1、第一节函数及其表示【知识重温】一、必记3个知识点1函数与映射的概念函数映射两集合A，BA，B是两个非空数集A，B是两个_对应关系f：AB按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的_一个数x，在集合B中有_的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，对于集合A中的_一个元素x，在集合B中都有_的元素y与之对应名称那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xA对应f：AB是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合
2、f(x)|xA叫做函数的_.显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素_、_和_.(3)相等函数如果两个函数的_和_完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：_、_、_.3分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因_不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_，其值域等于各段函数的值域的_，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数二、必明3个易误点1解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则2易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一
3、个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数3易误把分段函数理解为几种函数组成【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x)是一个函数()(2)AR，BR，f：xy，表示从集合A到集合B的映射(也是函数)()(3)函数f(x)的图象与直线x1的交点最多有2个()(4)y2x(x1,2)的值域是2,4.()(5)yln x2与y2ln x表示同一函数()(6)f(x)则f(x)()二、教材改编2下列函数f(x)与g(x)是同一个函数的是()Af(x)x1，g(x)1 Bf(x)x2，g(x)()4Cf(x)x2，g(x) Df(x)x，g(x)3已知函数
4、f(x)则f(f(2)_.三、易错易混4已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a的值等于()A3 B1C1或3 D35函数yx的值域为_四、走进高考62019江苏卷函数y的定义域是_函数的定义域自主练透型12020北京卷函数f(x)ln x的定义域是_2函数y(x1)0的定义域是()Ax|3x1 Bx|3x2且x1Cx|0x2 Dx|1x232021抚州模拟若函数f(x)的定义域为0,6，则函数的定义域为()A(0,3) B1,3)(3,8C1,3) D0,3)悟技法考点二函数的解析式互动讲练型例1(1)已知flg x，则f(x)的解析式为_(2)若f(x)为二次函数且f(0)3，f(x
5、2)f(x)4x2，则f(x)的解析式为_(3)已知函数f(x)满足f(x)2f(x)2x，则f(x)的解析式为_悟技法求函数解析式常用的方法变式练(着眼于举一反三)1已知f(1)x2，则函数f(x)的解析式为_2若函数f(x)是一次函数，且f(f(x)4x3，则函数f(x)的解析式为_3已知f(x)满足2f(x)f3x，则f(x)_.考点三分段函数分层深化型考向一：求分段函数的函数值例2(1)2021合肥一检已知函数f(x)则f(f(1)()AB2C4D11(2)2021山西太原三中模拟设函数f(x)若f(m)3，则f_.考向二：分段函数与方程、不等式的综合问题例3(1)设函数f(x)若f4
6、，则实数a()A BC或 D2或(2)2018全国卷设函数f(x)则满足f(x1)0时，2a2，a1(舍去)，当a0时，a12，a3.故选A.答案：A5解析：令t，则t0，且x.故yt(t1)21，t0，)y.函数yx的值域为，)答案：6解析：由题意知76xx20.即x26x70.解得1x7，故函数的定义域为1,7答案：1,7课堂考点突破考点一1解析：函数f(x)ln x的自变量满足x0，即定义域为(0，)答案：(0，)2解析：要使函数解析式有意义，须有解得所以3x2且x1.故已知函数的定义域为x|3x0，所以t1，所以f(t)lg.即f(x)的解析式是f(x)lg(x1)(2)(待定系数法)
7、设f(x)ax2bxc(a0)，又f(0)c3.所以f(x)ax2bx3，所以f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.所以所以所以所求函数的解析式为f(x)x2x3.(3)(解方程组法)因为2f(x)f(x)2x，将x换成x得2f(x)f(x)2x，由消去f(x)，得3f(x)6x，所以f(x)2x.答案：(1)f(x)lg(x1)(2)f(x)x2x3(3)f(x)2x变式练1解析：解法一(配凑法)f(1)x2()2211(1)21，且11.f(x)x21(x1)解法二(换元法)设t1，则x(t1)2(t1)代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22
8、t12t2t21.故f(x)x21(x1)答案：f(x)x21(x1)2解析：设f(x)axb(a0)，则f(f(x)af(x)ba2xabb4x3，解得或f(x)2x1或f(x)2x3.答案：f(x)2x1或f(x)2x33解析：因为2f(x)f3x，所以将x用替换，得2ff(x)，由解得f(x)2x(x0)，即f(x)的解析式是f(x)2x(x0)答案：2x(x0)考点三例2解析：(1)因为f(1)1223，所以f(f(1)f(3)34.故选C.(2)当m2时，m213，所以m2或m2(舍)；当0m2时，log2m3，所以m8(舍)所以m2.所以fflog21.答案：(1)C(2)1例3解
9、析：(1)因为1，所以f4aa.若a1，即a时，4，即a2a(成立)；若a1，即a时，则4aa4，即a(舍去)，综上a.(2)将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知解得x0，所以满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是(，0)故选D.答案：(1)A(2)D同类练4解析：因为f(x)，所以f(2)f(1)e211e22.答案：e225解析：f(1)123135，f(5)2(5)122，故选D.答案：D变式练6解析：f(4)164210，所以f(f(4)f(10)1lg 100.答案：07解析：解法一当0a1.所以f(a)，f(a1)2(a11)2a.由f(a)f(a1)得2a，所以a.此时ff(4)2(41)6.当a1时，a11，所以f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)2a.由f(a)f(a1)得2(a1)2a，无解综上，f6，故选C.解法二因为当0x1时，f(x)，为增函数，当x1时，f(x)2(x1)，为增函数，又f(a)f(a1)，所以2(a11)，所以a.所以ff(4)6.答案：C拓展练8解析：当x0时，f(x)0，所以f(f(x)f1，解得x4；当x0，所以f(f(x)f(x2)1，解得x(舍)或x.综上，f(f(x)1的解集为(，4，)故选D.答案：D
