1、2016-2017学年上海外国语大学附中高二（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1若等差数列an中有a6+a9+a12+a15=20，则其前20项和等于2前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是3在等差数列an中，a1=45，a3=41，则前n项的和Sn达到最大值时n的值是4公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一等比数列，该等比数列的公比q=5设Sn使等比数列an的前n项和，若S3=3a3，则公比q=6数列an中，a3=2，a7=1，又数列是等差数列，则a1=7已知数列an的通项公式an=112n，Sn=|a1|+|a2|+|an|，则S10=8一
2、个项数为偶数的等差数列，其奇数项之和为24，偶数项之和为30，最后一项比第一项大，则最后一项为9已知an=an1an2（n3），a1=1，a2=2，a2016=10已知x、y、x+y成等差数列，x、y、xy成等比数列，且0logmxy1，则实数m的取值范围是11用数学归纳法证明命题：1+2+3+（n1）+n+（n1）+3+2+1=n2，当从k到k+1时左边增加的式子是12从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%13数列an满足a1=2016，前n项和Sn=（1+2+n）an，对任意nN
3、*成立，则a2015=14若an0，a1=2，且an+an1=+2（n2），则+=二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）15设等差数列的首项为a，公差为d，则它含负数项且只有有限个负数项的条件是（）Aa0，d0Ba0，d0Ca0，d0Da0，d016已知数列an中，（nN+），则在数列an的前50项中最小项和最大项分别是（）Aa1，a50Ba1，a8Ca8，a9Da9，a5017等比数列前n项和为Sn，有人算得S1=27，S2=63，S3=109，S4=175，后来发现有一个数算错了，错误的是（）AS1BS2CS3DS418已知等比数列an满足an0，n=1，2，且a5a2n5=22n
4、（n3），则当n1时，log2a1+log2a3+log2a2n1=（）An（2n1）B（n+1）2Cn2D（n1）2三、解答题：共46分19已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数20求和：Sn=+，并用数学归纳法证明21某企业投资1千万元用于一个高科技项目，每年可获利25%由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率经过多少年后，该项目的资金可以达到4倍的目标？22设数列an的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn（2t+3）Sn1=3t（t0，n=2，3，4）（1）求证：数
5、列an是等比数列；（2）设数列an的公比为f（t），作数列bn，使，求数列bn的通项bn；（3）求和：b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+123如图，平面直角坐标系中，射线y=x（x0）和y=0（x0）上分别依次有点A1、A2，An，和点B1，B2，Bn，其中，且，（n=2，3，4）（1）用n表示|OAn|及点An的坐标；（2）用n表示|BnBn+1|及点Bn的坐标；（3）写出四边形AnAn+1Bn+1Bn的面积关于n的表达式S（n），并求S（n）的最大值2016-2017学年上海外国语大学附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题3
6、分，满分42分）1若等差数列an中有a6+a9+a12+a15=20，则其前20项和等于100【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质【分析】由等差数列an中有a6+a9+a12+a15=20，知a1+a20=10，由此能求出其前20项和【解答】解：等差数列an中，a6+a9+a12+a15=2（a1+a20）=20，a1+a20=10，=1010=100故答案为：1002前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是765【考点】数列的求和【分析】前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，100，此数列是公差为7的等差数列，利用求和公式即可得出【解答】解：前100个正整数中，
