1、32复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义Q乘飞机从上海到香港约2.5小时，从香港到台北约4小时，因此从上海经香港转航到台北约6.5小时在两岸同胞的共同努力下，现在实现两岸直航，上海到台北只需约90分钟，比直航前节省约5小时，有关航行节时的多少，体现了实数集内的代数运算复数集内可进行复数的四则运算吗？X1复数的加法与减法(1)复数的加法与减法运算法则设abi和cdi是任意两个复数，我们定义复数的加法、减法如下：(abi)(cdi)(ac)(bd)i，(abi)(cdi)(ac)(bd)i，即两个复数相加(减)就是实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，其结果仍然是一个
2、复数.(2)复数加法的运算律交换律：z1z2z2z1；结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)2复数加减法的几何意义(1)设复数z1，z2对应的向量为，则复数z1z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数，z1z2是连接向量和的终点并指向的向量所对应的复数(2)复平面内的两点间距离公式d|z1z2|(其中z1，z2是复平面内两点Z1和Z2所对应的复数，d为Z1和Z2之间的距离)Y1已知复数z134i，z234i，则z1z2(B)A8iB6C68i D68i解析z1z234i34i(33)(44)i6.2(2019西宁高二检测)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量、对
3、应的复数分别是3i、13i，则对应的复数是(D)A24i B24iC42i D42i解析依题意有，而(3i)(13i)42i，即对应的复数为42i.故选D3复平面内正方形三个顶点分别对应复数z112i，z22i，z312i，则另一个顶点对应的复数为(A)A2i B5iC43i D2i,5i或43i解析方法1：如图所示，利用，或者，求另一顶点对应的复数设复数z1，z2，z3对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为xyi(x，yR)，则(xyi)(12i)(x1)(y2)i，(12i)(2i)13i.，(x1)(y2)i13i，解得故D点对应的复数为2i.方法2：利用正方形的性质
4、：对角线相等且互相垂直平分求解，即正方形的两条对角线的交点是其对称中心设复数z1，z2，z3对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为xyi(x，yR)点A与点C关于原点对称，原点O为正方形的中心，点O也是B与D连线的中点于是(2i)(xyi)0，x2，y1.故点D对应的复数为2i.故选A4在复平面内，点A，B，C分别对应复数z11i，z25i，z333i.以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，求点D对应的复数z4及AD的长解析如图，由复数加减法的几何意义，知，z4z1(z2z1)(z3z1)，z4z2z3z1(5i)(33i)(1i)73i，|AD|z4z1|(73i)(1
5、i)|62i|2.H命题方向1复数的代数形式的加减运算典例1(1)若z12i，z23ai，复数z1z2所对应的点在实轴上，则实数a(C)A2B2C1D1解析z12i，z23ai(aR)，z1z2(2i)(3ai)5(a1)i，z1z2所对应的点在实轴上，1a0，a1.故选C(2)计算：(23i)(5i)；(1i)(1i)；(abi)(2a3bi)3i(a、bR)思路分析直接运用复数的加减法运算法则进行计算解析(23i)(5i)(25)(31)i32i.(1i)(1i)(11)()i0.(abi)(2a3bi)3i(a2a)(b3b3)ia(4b3)i.规律总结复数加、减运算法则的记忆(1)复数
6、的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项提醒：注意运算格式及范围，避免出错(1)在进行复数减法运算时要注意格式，两复数相减所得结果依然是一个复数，其对应的实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差注意中间用“”号，如z1abi，z2cdi，z1z2(ac)(bd)i，而不是z1z2(ac)(bd)i(a，b，c，dR)(2)复数中出现字母时，首先要判断其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与虚部分别相加.跟踪练习1(1)在复平面内，若zm2(1i)m(4i)6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是(D)A(0,3)B(，2)C(2,0
