1、2013年中考数学模拟试题汇编 函数与四边形综合1如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且ABx轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积为 2 。yxOABCD2如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75至OABC的位置.若OB=，C=120，则点B的坐标为（）A. B. C. D. 3如图，直角梯形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（，0）、（2，0）和（2，3），ABCD，C90，CDCB（1）求点D的坐标；（2）抛物线yax2bxc过原点O与点（7，1），且对称轴为过点（4，3）与y轴平行的直线，求抛物线的函数关系式；（3）在（2）中
2、的抛物线上是否存在一点P，使得PAPBPCPD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）D（1，3）（2分）（2）设抛物线解析式为yax2bxc由题意得：， yx2x（5分）（3）显然AC、BD的交点Q满足QAQBQCQD最小， 直线AC的解析式为y2x1，（6分）直线BD的解析式为yx2，（7分） Q（1，1）（8分）当x1时，yx2x1， 点Q在此抛物线上，（9分） 存在点P（1，1）使得PAPBPCPD最小（10分）4如图，OB是矩形OABC的对角线，抛物线yxx6经过B、C两点(1)求点B的坐标；(2)D、E分别是OC、OB上的点，OD5，OE2EB，过D、E的直线交
3、轴于F，试说明OE DF；(3)若点M是(2)中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由yxABCDEOFMNP图2图1yxABCDEOFGMNPyxABCDEOF解：（1）设x0，则y6，则点C的坐标为（0，6），1分，又矩形OABC，则BCx轴，抛物线yxx6过B、C两点，则B、C两点关于抛物线的对称轴x对称，2分B点坐标为(3，6) 3分 (2) 如图1，作EGx轴于点G，则EG/BA， OEGOBH，又OE2EB， ，OG2，EG4，点E的坐标为(2，4)4分又点D的坐标为(0，5
4、)，设直线DE的解析式为ykx+b，则，解得k，b5直线DE的解析式为：yx+5，5分设y0，则x10，则OF10，GFOFOG8，又OGEEGF90，OGEEGF，EOGFEGFEOFEGOEGEOGOEG907分其他证法酌情给分 (3) 答：存在 j 如图1，当ODDMMNNO5时，四边形ODMN为菱形作MPy轴于点P，则MP/x轴，MPDFOD， 又OF10 在RtODF中，FD5， ， MP2，PD点M的坐标为(-2，5+) 点N的坐标为(-2，) k 如图2，当ODDNNMMO5时，四边形ODNM为菱形延长NM交x轴于点P，则MPx轴yxABCDEOFMNP图3 点M在直线yx+5上
5、，设M点坐标为 (a，a+5)，在RtOPM中，OP 2+PM 2OM 2， a2+(a+5)252，解得a14，a20(舍去)， 点M的坐标为(4，3)，点N的坐标为(4，8) l 如图3，当OMMDDNNO时，四边形OMDN为菱形连接NM，交OD于点P，则NM与OD互相垂直平分，yMyNOP，-xM+5，xM5， xN -xM -5，点N的坐标为(-5，) 综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为N1(-2，)， N2(4，8)，N3(-5，)10分（每个1分）5如图，四边形是平行四边形，抛物线过三点，与轴交于另一点.一动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿向点运动，运动到点停止，同时一动点
6、从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点运动，与点同时停止.（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与交于点，与轴交于点，当点运动时间为何值时，四边形是等腰梯形？（3）当为何值时，以为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？解：（1）四边形是平行四边形， 抛物线过点，由题意，有解得 所求抛物线的解析式为（2）将抛物线的解析式配方，得抛物线的对称轴为欲使四边形为等腰梯形，则有 （3）欲使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似，有或即或若在轴的同侧.当时，=，当时，即解得 若在轴的异侧.当时，当时，即.解得.故舍去. 当或或或秒时，以为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似. 6已知抛物线（
7、）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则； (2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点恰好落在抛物线上，与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.第（2）题xyBCODAMNNxyBCOAMN备用图（1）（2）由题意得点与点关于轴对称，将的坐标代入得，（不合题意，舍去），.，点到轴的距离为3.， ，直线的解析式为，它与轴的交点为点到轴的距离为.（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，把向上平移个单位
