1、基础达标1(2014河南南阳一模)等差数列an的前n项和为Sn,若S17为一确定常数,则下列各式也为确定常数的是()Aa2a15 Ba2a15Ca2a9a16 Da2a9a16解析:选C因为S17为一确定常数,根据公式可知,a1a17为一确定常数,又a1a17a2a162a9,a2a16a9为一确定常数2若运载“神十”的改进型“长征二号”系列火箭在点火后某秒钟通过的路程为2 km,此后每秒钟通过的路程增加2 km,若从这一秒钟起通过240 km的高度后,火箭与飞船分离,则这一过程需要的时间是()A10秒钟 B13秒钟C15秒钟 D20秒钟解析:选C设从这一秒钟起,经过x秒钟,通过240 km的
2、高度由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2,公差为2的等差数列,故有2x2240,即x2x2400,解得x15或x16(舍去)3已知实数等比数列an中,Sn是它的前n项和若a2a32a1,且a4与2a7的等差中项为,则S5等于()A35 B33C31 D29解析:选C由a2a3a1a42a1,得a42.又a42a7,a7.设等比数列an的公比为q,则a7a4q3,q3,q,a116,S531.4已知数列an的前n项和Snan1(a0),则数列an()A一定是等差数列B一定是等比数列C或者是等差数列,或者是等比数列D既不可能是等差数列,也不可能是等比数列解析:选CSnan1(a0),an,即an.
3、当a1时,an0,数列an是一个常数列,也是等差数列;当a1时,数列an是一个等比数列5在如图所示的程序框图中,当输出T的值最大时,n的值等于()A6 B7C6或7 D8解析:选C该程序框图的实质是输出以a164为首项,为公比的等比数列an的前n项的乘积Tna1a2an(n1,2,15),由于a71,所以在Tn(n1,2,15)中,T6T7且最大6夏季山上的温度从山脚起,每升高100米,降低0.7 ,已知山顶处的温度是14.8 ,山脚处的温度为26 ,则此山相对于山脚处的高度是_米解析:每升高100米温度降低0.7 ,该处的温度变化是一个等差数列问题山脚温度为首项a126,山顶温度为末项an1
4、4.8,d0.7.26(n1)(0.7)14.8,解之可得n17,故此山相对于山脚处的高度为(171)1001 600(米)答案:1 6007在等比数列an中,an0,且a1a2a7a816,则a4a5的最小值为_解析:由等比数列性质得,a1a2a7a8(a4a5)416,又an0,a4a52.再由基本不等式,得a4a522.a4a5的最小值为2.答案:28设Sn是数列an的前n项和,若(nN*)是非零常数,则称数列an为“和等比数列”若数列2bn是首项为2,公比为4的等比数列,则数列bn_(填“是”或“不是”)“和等比数列”解析:数列2bn是首项为2,公比为4的等比数列,所以2bn24n12
5、2n1,bn2n1.设数列bn的前n项和为Tn,则Tnn2,T2n4n2,所以4,因此数列bn是“和等比数列”答案:是9在正项数列an中,a12,点An(,)在双曲线y2x21上,数列bn中,点(bn,Tn)在直线yx1上,其中Tn是数列bn的前n项和(1)求数列an的通项公式;(2)求证:数列bn是等比数列解:(1)由已知点An在y2x21上知,an1an1,数列an是一个以2为首项,以1为公差的等差数列ana1(n1)d2n1n1.(2)证明:点(bn,Tn)在直线yx1上,Tnbn1.Tn1bn11(n2),两式相减得bnbnbn1(n2),bnbn1,bnbn1.令n1,得b1b11,
6、b1.bn是一个以为首项,为公比的等比数列10某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍,并且每年年底固定给股东们分红500万元该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元(1)求该企业2014年年底分红后的资金;(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元解:设an为(2 010n)年年底分红后的资金,其中nN*,则a121 0005001 500,a221 5005002 500,an2an1500(n2)an5002(an1500)(n2),即数列an500是首项为a15001 000,公比为2的等比数列an5001 0002n1,an1 0002n1500.
7、(1)a41 0002415008 500,该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元(2)由an32 500,即2n132,得n6,该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元能力提升1已知数列an,bn满足a11且an,an1是函数f(x)x2bnx2n的两个零点,则b10等于()A24 B32C48 D64解析:选D依题意有anan12n,所以an1an22n1,两式相除得2,所以a1,a3,a5,成等比数列,a2,a4,a6,也成等比数列,而a11,a22,所以a1022432,a1112532.又因为anan1bn,所以b10a10a1164.2将石子摆成如图的梯
8、形形状,称数列5,9,14,20,为梯形数,根据图形的构成,此数列的第2 014项与5的差即a2 0145()A2 0202 014 B2 0202 013C1 0102 014 D1 0102 013解析:选D结合图形可知,该数列的第n项an234n2,所以a2 0145452 01642 0132 0131 010.3设数列an中,若an1anan2(nN*),则称数列an为“凸数列”,已知数列bn为“凸数列”,且b11,b22,则数列bn的前2 014项和为_解析:由“凸数列”的定义,可知,b11,b22,b33,b41,b52,b63,b71,b82,故数列bn是周期为6的周期数列又b
9、1b2b3b4b5b60,故数列bn的前2 014项和S2 014b1b2b3b412315.答案:54在数列an中,若aap(n2,nN*,p为常数),则称an为“等方差数列”下列是对“等方差数列”的判断:若an是等方差数列,则a是等差数列;已知数列an是等方差数列,则数列a是等方差数列;(1)n是等方差数列;若an是等方差数列,则akn(kN*,k为常数)也是等方差数列其中正确命题的序号为_解析:对于,由等方差数列的定义可知,a是公差为p的等差数列,故正确对于,取an,则数列an是等方差数列,但数列a不是等方差数列,故错对于,因为(1)n2(1)n120(n2,nN*)为常数,所以(1)n
10、是等方差数列,故正确对于,若aap(n2,nN*),则aa(aa)(aa)(aa)kp为常数,故正确答案:5(2014四川成都市诊断性检测)设函数f(x)x2,过点C1(1,0)作x轴的垂线l1交函数f(x)图象于点A1,以A1为切点作函数f(x)图象的切线交x轴于点C2,再过C2作x轴的垂线l2交函数f(x)图象于点A2,以此类推得点An,记An的横坐标为an,nN*.(1)证明数列an为等比数列并求出通项公式;(2)设直线ln与函数g(x)logx的图象相交于点Bn,记bnnn(其中O为坐标原点),求数列bn的前n项和Sn.解:(1)证明:以点An1(an1,a)(n2)为切点的切线方程为
11、ya2an1(xan1)当y0时,得xan1,即anan1.又a11,数列an是以1为首项,为公比的等比数列通项公式为an()n1.(2)据题意,得Bn()n1,n1)bnnn()n1()n1(n1)n()n1.Sn1()02()1n()n1,Sn1()12()2n()n,两式相减,得Sn1()01()1()n1n()nn()n.化简,得Sn()()n.6(选做题)(2014浙江嘉兴质检)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn2an(nN*)(1)求证:数列是等比数列;(2)设数列2nan的前n项和为Tn,An,试比较An与的大小解:(1)证明:a1S123a1得a1,当n2时,由anSnSn1得,所以是首项和公比均为的等比数列(2)由(1)得,于是2nann,Tn123n.所以2,于是An2,而,所以问题转化为比较与的大小设f(n),g(n),当n4时,f(n)f(4)1,而g(n)g(n)经验证当n1,2,3时,仍有f(n)g(n)因此对任意的正整数n,都有f(n)g(n),即An.