7、除以7余数为2的所有数为：2，9，100，此数列是公差为7的等差数列令100=2+7（n1），解得n=15前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和=765故答案为：7653在等差数列an中，a1=45，a3=41，则前n项的和Sn达到最大值时n的值是23【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的通项公式可得公差d，令an0，解得n即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a1=45，a3=41，45+2d=41，解得d=2an=452（n1）=472n令an0，解得n=23+则前n项的和Sn达到最大值时n的值是23故答案为：234公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一等
8、比数列，该等比数列的公比q=3【考点】等比数列；等差数列【分析】设出等差数列的首项为a，公差为d，根据等差数列的通项公式分别表示出第2，3，6项，根据等比数列的性质列出关于a与d的等式，由d不为0得到d与a的关系式，用a表示出d，代入表示出的第2，3，6项，此三项可以用a表示，然后根据等比数列的性质可用第3项除以第2项即可求出公比q的值【解答】解：设等差数列的首项为a，公差为d（d不为0），则等差数列的第2，3，6项分别为a+d，a+2d，a+5d，则（a+2d）2=（a+d）（a+5d），即d2+2ad=0，d0，在等式两边同时除以d得：d=2a，等差数列的第2，3，6项分别为：a，3a，9
9、a，公比q=3故答案为：35设Sn使等比数列an的前n项和，若S3=3a3，则公比q=1或【考点】等比数列的前n项和【分析】当公比q=1时，符合题意；当公比q1时，由已知可得2q2q1=0，解之即可【解答】解：当公比q=1时，an=a1，故S3=3a1=3a3，符合题意；当公比q1时，S3=3a1q2，即2q2q1=0，解之可得q=，或q=1（舍去）综上可得，q=1或，故答案为：1或6数列an中，a3=2，a7=1，又数列是等差数列，则a1=3【考点】等差数列的性质【分析】由a3=2，a7=1求出等差数列的公差，再代入通项公式求出，可求出a1【解答】解：因为数列是等差数列，且a3=2，a7=1
10、，所以=， =，=，设公差为d，则4d=，故d=，所以=+（n3）d=+（n3）=，故an=，所以a1=3故答案是：37已知数列an的通项公式an=112n，Sn=|a1|+|a2|+|an|，则S10=50【考点】数列的函数特性【分析】由数列的通项公式得到数列的首项和公差，再由通项大于等于0解出数列的前5项为正数，从第6项起为负数，则Sn=|a1|+|a2|+|an|可求【解答】解：由an=112n0，得，数列an的前5项为正数，从第6项起为负数，又由an=112n，得a1=9，an+1an=112（n+1）11+2n=2，数列an是首项为9，公差为2的等差数列则Sn=|a1|+|a2|+|
11、an|=（a1+a2+a5）（a6+a7+a10）=（a1+a2+a10）+2（a1+a2+a5）=S10+2S5=（10990）+2（5920）=50故答案为：508一个项数为偶数的等差数列，其奇数项之和为24，偶数项之和为30，最后一项比第一项大，则最后一项为12【考点】等差数列的通项公式【分析】根据等差数列的性质建立方程即可得到结论【解答】解：设等差数列an项数为2n，末项与首项的差为，a2na1=（2n1）d=，S奇=24，S偶=30，S偶S奇=3024=6=nd，解得d=；n=4，即项数是8a1+a3+a5+a7=24，4a1+12d=24a8=12故答案为：129已知an=an1a
12、n2（n3），a1=1，a2=2，a2016=1【考点】数列递推式【分析】由a1=1，a2=2，an=an1an2（n3），求得a3，a4，a5，a6，a7，可知数列an是以6为周期的周期数列，a2016=a3366=a6=1【解答】解：由a1=1，a2=2，an=an1an2（n3），得a3=a2a1=21=1，a4=a3a2=12=1，a5=a4a3=11=2，a6=a5a4=2（1）=1，a7=a6a5=1（2）=1，由上可知，数列an是以6为周期的周期数列，则a2016=a3366=a6=1故答案为：110已知x、y、x+y成等差数列，x、y、xy成等比数列，且0logmxy1，则实数