8、得到，坐标为，代入抛物线的解析式，得： （不舍题意，舍去），.当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分， 与关于原点对称，将点坐标代入抛物线解析式得：，（不合题意，舍去），存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形7如图14（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，）图14（2）、图14（3）为解答备用图（1），点A的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；图14（1）图14（2）图14（3）（4）在抛物线上求点Q，使
9、BCQ是以BC为直角边的直角三角形解：（1），（-1，0），B（3，0）（2）如图14（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM 则 AOC的面积=，MOC的面积=，MOB的面积=6， 四边形 ABMC的面积=AOC的面积+MOC的面积+MOB的面积=9说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和（3）如图14（2），设D（m，），连结OD则 0m3， 0 且 AOC的面积=，DOC的面积=， 图14（2）DOB的面积=-（）， 四边形 ABDC的面积=AOC的面积+DOC的面积+DOB的面积= 存在点D，使四边形ABDC的面积最大为 （
10、4）有两种情况：图14（3） 图14（4）如图14（3），过点B作BQ1BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C CBO=45，EBO=45，BO=OE=3 点E的坐标为（0，3） 直线BE的解析式为12分由 解得 点Q1的坐标为（-2，5）13分如图14（4），过点C作CFCB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2 CBO=45，CFB=45，OF=OC=3 点F的坐标为（-3，0） 直线CF的解析式为14分由 解得 点Q2的坐标为（1，-4）综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使BCQ1、BCQ2是以BC为直角边的直角三角形8已知：如图所示，关于的抛物线
11、与轴交于点、点，与轴交于点（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的解析式；BAOCyx（第26题图）（3）在（2）中的直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点是否存在以为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由BAOCyx第26题图Q4Q3Q1Q2P3P1P2DCP4解：（1）根据题意，得，解得抛物线的解析式为，顶点坐标是（2，4）（2），设直线的解析式为直线经过点点 （3）存在，图 189.如图18，抛物线F：的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B过点P作P
12、Dx轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F：，抛物线F与x轴的另一个交点为C当a = 1，b=2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；若a、b、c满足了求b：b的值；探究四边形OABC的形状，并说明理由1） C（3，0）；（2）抛物线，令=0，则=， A点坐标（0，c）， ，点P的坐标为（） PD轴于D，点D的坐标为（）根据题意，得a=a，c= c，抛物线F的解析式为又抛物线F经过点D（），又，b:b=由得，抛物线F为令y=0，则 点D的横坐标为点C的坐标为（）设直线OP的解析式为点P的坐标为（），点B是抛物线F与直线OP的交点，点P的横坐标为，点B的横坐标为把代入，得点B
13、的坐标为BCOA，ABOC（或BCOA，BC =OA），四边形OABC是平行四边形又AOC=90，四边形OABC是矩形 10如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于AB两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及BD两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点AP、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出M点的坐标解：（1）当y=0时，x2+2x+3=0，解得x1
14、=1，x2=3。 点A在点B的左侧，AB的坐标分别为（1，0），（3，0）。当x=0时，y=3。C点的坐标为（0，3）。设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k10），则，解得。直线AC的解析式为y=3x+3。y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点D的坐标为（1，4）。（2）抛物线上有三个这样的点Q。如图，当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，3）；当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1，3）。综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，3），Q3（1，3）。（3）点B作BBAC于点F，使BF=BF，则B为点B关于直线AC 的对称点连接BD交直线AC与点M，则点M为所求。过点B作BEx轴于点E。1和2都是3的余角，1=2。RtAOCRtAFB。由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，AC=，AB=4。，解得。BB=2BF=，由1=2可得RtAOCRtBEB，。BE=，BE=。OE=BEOB=3=B点的坐标为（，）。设直线BD的解析式为y=k2x+b2（k20），则，解得。直线BD的解析式为：。联立BD与AC的直线解析式可得：，解得。M点的坐标为（）。11
