当x，0时，f(x)sin x，所以当x时，f(x)在，0上有最大值f.17
