1、综合仿真练(六)1.如图，在四棱锥EABCD中，平面EAB平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EAEB，点M，N分别是AE，CD的中点求证：(1)MN平面EBC；(2)EA平面EBC.证明：(1)取BE中点F，连结CF，MF，又M是AE的中点，所以MF綊AB.又N是矩形ABCD边CD的中点，所以NC綊AB，所以MF綊NC，所以四边形MNCF是平行四边形，所以MNCF.又MN平面EBC，CF平面EBC，所以MN平面EBC. (2)在矩形ABCD中，BCAB，又平面EAB平面ABCD，平面ABCD平面EABAB，BC平面ABCD，所以BC平面EAB.又EA平面EAB，所以BCEA.又EAEB，BC
2、EBB，EB平面EBC，BC平面EBC，所以EA平面EBC.2.如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角，的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为.(1)求cos 2的值；(2)求2的值解：(1)因为点P的横坐标为，点P在单位圆上，为锐角，所以cos ，所以cos 22cos21.(2)因为点Q的纵坐标为，点Q在单位圆上，所以sin .又为锐角，所以cos .因为cos ，且为锐角，所以sin ，因此sin 22sin cos ，所以sin(2).因为为锐角，所以020，所以02，又为锐角，所以2，所以2.3.某山区外围有两条相互
3、垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y(其中a，b为常数)模型(1)求a，b的值(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度解：(1)由题意知，点M，N的坐标
4、分别为(5,40)，(20,2.5)将其分别代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，则点P的坐标为.设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B两点，y，则l的方程为y(xt)，由此得A，B.故f(t) ，t5,20设g(t)t2，则g(t)2t.令g(t)0，解得t10.当t(5,10)时，g(t)0，g(t)是增函数从而，当t10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min300，此时f(t)min15.答：当t10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米4.如图，已知椭圆E：1(ab0)的左顶点A(2,0)，且点在椭圆上，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点过点A作斜率为k(
5、k0)的直线交椭圆E于另一点B，直线BF2交椭圆E于点C.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若CF1F2为等腰三角形，求点B的坐标；(3)若F1CAB，求k的值解：(1)由题意得解得椭圆E的标准方程为1.(2)CF1F2为等腰三角形，且k0，点C在x轴下方，若F1CF2C，则C(0，)；若F1F2CF2，则CF22，C(0，)；若F1CF1F2，则CF12，C(0，)，C(0，)直线BC的方程y(x1)，由得或B.(3)设直线AB的方程为yk(x2)，由消去y，得(34k2)x216k2x16k2120，xAxB2xB，xB，yBk(xB2)，B.若k，则B，C，F1(1,0)，kCF1，F1C
6、与AB不垂直；k，F2(1,0)，kBF2，kCF1，直线BF2的方程为y(x1)，直线CF1的方程为y(x1)，由解得C(8k21，8k)由点C在椭圆上，得1，即(24k21)(8k29)0，即k2，k0，k.5数列an的前n项和为Sn，且满足Sn4an.(1)求证：数列an为等比数列，并求通项公式an；(2)是否存在自然数c和k，使得1成立？若存在，请求出c和k的值； 若不存在，请说明理由解：(1)当n1时，S1a14，得a12, 由Sn4an，得Sn14an1，得，Sn1Snanan1，即an1an, 所以，且a12，所以数列an是首项为2，公比为的等比数列，且an. (2)法一：因为a
7、n，所以ak1，Sk4， 要使1成立，只要使c，且2Sk4，所以c的可能取值为0,1,2,3)当c0时，12k，不存在自然数k使(*)成立；当c1时，2k2，不存在自然数k使(*)成立；当c2时，22k3，不存在自然数k使(*)成立；当c3时，42k1成立. 法二：要使1，只要2，即只要0，因为Sk40，故只要Sk2cSk. 因为Sk1Sk，所以Sk2S121.又Sk4，故要使成立，c只能取2或3. 当c2时，因为S12，所以当k1时，cSk不成立，从而不成立当k2时，因为S22c，由SkSk1，得Sk2Sk12，故当k2时，Sk2c，从而不成立. 当c3时，因为S12，S23，所以当k1，k
8、2时，cSk不成立，从而不成立因为S32c，又Sk2Sk12，所以当k3时，Sk2c，从而不成立. 综上所述，不存在自然数c，k，使1成立6(2019南通中学模拟)已知函数f(x)ax6，其中a为实常数(1)若f(x)3x在(1，)上恒成立，求a的取值范围；(2)已知a，P1，P2是函数f(x)图象上两点，若在点P1，P2处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；(3)设定义在区间D上的函数ys(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为l：yt(x)，当xx0时，若0在D上恒成立，则称点P为函数ys(x)的“好点”试问函数g(x)x2f(x)是否存在“好点”若存在，请求出所有“好点”坐标
9、，若不存在，请说明理由. 解：(1)法一：f(x)3x在(1，)上恒成立，即为(a3)x26x20在(1，)上恒成立，a3时，结论成立；a3时，函数h(x)(a3)x26x2图象的对称轴为x0，即a5，所以a3；a3x在(1，)上恒成立等价于a3，令h(x)322因为x1，所以01，故5h(x)0对任意xx0恒成立，因为a(x2x0xx)6(xx0)2(3ax12x02)ax2(ax06)x(2ax6x0)，所以ax2(ax06)x(2ax6x0)0对任意xx0恒成立，若a0，ax2(ax06)x(2ax6x0)0不可能对任意xx0恒成立，即a0时，不存在“好点”；若a0，因为当xx0时，ax2(ax06)x(2ax6x0)0，要使ax2(ax06)x(2ax6x0)0对任意xx0恒成立，必须(ax06)24a(2ax6x0)0，(ax02)20，所以x0，综上可得，当a0时，不存在“好点”；当a0时，存在惟一“好点”为.
