1、专项强化练(十二)椭圆、双曲线和抛物线 A 组 题型一 椭圆的定义及标准方程 1设 F1，F2是椭圆x249y2241 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且 PF1PF243，则PF1F2的面积为_ 解析：因为 PF1PF214，又 PF1PF243，所以 PF18，PF26.因为 F1F210，所以 PF1PF2.所以 SPF1F212PF1PF2128624.答案：24 2一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2在 x 轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且 PF1，F1F2，PF2成等差数列，则椭圆方程为_ 解析：设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)由点(2，3)在椭圆上，知4a23b2
2、1.又 PF1，F1F2，PF2成等差数列，则 PF1PF22F1F2，即 22c2a，ca12，又 c2a2b2，联立得 a28，b26.故椭圆方程为x28y261.答案：x28y261 临门一脚 1求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)如若不能确定焦点的位置，则两种情况都要考虑，这一点一定要注意，不要遗漏，此时设所求的椭圆方程为一般形式：Ax2By21(A0，B0 且 AB)；若 AB，则焦点在 x 轴上；若 AB，则焦点在 y 轴上 2椭圆的定义中一定满足“PF1PF22a，且 ac”，用椭圆的定义求解 a，b，c 有时比用方程简便 题型二 椭圆的几何性质 1椭圆
3、x29y241 的离心率是_ 解析：根据题意知，a3，b2，则 c a2b2 5，椭圆的离心率 eca 53.答案：53 2椭圆 x2my21 的焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，则 m_.解析：由题意可得，1m12，所以 m4.答案：4 3已知圆 C1：x22cxy20，圆 C2：x22cxy20，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，若圆 C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是_ 解析：圆 C1，C2都在椭圆内等价于圆 C2的右顶点(2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，只需 2ca，c2a2c2b210b0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2为直径的
4、圆与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为_ 解析：以线段 A1A2为直径的圆的方程为 x2y2a2，由原点到直线 bxay2ab0 的距离 d2abb2a2a，得 a23b2，所以 C 的离心率 e 1b2a2 63.答案：63 临门一脚 1弄清楚 a，b，c，e 的几何意义，以及相关的点坐标、线的方程的表示 2求解几何性质之前方程应先化为标准式，否则会混淆 a，b.3离心率求解主要是根据几何条件建立关于 a，b，c 的方程或不等式 题型三 双曲线的定义及标准方程 1F1，F2分别是双曲线 C：x29y271 的左、右焦点，P 为双曲线 C 右支上一点，且|PF1|8，则PF1F2
5、的周长为_ 解析：由双曲线的方程可知 a3，b 7，所以 c4，则|PF2|PF1|2a2，|F1F2|2c8，据此可知PF1F2的周长为 82818.答案：18 2已知双曲线经过点(2 2，1)，其一条渐近线方程为 y12x，则该双曲线的标准方程为_ 解析：设双曲线的方程为x24y2(0)，则22412，解得 1，故双曲线的标准方程为x24y21.答案：x24y21 3(2018柳州模拟)设双曲线x29y261 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线 l 交双曲线左支于 A，B 两点，则|AF2|BF2|的最小值为_ 解析：|AF2|BF2|2a|AF1|2a|BF1|4a|AB|4
6、a2b2a 43263 16.答案：16 4设双曲线与椭圆x227y2361 有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是_ 解析：法一：椭圆x227y2361 的焦点坐标是(0，3)，设双曲线方程为y2a2x2b21(a0，b0)，根据双曲线的定义知 2a|15221522|4，故 a2.又 b232a25，故所求双曲线的方程为y24x251.法二：椭圆x227y2361 的焦点坐标是(0，3)设双曲线方程为y2a2x2b21(a0，b0)，则 a2b29，又点(15，4)在双曲线上，所以16a215b21，联立解得 a24，b25.故所求双曲线的方程
7、为y24x251.法三：设双曲线的方程为x227y2361(270，b0)的离心率为 2，直线 xy20 经过双曲线 C 的焦点，则双曲线 C 的渐近线方程为_ 解析：由题意可得直线 xy20 与 x 轴的交点(2,0)为双曲线 C 的焦点，所以 c2，又双曲线 C 的离心率为 2，所以 a1，b c2a2 3，所以双曲线 C 的渐近线方程为ybax 3x.答案：y 3x 3(2018南京高三模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点到一条渐近线的距离为 2a，则该双曲线的离心率为_ 解析：由双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 2a 得 b2a，则