13、m的取值范围是m8【考点】等差数列的通项公式【分析】由条件可得y=2x，y=x2，由此求得x=2，y=4，xy=8，从而得到0logm81，则答案可求【解答】解：x、y、x+y成等差数列，2y=2x+y，即y=2xx、y、xy成等比数列，y2=x2y，即y=x2综上可得，x=2，y=4，xy=8再由0logmxy1，可得 0logm81，m8故答案为：m811用数学归纳法证明命题：1+2+3+（n1）+n+（n1）+3+2+1=n2，当从k到k+1时左边增加的式子是2k+1【考点】数学归纳法【分析】分别计算当n=k时，以及n=k+1时，观察计算即可【解答】解：从n=k到n=k+1时，左边添加的
14、代数式为：k+1+k=2k+1故答案为：2k+112从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒4次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%【考点】等比数列的通项公式【分析】设开始的浓度为1，操作1次后的浓度为a1=1，操作n次后的浓度为an，则an+1=an（1），利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：设开始的浓度为1，操作1次后的浓度为a1=1，操作n次后的浓度为an，则an+1=an（1），数列an构成a1=1为首项，q=1为公比的等比数列，an=（1）n，即第n次操作后溶液的浓度为（1）n；当a=2时，可得an=（1）
15、n=，由an=（）n，解得n4至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%故答案为：413数列an满足a1=2016，前n项和Sn=（1+2+n）an，对任意nN*成立，则a2015=【考点】数列递推式【分析】由前n项和Sn=（1+2+n）an=an，可得n2时，an=SnSn，化为： =利用“累乘求积”即可得出【解答】解：前n项和Sn=（1+2+n）an=an，n2时，an=SnSn=an，化为： =an=a1=2016=a2015=故答案为：14若an0，a1=2，且an+an1=+2（n2），则+=【考点】数列的求和【分析】an+an1=+2（n2），取分母化为：=n利用“累加求和”可得，再
16、利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：an+an1=+2（n2），=n+2（anan1），化为：=n=+=n+（n1）+2+1=2+=2+=2=故答案为：二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）15设等差数列的首项为a，公差为d，则它含负数项且只有有限个负数项的条件是（）Aa0，d0Ba0，d0Ca0，d0Da0，d0【考点】等差数列的性质【分析】先利用反证法证明d大于0，方法为：假设d小于0，由首项为a，公差为d，利用等差数列的通项公式表示出此数列的通项，假设ak小于0，则n大于k时，后面的项都为负数，这就与此数列只有负数项矛盾，故d不能小于0，得到d大于0，再根据此数列含有负数项，
17、首项a必须小于0，从而得到满足题意的条件【解答】解：若d0，由等差数列的通项公式得：an=a+（n1）d，此时设ak0，则nk时，后面的项都为负数，与只有有限个负数项矛盾，d0，又数列有负数项，a0，则满足题意的条件是a0，d0故选C16已知数列an中，（nN+），则在数列an的前50项中最小项和最大项分别是（）Aa1，a50Ba1，a8Ca8，a9Da9，a50【考点】数列的函数特性【分析】令=1+，根据，我们易判断数列各项的符号及单调性，进而得到答案【解答】解： =1+，（nN+），数列的前8项小于1且递减，从第9项开始大于1且递减，故数列an的前50项中最小项和最大项分别是a8，a9故选
18、C17等比数列前n项和为Sn，有人算得S1=27，S2=63，S3=109，S4=175，后来发现有一个数算错了，错误的是（）AS1BS2CS3DS4【考点】等比数列的前n项和【分析】由已知可得：a1=27，a1+a2=a1（1+q）=63，a1+a2+a3=a1（1+q+q2）=109，a1+a2+a3+a4=a1（1+q+q2+q3）=175，不妨假设第一个与第二个等式成立，解得a1=27，q=，经过验证即可判断出结论【解答】解：由已知可得：a1=27，a1+a2=a1（1+q）=63，a1+a2+a3=a1（1+q+q2）=109，a1+a2+a3+a4=a1（1+q+q2+q3）=17
