1、1.向量的夹角已知两个非零向量 a 和 b，作OA a，OB b，则AOB 就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是0，.2.平面向量的数量积定义设两个非零向量 a，b 的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积，记作 ab 几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积3.平面向量数量积的性质设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，为 a 与 b(或 e)的夹角.则(1)eaae|a|cos.(2)abab0.(3)当 a 与 b 同向时，ab|a|b|；当 a 与 b 反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2 或
2、|a|aa.(4)cos ab|a|b|.(5)|ab|a|b|.4.平面向量数量积满足的运算律(1)abba；(2)(a)ba(b)(ab)ab(为实数)；(3)(ab)cacbc.5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2，由此得到(1)若 a(x，y)，则|a|2x2y2 或|a|x2y2.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点间的距离 AB|AB|x2x12y2y12.(3)设两个非零向量 a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y20.(4)若 a，b 都是非零向量，是 a
3、与 b 的夹角，则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22.【知识拓展】1.两个向量 a，b 的夹角为锐角ab0 且 a，b 不共线；两个向量 a，b 的夹角为钝角ab0)，以向量AB，AD 为基底，在ABCD 中，ABm，AD2，BAD60，则AEBD(AD 12AB)(AD AB)AD 212ABAD 12AB 2412m12m2，因为AEBD 1，得 m2m60，因为 m0，所以 m2，所以BD BEBD(BCCE)(AD AB)(AD 12AB)AD 232ABAD 12AB 24323，故BD BE3.(2)方法一 以射线 AB，AD 为 x 轴，y 轴的正方
4、向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设 E(t,0)，t0,1，则DE(t，1)，CB(0，1)，所以DE CB(t，1)(0，1)1.因为DC(1,0)，所以DE DC(t，1)(1,0)t1，故DE DC 的最大值为 1.方法二 由图知，无论 E 点在哪个位置，DE 在CB方向上的投影都是 CB1，DE CB|CB|11，当 E 运动到 B 点时，DE 在DC 方向上的投影最大，即为 DC1，(DE DC)max|DC|11.思维升华 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 ab|a|b|cosa，b.(2
5、)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.(1)(2016 全国丙卷改编)已知向量BA 12，32，BC 32，12，则ABC_.(2)(2015四川改编)设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB|6，|AD|4，若点 M，N 满足BM 3MC，DN 2NC，则AM NM _.答案(1)30(2)9解析(1)|BA|1，|BC|1，cosABC BABC|BA|BC|32，又0ABC180，ABC30.(2)AM AB34AD，NM CM CN 14AD 13AB，AM NM 14(4AB3AD)
6、112(4AB3AD)148(16AB 29AD 2)148(1662942)9.题型二 平面向量数量积的应用命题点 1 求向量的模例 2(1)(2016南京、盐城调研)在ABC 中，A120，AB4.若点 D 在边 BC 上，且BD 2DC，AD2 73，则 AC 的长为_.答案 3解析 令 ACb，由题意得ABAC4bcos 1202b，因为点 D 在边 BC 上，且BD 2DC，所以AD ABBD AB23BCAB23(ACAB)13AB23AC，从而AD 2(13AB23AC)2，又因为 AD2 73，所以289 169 4b29 8b9，整理得 b22b30，解之得 b3(b1 舍去
7、)，即 AC 的长为 3.(2)(2016江苏启东中学阶段测试)已知向量 a，b，c 满足 abc0，且 a 与 b 的夹角等于 150，b 与 c 的夹角等于 120，|c|2，求|a|，|b|.解 由 abc0，得abc，bcaa2b22abc2，b2c22bca2，|a|2|b|22|a|b|cos 1504，|b|2422|b|cos 120|a|2，解之得|a|2 3，|b|4.命题点 2 求向量的夹角例 3(1)(2016南京、盐城调研)已知向量 a，b 满足 a(4，3)，|b|1，|ab|21，则向量 a，b 的夹角为_.(2)若向量 a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，