8、该双曲线的离心率 eca 1ba2 5.答案：5 4已知 F 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点 F且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围为_ 解析：由题意得 E(a,0)，不妨设 Ac，b2a，Bc，b2a，显然ABE 是等腰三角形，故当ABE 是锐角三角形时，AEB90，从而b2aac，化简得 c2ac2a20，即 e2e20，解得1e2，又 e1，故 1e2.答案：(1,2)临门一脚 1双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求根据渐近线方程求离心率时要注
9、意有两解 2在解析几何中，解决求范围问题，一般可从以下几个方面考虑：(1)与已知范围联系，通过求函数值域或解不等式来完成；(2)通过一元二次方程的根的判别式 的符号建立不等关系；(3)利用点在曲线内部建立不等式关系；(4)利用解析式的结构特点，如 a2，|a|，a等的非负性来完成范围的求解 题型五 抛物线 1在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y24x 上一点 P 到焦点的距离为 3，则点 P的横坐标是_ 解析：因为抛物线方程为 y24x，所以焦点 F(1,0)，准线 l 的方程为 x1，设 PAl，A 为垂足，所以 PFPAxP(1)3，所以点 P 的横坐标是 2.答案：2 2若点 P
10、 到直线 y1 的距离比它到点(0,3)的距离小 2，则点 P 的轨迹方程是_ 解析：由题意可知点 P 到直线 y3 的距离等于它到点(0,3)的距离，故点 P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以 y3 为准线的抛物线，且 p6，所以其标准方程为 x212y.答案：x212y 3一个顶点在原点，另外两点在抛物线 y22x 上的正三角形的面积为_ 解析：如图，根据对称性：A，B 关于 x 轴对称，故AOx30.直线 OA 的方程 y 33 x，代入 y22x，得 x26x0，解得 x0 或 x6.即得 A 的坐标为(6,2 3)，所以 AB4 3.故正三角形 OAB 的面积为124 3612 3.
11、答案：12 3 4在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y26x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂足若直线 AF 的斜率 k 3，则线段 PF 的长为_ 解析：抛物线方程为 y26x，焦点 F32，0，准线 l 的方程为 x32.直线 AF 的斜率为 3，直线 AF 的方程为 y 3x32，当 x32时，y3 3，由此可得 A 点坐标为32，3 3.PAl，A 为垂足，P 点纵坐标为 3 3，代入抛物线方程，得 P 点坐标为92，3 3，PFPA9232 6.答案：6 临门一脚 1一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“
12、对称轴看一次项，符号决定开口方向”2抛物线标准方程形式要记清楚，求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置和开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 3求解几何性质时，首先要把方程化为标准方程，其次抛物线方程的 p 几何意义要明确 B 组 1(2019扬州期末)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程为 x2y0，则该双曲线的离心率为_ 解析：双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 yba，又该双曲线的一条渐近线方程为 x2y0，即 y12x，所以ba12，a2b，则 c a2
13、b2 5b，则该双曲线的离心率 eca 5b2b 52.答案：52 2在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，则以 A，B 为焦点，且过 C，D 两点的椭圆的短轴的长为_ 解析：依题意得 AC5，所以椭圆的焦距为 2cAB4，长轴长 2aACBC8，所以短轴长为 2b2 a2c22 1644 3.答案：4 3 3抛物线y22px(p0)的准线截圆x2y22y10所得的弦长为2，则 p_.解析：抛物线 y22px(p0)的准线方程为 xp2，而圆化成标准方程为 x2(y1)22，圆心坐标为(0,1)，半径为 2，圆心到准线的距离为p2，所以p221(2)2，解得 p2.答案：2 4已知 P 是以
14、F1，F2为焦点的椭圆x2a2y2b21(ab0)上的一点，若 PF1 PF20，tanPF1F212，则此椭圆的离心率为_ 解析：因为 PF1 PF20，tanPF1F212，所以 PF1 PF2，sinPF1F2 55，cosPF1F22 55.所以 PF14 55 c，PF22 55 c，则 PF1PF26 55 c2a，所以 eca 53.答案：53 5(2019海门中学模拟)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F2，过 F2且与 x轴垂直的直线 l 与双曲线交于 M，N 两点，T 是双曲线的左顶点，若TMN 为直角三角形，则该双曲线的渐近线方程为_ 解析：由题意可得
