1、综合仿真练(四)1.如图，四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形，且PA底面ABCD，PAAC，E是PA的中点，F是PC的中点(1)求证：PC平面BDE；(2)求证：AF平面BDE.证明：(1)连结OE，因为O为菱形ABCD对角线的交点，所以O为AC的中点又因为E为PA的中点，所以OEPC.又因为OE平面BDE，PC平面BDE，所以PC平面BDE.(2)因为PAAC，PAC是等腰三角形，又F是PC的中点，所以AFPC.又OEPC，所以AFOE.又因为PA底面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.又因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以ACBD.因为PAACA，所以BD平面PAC，因为
2、AF平面PAC，所以AFBD.因为OEBDO，所以AF平面BDE.2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos A，tan (BA).(1)求tan B的值；(2)若c13，求ABC的面积解：(1)在ABC中，由cos A，知sin A，所以tan A，所以tan Btan (BA)A3.(2)在ABC中，由tan B3，知B是锐角，所以sin B，cos B，则sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.由正弦定理，得b15，所以ABC的面积Sbcsin A151378.3已知椭圆M：1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，一个焦点为F(1,0)，点F到相
3、应准线的距离为3.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点(1)求椭圆M的方程；(2)记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值解：(1)由焦点F(1,0)知c1，又c3，所以a24，从而b2a2c23.所以椭圆M的方程为1.(2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x1，此时S1S2，|S1S2|0；若直线l的斜率存在，可设直线l的方程为yk(x1)，k0，C(x1，y1)，D(x2，y2)联立消去y，得(34k2)x28k2x4k2120，所以x1x2.此时|S1S2|AB|y1|y2|2|y1y2|2|k(x11)k(x21)|2|k|(x1x2)2|2|k|2|k|
4、.因为k0，所以|S1S2|，当且仅当4|k|，即k时取等号所以|S1S2|的最大值为.4.如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在ADE区域内参观在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，MPN为监控角，其中M，N在线段DE(含端点)上，且点M在点N的右下方经测量得知：AD6米，AE6米，AP2米，MPN.记EPM(弧度)，监控摄像头的可视区域PMN的面积为S平方米(1)求S关于的函数关系式，并写出的取值范围；(2)求S的最小值解：(1)法一：在PME中，EPM，PEAEAP4米，PEM，PME，由正弦定理得，所以
5、PM， 在PNE中，由正弦定理得，所以PN， 所以PMN的面积SPMPNsinMPN，当M与E重合时，0；当N与D重合时，tanAPD3，即APD，所以0.综上可得，S，. 法二：在PME中，EPM，PEAEAP4米，PEM，PME，由正弦定理得，所以ME， 在PNE中，由正弦定理得，所以NE，所以MNNEME，又点P到DE的距离为d4sin2， 所以PMN的面积SMNd，当M与E重合时，0；当N与D重合时，tanAPD3，即APD，所以0.综上可得，S，. (2)当2，即时，S取得最小值为8(1). 所以可视区域PMN面积的最小值为8(1)平方米5(2019常州模拟)已知函数f(x)，g(x
6、)x22x.(1)求f(x)在点P(1，f(1)处的切线方程；(2)若关于x的不等式f2(x)tf(x)0有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围；(3)若h(x)g(x)4xf(x)存在两个正实数x1，x2满足h(x1)h(x2)xx0，求证：x1x23.解：(1)f(x)，f(1)0，所以P点坐标为(1,0); 又f(x)，f(1)1，则切线方程为y0x1，所以函数f(x)在点P(1，f(1)处的切线方程为xy10.(2)f(x)(x0)x(0，e)e(e，)f(x)正0负f(x)单调增极大值单调减由f2(x)tf(x)0, 得f(x)f(x)t0；t0时，f(x)0或f(x)0且x1，满足
7、条件的整数解有无数个，舍；t0时，f(x)t，当f(x)t时，不等式有且仅有三个整数解，又f(3)，f(2)f(4)，f(5)因为f(x)在(0，e)递增，在(e，)递减；所以f(5)tf(4), 即t，即t；所以实数t的取值范围为0)，则(t)2t2(t0)，当t(0,1)时，(t)0)在(0,1)上单调递减；当t(1，)时，(t)0，所以函数(t)t22t4ln t(t0)在(1，)上单调递增所以函数(t)t22t4ln t(t0)在t1时，取得最小值，最小值为3.因为存在两个正实数x1，x2，满足h(x1)h(x2)xx0，所以(x1x2)22(x1x2)3，即(x1x2)22(x1x2
8、)30，所以x1x23或x1x21.因为x1，x2为正实数，所以x1x23.6(2019启东中学模拟)若数列an中的项都满足a2n1a2na2n1(nN*)，则称an为“阶梯数列”(1)设数列bn是“阶梯数列”，且b11，b2n19b2n1(nN*)，求b2 016；(2)设数列cn是“阶梯数列”，其前n项和为Sn，求证：Sn中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；(3)设数列dn是“阶梯数列”，且d11，d2n1d2n12(nN*)，记数列的前n项和为Tn. 问是否存在实数t，使得(tTn)0对任意的nN*恒成立？若存在，请求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由解：(1)b
9、2n19b2n1，b11，b2n1是以b11为首项9为公比的等比数列，b2n1b19n132n2，b2 01532 014，数列bn是“阶梯数列”，b2 016b2 01532 014.(2)证明：由数列cn是“阶梯数列”得c2n1c2n，故S2n1S2n2S2nS2n1，Sn中存在连续三项S2n2，S2n1，S2n(n2)成等差数列；(注：给出具体三项也可) 假设Sn中存在连续四项Sk，Sk1，Sk2，Sk3，成等差数列，则Sk1SkSk2Sk1Sk3Sk2，即ck1ck2ck3，当k2m1，mN*时，c2mc2m1c2m2 ，当k2m，mN*时，c2m1c2m2c2m3 ，由数列cn是“阶梯数列”得c2mc2m1c2m2c2m3，与都矛盾，故假设不成立，即Sn中不存在连续四项成等差数列(3)d2n1d2n12，d11，d2n1是以d11为首项2为公差的等差数列，d2n1d1(n1)22n1，又数列dn是“阶梯数列”，故d2n1d2n2n1， 当n2k(kN*)时，TnT2k2211，Tn，又(tTn)0恒成立，tTn恒成立，1t .当n2k1(kN*)时，TnT2k1T2kT2kT2k1，3，1)，又(tTn)0恒成立，tTn恒成立，1t.综上， 存在满足条件的实数t，其取值范围是.