8、已知 2a3b 与 c 的夹角为钝角，则 k 的取值范围是_.答案(1)3(2)，92 92，3解析(1)设向量 a，b 的夹角为，由|ab|21得，21(ab)2a2b22ab25110cos，即 cos 12，所以向量 a，b 的夹角为3.(2)2a3b 与 c 的夹角为钝角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，4k660，k3.又若(2a3b)c，则 2k312，即 k92.当 k92时，2a3b(12，6)6c，即 2a3b 与 c 反向.综上，k 的取值范围为，92 92，3.思维升华 平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos ab|a|b|，要注意 0，
9、.(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2 或|a|aa.|ab|ab2 a22abb2.若 a(x，y)，则|a|x2y2.(1)(2015湖北)已知向量OA AB，|OA|3，则OA OB _.(2)在ABC 中，若 A120，ABAC1，则|BC|的最小值是_.答案(1)9(2)6解析(1)因为OA AB，所以OA AB0.所以OA OB OA(OA AB)OA 2OA AB|OA|20329.(2)ABAC1，|AB|AC|cos 1201，即|AB|AC|2，|BC|2|ACA
10、B|2AC 22ABACAB 22|AB|AC|2ABAC6，|BC|min 6.题型三 平面向量与三角函数例 4(2016南通调研)已知ABC 是锐角三角形，向量 m(cos(A3)，sin(A3)，n(cos B，sin B)，且 mn.(1)求 AB 的值；(2)若 cos B35，AC8，求 BC 的长.解(1)因为 mn，所以 mncos(A3)cos Bsin(A3)sin Bcos(A3B)0.又 A，B(0，2)，所以 A3B(6，56)，所以 A3B2，即 AB6.(2)因为 cos B35，B(0，2)，所以 sin B45.所以 sin Asin(B6)sin Bcos
11、6cos Bsin 645 32 35124 3310.由正弦定理，得 BCsin Asin BAC4 33104584 33.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.在ABC 中，已知 C6，m(sin A,1)，n(1，cos B)，且 mn.(1)求 A 的值；(2)若点 D 在边 BC 上，且 3BD BC，AD 13，求
12、ABC 的面积.解(1)由题意知 mnsin Acos B0，因为 C6，ABC，所以 sin Acos(56 A)0，即 sin A 32 cos A12sin A0，即 3sin(A6)0.又 0A56，所以 A6(6，23)，所以 A60，即 A6.(2)设|BD|x，由 3BD BC，得|BC|3x，由(1)知 AC6，所以|BA|3x，B23.在ABD 中，由余弦定理，得(13)2(3x)2x223xxcos 23，解得 x1(舍负)，所以 ABBC3.所以 SABC12BABCsin B1233sin 23 9 34.5.利用数量积求向量夹角典例 已知直线 y2x 上一点 P 的横
13、坐标为 a，直线外有两个点 A(1,1)，B(3,3).求使向量PA与PB夹角为钝角的充要条件.错解展示现场纠错解 错解中，cos 0 包含了，即PA，PB反向的情况，此时 a1，故PA，PB夹角为钝角的充要条件是 0a0)的图象上任意一点，过 M 点向直线 yx 和 y 轴作垂线，垂足分别是 A，B，则MA MB _.答案 2解析 设 M(x0，y0)为函数 f(x)x24x(x0)的图象上任意一点，由题设知 B(0，y0)，A(x0y02，x0y02)，从而MA(y0 x02，x0y02)，MB(x0,0)，故MA MB x20 x0y02，因为 M(x0，y0)为函数 f(x)x24x(
14、x0)的图象上任意一点，所以 x0y0 x204，从而有MA MB x20 x0y0242 2.12.(2016苏北四市调研)已知|OA|OB|2，且OA OB 1，若点 C 满足|OA CB|1，则|OC|的取值范围是_.答案 61，61解析 因为OA OB|OA|OB|cosOA，OB 1，|OA|OB|2，所以 cosOA，OB 12，所以OA，OB 3，以 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则 O(0,0)，A(2，0)，B(22，62).令OP OA OB(3 22，62)，则|OP|6，因为|OA CB|OA OB OC|OP OC|1，所以点 C 的运
15、动轨迹是以点 P 为圆心，1 为半径的圆，而|OP|6，则|OC|的取值范围为 61，61.13.(2016江苏如东中学质检)在ABC 中，B4，D 是边 BC 上一点，AD5，CD3，AC7.(1)求ADC 的值；(2)求BADA 的值.解(1)在ADC 中，由余弦定理得AD2CD22ADCDcosADCAC2，5232253cosADC72，所以 cosADC12.又因为 0ADC，所以ADC23.(2)由(1)得ADB3.在ABD 中，由正弦定理ADsinABDABsinADB，得 ABADsinABDsinADB5 62.所以BADA 5 62 5cos(43)253 34.14.在A
16、BC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2sin2AB2cos 2C1.(1)求角 C 的大小；(2)若向量 m(3a，b)，向量 n(a，b3)，mn，(mn)(mn)16，求 a，b，c 的值.解(1)2sin2AB2cos 2C1，cos 2C12sin2AB2cos(AB)cos C，2cos2Ccos C10，cos C12或 cos C1，C(0，)，C3.(2)mn，3a2b23 0，即 b29a2.又(mn)(mn)16，8a28b29 16，即 a2b29 2，由可得 a21，b29，a1，b3，又 c2a2b22abcos C7，c 7，a1，b3，c 7.
