1、课时达标训练(十六) “数列”专题提能课A组1等差数列an，bn的前n项和为Sn，Tn.若(nN*)，则_解析：.答案：2设数列an的前n项和为Sn.若S27，an12Sn1，nN*，则an_解析：由an12Sn1，得an2Sn11(n2)，两式相减得an13an(n2)，由a22a11，得S23a117，解得a12，a25，所以an答案：3已知一个等差数列an的通项公式为an255n，则数列|an|的前n项和为_解析：由an0，得n5，an前5项为非负，当n5时Sn|a1|a2|an|a1a2an，当n6时，Sn|a1|a2|an|a1a2a5a6an2(a1a2a5)a1a2a3a4a5a
2、6an100，综上所述，Sn答案：Sn4若an是等差数列，首项a10，0成立的最大正整数n是_解析：an为等差数列，a10，|a2 019|，等价于a2 0180，a2 0190.在等差数列an中，a2 018a2 019a1a4 0360，S4 0360，S4 0374 037a2 0190，使Sn0成立的最大自然数n是4 036.答案：4 036B组1(2019海门中学模拟)设数列an和bn满足bn22an3，an的前n项和为Sn，bn的前n项积为Tn，已知数列an是各项均为整数且公差为正整数的等差数列，若Sa4，则满足Tn2 019的所有n的取值的和为_解析：法一：因为数列an是公差为正
3、整数的等差数列，所以可设其公差为d(dN*)，则ana1(n1)d.由Sa4得，10a24da118d240，(*)由(24d)240(18d24)0得d2，即d.又dN*，所以d1，代入(*)得5a12a170，即(5a17)(a11)0.因为a1Z，所以a11，所以ann2，所以bn22an322n1，所以Tnb1b2 bn2135(2n1)2n2.由Tn2 019得2n22 019，因为2n2是递增数列，且当n3时，2n2292 019，当n4时，2n2216322 0482 019，所以满足Tn2 019的所有n的取值为1，2，3，所以所有满足条件的n的取值的和为6.法二：因为数列an
4、是公差为正整数的等差数列，所以可设其公差为d(dN*)，则ana2(n2)d.由Sa4得，10a4da24d240，(*)由(4d)240(4d24)0得d2，即d，又dN*，所以d1，代入(*)得5a2a20，即a2(5a22)0.因为a2Z，所以a20.所以ana2(n2)1n2，所以bn22an322n1，所以Tnb1b2bn2135(2n1)2n2.以下同法一答案：62若公比不为1的等比数列an满足log2(a1a2a13)13，等差数列bn满足b7a7，则b1b2b13的值为_解析：log2(a1a2a13)13，log2a13a72b7，b1b2b1313b726.答案：263已知
5、数列an满足a2n11a2n2a2n1，nN*，a11，若前n项和为Sn，则S11的最小值为_解析： 要使Sn最小，则数列各项为1，2，1，2，1，2，1，2，所以当S11的最小值为16.答案：164(2019南京盐城一模)若数列an满足a10，a4n1a4n2a4n2a4n33，其中nN*，且对任意nN*都有anm成立，则m的最小值为_解析：在a4n1a4n2a4n2a4n33中令n1，得a3a2a2a13，因为a10，所以a23，a36.又，所以a4a33.由a4n1a4n2a4n2a4n33得a4n3a4n2a4n2a4n13，又由已知得a4n1a4n，所以a4n2a4n3，所以a4n3
6、a4n23a4n6，a4n4a4n3a4n3，所以a4n44(a4n4)，所以a4n4是首项为1，公比为的等比数列，所以a4n44，a4n12a4n88，a4n2a4n1355，a4n3a4n2322.综上，an8，因为对任意nN*都有anm，所以m8，所以m的最小值为8.答案：85已知an是递增数列，其前n项和为Sn，a11，且10Sn(2an1)(an2)，nN*.(1)求数列an的通项an；(2)是否存在m，n，kN*，使得2(aman)ak成立？若存在，写出一组符合条件的m，n，k的值；若不存在，请说明理由解：(1)由10a1(2a11)(a12)，得2a5a120，解得a12或a1.
