1、北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）20143一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分（1）复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（2）已知集合，集合，则（ ）A B C D （3）已知平面向量，满足，则与的夹角为（ ）A B C D （4）如图，设区域，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域的概率为（ ）A B C D （5）在中，则“”是“”的（ ）i=1,S=10i4？开始结束是否i=i+1输出SS=S （第6题图）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件（6
2、）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）ABCD（7）已知函数下列命题：函数的图象关于原点对称； 函数是周期函数；当时，函数取最大值； 函数的图象与函数的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ）A B C D（8）直线与圆交于不同的两点，且，其中是坐标原点，则实数的取值范围是（ ）A BC D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卡上（9）在各项均为正数的等比数列中，则该数列的前4项和为 （10）在极坐标系中，为曲线上的点，为曲线上的点，则线段长度的最小值是 1正视图侧视图俯视图111（11）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为 ；表面积为 （12）双
3、曲线的一个焦点到其渐近线的距离是，则 ；此双曲线的离心率为 （13）有标号分别为1，2，3的红色卡片3张，标号分别为1，2，3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内（如图）若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为 （用数字作答）（14）如图，在四棱锥中，底面底面为梯形，若点是线段上的动点，则满足的点的个数是 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15）（本小题满分13分）已知函数，（）求的值及函数的最小正周期；（）求函数在上的单调减区间（16）（本小题满分13分）某单位从一所学校招收某类特殊人才对位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑
4、思维能力运动协调能力的测试，其测试结果如下表：逻辑思维能力一般良好优秀一般良好优秀例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有人由于部分数据丢失，只知道从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为（I）求，的值；（II）从参加测试的位学生中任意抽取位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；（III）从参加测试的位学生中任意抽取位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随机变量的分布列及其数学期望（17）（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面为等腰直角三角形，且 ，分别为底边和侧棱的中点AEBCDP
5、F（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的余弦值（18）（本小题满分13分）已知函数，（）求函数的单调区间；（）若函数在区间的最小值为，求的值（19）（本小题满分14分）已知椭圆经过点，离心率为（）求椭圆的方程；（）直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由（20）（本小题满分13分）从中这个数中取（，）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为（）当时，写出所有可能的递增等差数列及的值；（）求；（）求证：北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类）一、选择题题号123456
6、78答案BABABDCD二、填空题题号91011121314答案22三、解答题15 （本小题满分13分）解： （） 显然，函数的最小正周期为 8分（）令得，又因为，所以函数在上的单调减区间为 13分16 （本小题满分13分）解：（I）设事件：从位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有人则解得 所以 4分（II）设事件：从人中任意抽取人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有人则 7分（III）的可能取值为，位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为人所以，所以的
7、分布列为012所以， 13分17 （本小题满分14分）（）证明：取的中点，连接，因为，分别是，的中点， 所以是的中位线 所以，且 又因为是的中点，且底面为正方形，所以，且 所以，且 所以四边形是平行四边形 所以 又平面，平面，所以平面 4分AEBCDPFyAxAzA（）证明： 因为平面平面，且平面平面，所以平面所以，又因为为正方形，所以，所以两两垂直 以点为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系（如图）由题意易知，设，则， 因为，且，所以，AEBCDPFG又因为，相交于，所以平面 9分（）易得，设平面的法向量为，则 所以 即 令，则由（）可知平面的法向量是，所以 由图可知，二面角的大小为锐角，所
8、以二面角的余弦值为 14分18 （本小题满分13分）解：函数的定义域是， （）（1）当时，故函数在上单调递减（2）当时，恒成立，所以函数在上单调递减（3）当时，令，又因为，解得当时，所以函数在单调递减当时，所以函数在单调递增综上所述，当时，函数的单调减区间是，当时，函数的单调减区间是，单调增区间为7分（）（1）当时，由（）可知，在上单调递减，所以的最小值为，解得，舍去（2）当时，由（）可知，当，即时，函数在上单调递增，所以函数的最小值为，解得当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，解得，舍去当，即时，函数在上单调递减，所以函数的最小值为，得，舍去综上所述， 13分19 （
9、本小题满分14分）解：（）由题意得，解得， 所以椭圆的方程是 4分 （）以线段为直径的圆过轴上的定点由得 设，则有， 又因为点是椭圆的右顶点，所以点由题意可知直线的方程为，故点直线的方程为，故点 若以线段为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立 又因为，所以恒成立又因为 ，所以解得 故以线段为直径的圆过轴上的定点 14分20 （本小题满分13分）解：（）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个所以 3分（）设满足条件的一个等差数列首项为，公差为，的可能取值为对于给定的， 当分别取时，可得递增等差数列个（如：时，当分别取时，可得递增等差数列91个：；，其它同理
10、）所以当取时，可得符合要求的等差数列的个数为： 8分（）设等差数列首项为，公差为，记的整数部分是，则，即的可能取值为，对于给定的，当分别取时，可得递增等差数列个所以当取时，得符合要求的等差数列的个数易证又因为，所以所以即 13分北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理工类）选填解析一、 选择题1 【答案】B【解析】解：对应的点为所以对应的点在第二象限故选B2 【答案】A【解析】解：，所以故选A 3 【答案】B【解析】解：因为，所以所以 又，所以 所以所以故选B4 【答案】A【解析】解：阴影部分面积为；区域的面积为；由几何概型知识，得概率为故选A5 【答案】B【解析】解：若，由正弦定理得 又，
11、则或所以“”推不出“”；另一方面，若， ，则，所以“”能推出“” 所以“”是“”的必要不充分条件故选B6 【答案】D【解析】解：列表循环结束所以输出的为故答案为D7 【答案】C【解析】解：对于，因为，所以为奇函数，图象关于原点对称，正确；对于，因为是周期函数，不是周期函数，所以不是周期函数，故不正确；对于，因为图象连续不断且定义域为，所以的最大值一定是的极值；而，所以当时，函数不取极值，故错；对于，由于与均关于原点对称，所以只需考虑部分，因为，故函数的图象与函数的图象没有公共点，正确故答案选C8 【答案】D【解析】如图，设圆心到直线的距离，所以，如图，又，则，解得故答案选D二、 填空题9 【答案】 【解析】解：设的公比为，因为，所以，即，所以（舍），所以，；故答案为10 【答案】【解析】解：由，得，；由，得；圆心到的距离的为所以线段长度的最小值为；故答案为11 【答案】 【解析】由三视图知，几何体为地面为等腰直角三角形，高为的三棱锥；所以体积；表面积故答案为12 【答案】 【解析】解：因为双曲线，所以焦点，准线为；又焦点到其渐近线的距离是，所以，即离心率为 故答案为13 【答案】 【解析】解：分步计数原理，故答案为14 【答案】【解析】解：如图建立空间直角坐标系，设， 则，所以， 因为，解得或故答案为
