1、基础达标1(2014河南南阳一模)等差数列an的前n项和为Sn，若S17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是()Aa2a15 Ba2a15Ca2a9a16 Da2a9a16解析：选C因为S17为一确定常数，根据公式可知，a1a17为一确定常数，又a1a17a2a162a9，a2a16a9为一确定常数2若运载“神十”的改进型“长征二号”系列火箭在点火后某秒钟通过的路程为2 km，此后每秒钟通过的路程增加2 km，若从这一秒钟起通过240 km的高度后，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是()A10秒钟 B13秒钟C15秒钟 D20秒钟解析：选C设从这一秒钟起，经过x秒钟，通过240 km的
2、高度由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2，公差为2的等差数列，故有2x2240，即x2x2400，解得x15或x16(舍去)3已知实数等比数列an中，Sn是它的前n项和若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5等于()A35 B33C31 D29解析：选C由a2a3a1a42a1，得a42.又a42a7，a7.设等比数列an的公比为q，则a7a4q3，q3，q，a116，S531.4已知数列an的前n项和Snan1(a0)，则数列an()A一定是等差数列B一定是等比数列C或者是等差数列，或者是等比数列D既不可能是等差数列，也不可能是等比数列解析：选CSnan1(a0)，an，即an.
3、当a1时，an0，数列an是一个常数列，也是等差数列；当a1时，数列an是一个等比数列5在如图所示的程序框图中，当输出T的值最大时，n的值等于()A6 B7C6或7 D8解析：选C该程序框图的实质是输出以a164为首项，为公比的等比数列an的前n项的乘积Tna1a2an(n1，2，15)，由于a71，所以在Tn(n1，2，15)中，T6T7且最大6夏季山上的温度从山脚起，每升高100米，降低0.7 ，已知山顶处的温度是14.8 ，山脚处的温度为26 ，则此山相对于山脚处的高度是_米解析：每升高100米温度降低0.7 ，该处的温度变化是一个等差数列问题山脚温度为首项a126，山顶温度为末项an1
4、4.8，d0.7.26(n1)(0.7)14.8，解之可得n17，故此山相对于山脚处的高度为(171)1001 600(米)答案：1 6007在等比数列an中，an0，且a1a2a7a816，则a4a5的最小值为_解析：由等比数列性质得，a1a2a7a8(a4a5)416，又an0，a4a52.再由基本不等式，得a4a522.a4a5的最小值为2.答案：28设Sn是数列an的前n项和，若(nN*)是非零常数，则称数列an为“和等比数列”若数列2bn是首项为2，公比为4的等比数列，则数列bn_(填“是”或“不是”)“和等比数列”解析：数列2bn是首项为2，公比为4的等比数列，所以2bn24n12
5、2n1，bn2n1.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnn2，T2n4n2，所以4，因此数列bn是“和等比数列”答案：是9在正项数列an中，a12，点An(，)在双曲线y2x21上，数列bn中，点(bn，Tn)在直线yx1上，其中Tn是数列bn的前n项和(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列bn是等比数列解：(1)由已知点An在y2x21上知，an1an1，数列an是一个以2为首项，以1为公差的等差数列ana1(n1)d2n1n1.(2)证明：点(bn，Tn)在直线yx1上，Tnbn1.Tn1bn11(n2)，两式相减得bnbnbn1(n2)，bnbn1，bnbn1.令n1，得b1b11，
6、b1.bn是一个以为首项，为公比的等比数列10某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元(1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元解：设an为(2 010n)年年底分红后的资金，其中nN*，则a121 0005001 500，a221 5005002 500，an2an1500(n2)an5002(an1500)(n2)，即数列an500是首项为a15001 000，公比为2的等比数列an5001 0002n1，an1 0002n1500.
7、(1)a41 0002415008 500，该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元(2)由an32 500，即2n132，得n6，该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元能力提升1已知数列an，bn满足a11且an，an1是函数f(x)x2bnx2n的两个零点，则b10等于()A24 B32C48 D64解析：选D依题意有anan12n，所以an1an22n1，两式相除得2，所以a1，a3，a5，成等比数列，a2，a4，a6，也成等比数列，而a11，a22，所以a1022432，a1112532.又因为anan1bn，所以b10a10a1164.2将石子摆成如图的梯
8、形形状，称数列5，9，14，20，为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a2 0145()A2 0202 014 B2 0202 013C1 0102 014 D1 0102 013解析：选D结合图形可知，该数列的第n项an234n2，所以a2 0145452 01642 0132 0131 010.3设数列an中，若an1anan2(nN*)，则称数列an为“凸数列”，已知数列bn为“凸数列”，且b11，b22，则数列bn的前2 014项和为_解析：由“凸数列”的定义，可知，b11，b22，b33，b41，b52，b63，b71，b82，故数列bn是周期为6的周期数列又b
9、1b2b3b4b5b60，故数列bn的前2 014项和S2 014b1b2b3b412315.答案：54在数列an中，若aap(n2，nN*，p为常数)，则称an为“等方差数列”下列是对“等方差数列”的判断：若an是等方差数列，则a是等差数列；已知数列an是等方差数列，则数列a是等方差数列；(1)n是等方差数列；若an是等方差数列，则akn(kN*，k为常数)也是等方差数列其中正确命题的序号为_解析：对于，由等方差数列的定义可知，a是公差为p的等差数列，故正确对于，取an，则数列an是等方差数列，但数列a不是等方差数列，故错对于，因为(1)n2(1)n120(n2，nN*)为常数，所以(1)n
10、是等方差数列，故正确对于，若aap(n2，nN*)，则aa(aa)(aa)(aa)kp为常数，故正确答案：5(2014四川成都市诊断性检测)设函数f(x)x2，过点C1(1，0)作x轴的垂线l1交函数f(x)图象于点A1，以A1为切点作函数f(x)图象的切线交x轴于点C2，再过C2作x轴的垂线l2交函数f(x)图象于点A2，以此类推得点An，记An的横坐标为an，nN*.(1)证明数列an为等比数列并求出通项公式；(2)设直线ln与函数g(x)logx的图象相交于点Bn，记bnnn(其中O为坐标原点)，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)证明：以点An1(an1，a)(n2)为切点的切线方程为
11、ya2an1(xan1)当y0时，得xan1，即anan1.又a11，数列an是以1为首项，为公比的等比数列通项公式为an()n1.(2)据题意，得Bn()n1，n1)bnnn()n1()n1(n1)n()n1.Sn1()02()1n()n1，Sn1()12()2n()n，两式相减，得Sn1()01()1()n1n()nn()n.化简，得Sn()()n.6(选做题)(2014浙江嘉兴质检)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an(nN*)(1)求证：数列是等比数列；(2)设数列2nan的前n项和为Tn，An，试比较An与的大小解：(1)证明：a1S123a1得a1，当n2时，由anSnSn1得，所以是首项和公比均为的等比数列(2)由(1)得，于是2nann，Tn123n.所以2，于是An2，而，所以问题转化为比较与的大小设f(n)，g(n)，当n4时，f(n)f(4)1，而g(n)g(n)经验证当n1，2，3时，仍有f(n)g(n)因此对任意的正整数n，都有f(n)g(n)，即An.