7、)D(3,4)(2)已知复数z11i，z2ti，其中tR，i是虚数单位，若|z1z2|2，求实数t的取值范围解析(1)整理得z(m24m)(m2m6)i，由复数z的对应点在第二象限，则解得3m4.(2)由|z1z2|2，得|(1t)2i|2，即2，即(t1)248，解得3t1.所以t的取值范转围是3,1命题方向2复数加减法及复数模的几何意义典例2如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,32i，24i，试求(1)所表示的复数，所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)对角线所表示的复数及的长度思路分析要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量的相等直接
8、给出所求的结论解析(1)，所表示的复数为32i.，所表示的复数为32i.(2).所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)对角线，它所对应的复数z(32i)(24i)16i，|.规律总结利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论(1)技巧：形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|z2|，则四边形OAC
9、B为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形,跟踪练习2(1)若|z1|z2|1，且|z1z2|，求|z1z2|.(2)设向量及在复平面内分别与复数z153i及复数z24i对应，试计算z1z2，并在复平面内表示出来解析(1)|z1z2|和|z1z2|是以和为两邻边的平行四边形的两条对角线的长如图所示，由|z1|z2|1，|z1z2|，知四边形为正方形，另一条对角线的长|z1z2|.(2)z1z2(53i)(4i)(54)(31)i12i.如图所示，即为z1z2所对应的向量根据复数减法的几何意义：复数z1z2是连接向量，的终点，并指向被减数的向量所对应的复数X综合
10、应用典例3设x0,2)，复数z1cosxisinx对应的点在第一象限中直线yx的左上方，z21i，则|z1z2|的取值范围是(1，).思路分析由x0,2)，复数z1的对应点位于第一象限且在直线yx的左上方可求得x的取值范围；由z1与z2的代数形式及复数加法运算法则可求出z1z2.解析由已知得z1z2(cosx1)(sinx1)i，所以|z1z2|.因为复数z1cosxisinx对应点在第一象限中直线yx的左上方，且x0,2)，所以解得x，所以x，故cos(x)(，0)，所以(1，)，故|z1z2|(1，)规律总结求|z1z2|的取值范围，可利用复数运算法则及模的定义转化为求三角函数值域，要特别
11、注意求值域时x的取值范围不能认定就是0,2)跟踪练习3设复数zabi(a，bR)，1|z|2，则|z1|的取值范围是0,3.解析由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1|z|2表示如图的圆环，而|z1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z11的对应点B(1,0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin0，当A与C(2,0)重合时，dmax3，0|z1|3.Y复数代数形式的几何意义典例4已知：复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应于复数52i，45i,2，求点D对应的复数错解BC，zAzBzDzC，zDzAzBzC(52i)(45i)
12、217i.即点D对应的复数为17i.辨析四个点A，B，C，D构成平行四边形，并不仅有ABCD一种情况，应该还有ABDC和ACBD两种情况正解用错解可求D对应的复数为17i，用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z.图中点D对应的复数为37i，图中点D对应的复数为113i.故点D对应的复数为17i或37i或113i.点评审题要细致，考虑问题要全面，本题中只说四个点A，B，C，D构成平行四边形，并没有限定是ABCD，不要犯思维定势错误K1已知z1abi，z2cdi，若z1z2是纯虚数，则有(A)Aac0且bd0Bac0且bd0Cac0且bd0Dac0且bd0解析z1z2(abi)(cdi)(
13、ac)(bd)i，因为z1z2是纯虚数，所以ac0且bd0.2(ab)(ab)i(ab)(ab)i等于(A)A2b2biB2b2biC2a2bi D2a2ai解析原式(ab)(ab)(ab)(ab)i2b2bi.3如果一个复数与它的模的和为5i，那么这个复数是(C)A BiCi D2i解析设所求的复数为xyi(x，yR)，由题意知xyi5i.(x)yi5i.由复数相等的定义，得解得故所求的复数为i.4已知复数z132i，z213i，则复数zz1z2对应的点位于复平面内的(A)A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析zz1z2(32i)(13i)25i，点(2,5)在第一象限5已知x，yR，i为虚数单位，若1xi(2y)3i，则|xyi|(A)A B3C D解析1xi(2y)3i则|xyi|.