15、TMN 为等腰直角三角形，且MTN 为直角，故 MF2TF2.由c2a2y2b21，解得 yb2a，所以 MF2b2a.因为 TF2ac，所以b2aac，得 b2a2ac，即 c2a2a2ac，得 c2a，所以 b 3a，所以该双曲线的渐近线方程为 3xy0.答案：3xy0 6已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的一个焦点是 F(1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点 M，N与 F 构成正三角形，则此椭圆的方程为_ 解析：由FMN 为正三角形，得 cOF 32 MN 32 23b1.解得 b 3，a2b2c24.故椭圆的方程为x24y231.答案：x24y231 7(2019如皋中学模拟)已知双曲
16、线 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，且两条渐近线的夹角为 60，过点 F1作 x 轴的垂线，交双曲线 C 的左支于 M，N 两点，若MNF2的面积为 4 3，则双曲线 C 的方程为_ 解析：因为双曲线 C 的两条渐近线的夹角为 60，ab0，所以ba 33 .易知 F1(c,0)，所以直线 MN 的方程为 xc，代入双曲线的方程得 yb2a，所以 MN2b2a，所以MNF2的面积 S12F1F2MN122c2b2a 2b2ca 4 3，又 a2b2c2，所以由得 a3，b 3，c2 3，故双曲线 C 的方程为x29y231.答案：x29y231 8(2018镇江
17、高三期末)已知双曲线x2a2y21 的左焦点与抛物线 y212x 的焦点重合，则双曲线的右准线方程为_ 解析：由题意知双曲线x2a2y21 的左焦点为(3,0)，所以 a28，因此双曲线的右准线方程为 x83.答案：x83 9(2019常州期初)已知椭圆 M：x2a2y21，圆 C：x2y26a2在第一象限有公共点P，设圆 C 在点 P 处的切线斜率为 k1，椭圆 M 在点 P 处的切线斜率为 k2，则k1k2的取值范围为_ 解析：由于椭圆 M：x2a2y21，圆 C：x2y26a2 在第一象限有公共点 P，所以 a26a2，6a21，解得 3a25.设椭圆 M：x2a2y21 与圆 Cx2y
18、26a2在第一象限的公共点 P(x0，y0)，则椭圆 M 在点 P 处的切线方程为x0 xa2 y0y1，圆 C 在 P 处的切线方程为 x0 xy0y6a2，所以 k1x0y0，k2 x0a2y0，k1k2a2，所以k1k2(3,5)答案：(3,5)10已知抛物线 x22py(p0)的焦点 F 是椭圆y2a2x2b21(ab0)的一个焦点，若 P，Q 是椭圆与抛物线的公共点，且直线 PQ 经过焦点 F，则该椭圆的离心率为_ 解析：设点 P 在第一象限，由题意，p2c，P(2pc，c)，即 P(2c，c)，代入椭圆方程，可得c2a24c2b2 1，整理可得 e46e210，0e1，e 21.答
19、案：21 11.如图所示，F1，F2 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点，以坐标原点 O 为圆心，OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为 A，B，且F2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为_ 解析：连结 AF1，依题意得 AF1AF2，AF2F130，AF1c，AF2 3c，因此该双曲线的离心率 eF1F2AF2AF12c3cc 31.答案：31 12.如图，已知过椭圆x2a2y2b21(ab0)的左顶点 A(a,0)作直线 l交 y 轴于点 P，交椭圆于点 Q，若AOP 是等腰三角形，且 PQ2 QA，则椭圆的离心率为_ 解析：法一：因为AOP 是等腰三角形，所以
20、OAOP，故 A(a,0)，P(0，a)，又 PQ2 QA，所以 Q2a3，a3，由点 Q 在椭圆上得49 a29b21，解得b2a215，故离心率 e1b2a2 1152 55.法二：因为AOP 是等腰三角形，所以 OAOP，故直线 AP 的方程为 yxa，与椭圆方程联立并消去 y 得(a2b2)x22a3xa2c20，从而(a)xQ a2c2a2b2，即 xQ ac2a2b2，又由 A(a,0)，P(0，a)，PQ2 QA，得 xQ2a3，故 ac2a2b22a3，即 5c24a2，e245，故 e2 55.答案：2 55 13(2018南京四校联考)已知右焦点为 F 的双曲线的离心率为
21、2，过点 F 且与一条渐近线平行的直线 l 与另一条渐近线交于点 A，AF2，则该双曲线的标准方程为_ 解析：法一：由 e 2知，双曲线的渐近线方程为 yx，不妨设直线 l：yxc，联立得 yxc，yx，解得 Ac2，c2，AFcc220c222，解得 c28，又由 e 2知，a2b24，故双曲线的标准方程为x24y241.法二：由 e 2知，双曲线的渐近线方程为 yx，且两条渐近线互相垂直，此时 AF2ba，故双曲线的标准方程为x24y241.答案：x24y241 14.如图所示，椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 A，离心率为12，点 P 为椭圆在第一象限内的一点若 SPF1ASPF1F221，则直线 PF1的斜率为_ 解析：由题意知ca12，即 a2c，则 A(0，b)，F2(c,0)，设直线 PF1的方程为 yk(xc)(k0)，因为 SPF1ASPF1F221，即 SPF1A2SPF1F2，即12|PF1|kcb|k21 212|PF1|2kc|k21，所以|kcb|4|kc|，解得 b3kc(舍去)或 b5kc，又 a2b2c2，即 a225k2c2c2，所以 4c225k2c2c2，解得 k2 325，k 35.答案：35