19、5，不妨假设第一个与第二个等式成立，解得a1=27，q=，经过验证第四个等式成立，第三个等式不成立，因此：算错的这个数是S3，故选：C18已知等比数列an满足an0，n=1，2，且a5a2n5=22n（n3），则当n1时，log2a1+log2a3+log2a2n1=（）An（2n1）B（n+1）2Cn2D（n1）2【考点】等比数列的性质【分析】先根据a5a2n5=22n，求得数列an的通项公式，再利用对数的性质求得答案【解答】解：a5a2n5=22n=an2，an0，an=2n，log2a1+log2a3+log2a2n1=log2（a1a3a2n1）=log221+3+（2n1）=log2
20、=n2故选：C三、解答题：共46分19已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数【考点】等差数列的性质；等比数列的性质【分析】先根据题意设出这四个数，进而根据前三个数和为19列出方程求得d，则四个数可得【解答】解：依题意可设这四个数分别为：，4d，4，4+d，则由前三个数和为19可列方程得，整理得，d212d+28=0，解得d=2或d=14这四个数分别为：25，10，4，18或9，6，4，220求和：Sn=+，并用数学归纳法证明【考点】数学归纳法；数列的求和【分析】利用条件计算S1，S2，S3，由此推测Sn的计算公式；利用归纳法进行证明，检验n=1时等式
21、成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立【解答】解：S1=，S2=，S3=猜想：Sn=n=1时，S1成立；假设n=k时，猜想成立，即Sk=，则n=k+1时，Sk+1=+=，n=k+1时猜想也成立根据可知猜想对任何nN*都成立21某企业投资1千万元用于一个高科技项目，每年可获利25%由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率经过多少年后，该项目的资金可以达到4倍的目标？【考点】函数模型的选择与应用【分析】设第n年终资金为an万元，由题意可得an=（1+25%）an1200（n2），变形整理可得：an800=（an
22、1800），利用等比数列的通项公式可得an，进而得出【解答】解：设第n年终资金为an万元，由题意可得an=（1+25%）an1200（n2），变形整理可得：an800=（an1800），故an800构成一个等比数列，a1=1000（1+25%）200=1050，a1800=250，an800=250，令an4000，得16，两边取对数可得：n13，故至少要13年才能达到目标22设数列an的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn（2t+3）Sn1=3t（t0，n=2，3，4）（1）求证：数列an是等比数列；（2）设数列an的公比为f（t），作数列bn，使，求数列bn的通项bn；（3）求和
23、：b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）通过3tSn（2t+3）Sn1=3t与3tSn1（2t+3）Sn2=3t作差、整理得（n=2，3，），进而可得结论；（2）通过（1）可知bn=f+bn1，即数列bn是一个首项为1、公差为的等差数列，进而即得结论；（3）通过bn=可知数列b2n1和b2n是首项分别为1和、公差均为的等差数列，并项取公因式，计算即得结论【解答】（1）证明：a1=S1=1，S2=1+a2，a2=又3tSn（2t+3）Sn1=3t 3tSn1（2t+3）Sn2=3t 得：3tan（2t+3）an1=0
24、，（n=2，3，）an是一个首项为1、公比为的等比数列；（2）解：f（t）=，bn=f+bn1数列bn是一个首项为1、公差为的等差数列bn=1+（n1）=；（3）解：bn=，数列b2n1和b2n是首项分别为1和，公差均为的等差数列，于是b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1=b2（b1b3）+b4（b3b5）+b6（b5b7）+b2n（b2n1+b2n+1）=（b2+b4+b2n）=（2n2+3n）23如图，平面直角坐标系中，射线y=x（x0）和y=0（x0）上分别依次有点A1、A2，An，和点B1，B2，Bn，其中，且，（n=2，3，4）（1）用n表示|OAn|及点An的坐标；（2）用n表示|BnBn+1|及点Bn的坐标；（3）写出四边形AnAn+1Bn+1Bn的面积关于n的表达式S（n），并求S（n）的最大值【考点】数列与解析几何的综合；数列递推式【分析】（1）由，能求出（2）由，知，由此能用n表示|BnBn+1|及点Bn的坐标（3）由，写出四边形AnAn+1Bn+1Bn的面积关于n的表达式S（n），并求出S（n）的最大值【解答】解：（1）（2），（3），n4时，S（n）单调递减又，n=2或3时，S（n）取得最大值2016年12月29日