7、又a11，所以a12.因为10Sn(2an1)(an2)，所以10Sn2a5an2，故10an110Sn110Sn2a5an122a5an2，整理，得2(aa)5(an1an)0，即(an1an)2(an1an)50.因为an是递增数列且a12，所以an1an0，因此an1an.所以数列an是以2为首项，为公差的等差数列，所以an2(n1)(5n1)(2)满足条件的正整数m，n，k不存在，理由如下：假设存在m，n，kN*，使得2(aman)ak，则5m15n1(5k1)，整理，得2m2nk，()虽然，()式左边为整数，所以()式不成立故满足条件的正整数m，n，k不存在6数列an，bn，cn满足
8、：bnan2an1，cnan12an22，nN*.(1)若数列an是等差数列，求证：数列bn是等差数列；(2)若数列bn，cn都是等差数列，求证：数列an从第二项起为等差数列；(3)若数列bn是等差数列，试判断当b1a30时，数列an是否成等差数列？证明你的结论解：(1)证明：设数列an的公差为d，bnan2an1，bn1bn(an12an2)(an2an1)(an1an)2(an2an1)d2dd，数列bn是公差为d的等差数列(2)证明：当n2时，cn1an2an12，bnan2an1，an1，an11，an1an，数列bn，cn都是等差数列，为常数，数列an从第二项起为等差数列(3)数列a
9、n成等差数列bnan2an1，b1a30，令n1，a12a2a3，即a12a2a30，bn1an12an2，bn2an22an3，2bn1bnbn2(2an1anan2)2(2an2an1an3)，数列bn是等差数列，2bn1bnbn20，2an1anan22(2an2an1an3)，a12a2a30，2an1anan20，数列an是等差数列C组1(2019常州期末)数列an，bn满足bnan1(1)nan(nN*)，且数列bn的前n项和为n2，已知数列ann的前2 018项和为1，那么数列an的首项a1_解析：由数列bn的前n项和为n2，可得bn2n1，则b2n1a2na2n14n3，b2n
10、a2n1a2n4n1，b2n1a2n2a2n14n1，得a2n1a2n12，得a2n2a2n8n.因为数列ann的前2 018项和为1，所以a1a2a2 018(122 018)1，a1a2a2 018(122 018)11 0092 0191，所以a11 008a28(241 008)1 0092 0191，又b11a2a1，即a2a11，所以2a11 00881 0092 019，解得a1.答案：2对于一切实数x，令x为不大于x的最大整数，则函数f(x)x称为高斯函数或取整函数若anf，nN*，Sn为数列an的前n项和，则S3n_解析：由题意，当n3k，n3k1，n3k2时均有anfk，所
11、以S3n00111,222,(n1)(n1)(n1),n3(n1)nn2n.答案：n2n3已知数列an是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，点An，Bn均在函数f(x)log2x的图像上，An的横坐标为an，Bn的横坐标为Sn1，直线AnBn的斜率为kn.若k11，k2，则数列anf(an)的前n项和Tn_解析：由题意可知A1(a1，log2a1)，A2(a2，log2a2)，B1(S11，log2(S11)，B2(S21，log2(S21)，解得an2n1，f(an)log22n1n1，anf(an)(n1)2n1.Tn020121222(n2)2n2(n1)2n1，2Tn021122
12、223(n2)2n1(n1)2n，由得Tn222232n1(n1)2n，所以Tn(n1)2n，整理得Tn(n2)2n2.答案：(n2)2n24设某数列的前n项和为Sn，若为常数，则称该数列为“和谐数列”若一个首项为1，公差为d(d0)的等差数列an为“和谐数列”，则该等差数列的公差d_解析：由k(k为常数)，且a11，得nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得，(4k1)dn(2k1)(2d)0.对任意正整数n，上式恒成立，解得数列an的公差d2.答案：25(2019苏锡常镇一模)定义：若有穷数列a1，a2，an同时满足下列三个条件，则称该数列为P数列首项a11；a1a2a
13、n；对于该数列中的任意两项ai和aj(1ijn)，其积aiaj或商仍是该数列中的项(1)问等差数列1，3，5是否为P数列？(2)若数列a，b，c，6是P数列，求b的取值范围；(3)若n4，且数列b1，b2，bn是P数列，求证：数列b1，b2，bn是等比数列解：(1)3515，均不在此等差数列中，等差数列1，3，5不是P数列(2)数列a，b，c，6是P数列，1abc6，6b或是数列中的项，且6b大于数列中的最大项6，是数列中的项，同理也是数列中的项考虑到16，b，c，bc6，又1bc，1b，综上，b的取值范围是(1，)(3)证明：记数列b1，b2，bn为数列bn，数列bn是P数列，1b1b2b3bn，b2bn或是数列中的项，且b2bn大于数列中的最大项bn，是数列bn中的项同理，也都是数列bn中的项，考虑到1bn，且1，bn这n个数全是共有n项的增数列1，b2，bn中的项，b2，bn1，从而bnbibn1i(i1，2，n1)，又bn1b3bn1b2bn，bn1b3不是数列bn中的项，是数列bn中的项，同理，也都是数列bn中的项，考虑到1bn2bn1bn，且1，bn1，bn这n个数全是共有n项的增数列1，b2，bn中的项，于是，同理有bn1bibni(i1，2，n2)，在中将i换成i1后与相除，得，i1，2，n2，b1，b2，bn是等比数列
