1、课时作业26 空间向量与空间角时间：45 分钟基础巩固类一、选择题1若直线 l1 的方向向量与直线 l2 的方向向量的夹角是 150，则 l1 与 l2 这两条异面直线所成的角等于()A30 B150C30或 150 D不能确定A解析：异面直线的夹角的取值范围是(0，90，故选 A.2已知直线 l1 的方向向量 s1(1,0,1)与直线 l2 的方向向量 s2(1,2，2)，则 l1 和 l2 夹角的余弦值为()A.24B.12C.22D.32C解析：因为 s1(1,0,1)，s2(1,2，2)，所以 coss1，s2 s1s2|s1|s2|1223 22.又两直线夹角的取值范围为(0，2，所
2、以 l1 和 l2 夹角的余弦值为 22.3如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值是()A.65B.64C.63D.66D解析：以 C 为坐标原点，CA，CB，CC1 所在直线分别为 x轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，可知 A1(1,0,2)，B(0,1,0)，A(1,0,0)，C(0,0,0)，则A1B(1,1，2)，AC(1,0,0)，cosA1B，AC AC A1B|AC|A1B|1114 66，即 A1B 与 AC 所成角的余弦值是66.4在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D
3、1 中，M、N 分别是A1B1 和 BB1 的中点，那么异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是()A25B.1010C.25D.35C解析：依题意，建立如下图所示的坐标系，则 A(1,0,0)，M1，12，1，C(0,1,0)，N1，1，12，AM 0，12，1，CN 1，0，12，cos AM，CN 1252 5225，故异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为25.故选 C.5如下图所示，直三棱柱 ABC-A1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AA1ABAC，ABAC，M 是 CC1 的中点，Q 是 BC 的中点，P是 A1B1 的中点，则直线 PQ 与 AM 所成的角为()A.6 B.
4、4 C.3 D.2D解析：以 A 为坐标原点，AC、AB、AA1 所在直线为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 AA1ABAC2，则AM(2,0,1)，Q(1,1,0)，P(0,1,2)，QP(1,0,2)，所以QP AM 0，所以 QP 与 AM 所成角为2.6三棱锥 A-BCD 中，平面 ABD 与平面 BCD 的法向量分别为 n1，n2，若n1，n23，则二面角 A-BD-C 的大小为()A.3B.23C.3或23D.6或3C解析：如图所示，当二面角 A-BD-C 为锐角时，n1，n23；当二面角 A-BD-C 为钝角时，n1，n2323.7在正方体 ABCD-A1B1C1
5、D1 中，E、F 分别为 AB、C1D1的中点，则 A1B1 与平面 A1EF 夹角的正弦值为()A.62B.63C.64D.2B解析：建系如右图，设正方体棱长为 1，则 A1(1,0,1)，E(1，12，0)，F(0，12，1)，B1(1,1,1)A1B1(0,1,0)，A1E(0，12，1)，A1F(1，12，0)设平面 A1EF 的一个法向量为 n(x，y，z)，则nA1E 0nA1F 0，即12yz0 xy20.令 y2，则x1z1.n(1,2,1)，cosn，A1B1 26 63.设 A1B1 与平面 A1EF 的夹角为，则 sin|cosn，A1B1|63，即所求线面角的正弦值为
6、63.8如图所示，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PD平面 ABCD，且 PDAD1，AB2，点 E 是 AB 上一点，当二面角 P-EC-D 的平面角为4时，则 AE 等于()A1 B.12C2 2D2 3D解析：以 DA，DC，DP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，设 AEm.D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，E(1，m,0)，C(0,2,0)，可取平面 ABCD 的一个法向量 n1(0,0,1)，设平面 PEC 的法向量为 n2(a，b，c)，PC(0,2，1)，CE(1，m2,0)，则 n2PC 0，n2CE
7、0.2bc0，abm20，c2b，ab2m，令 b1 得 n2(2m,1,2)|cosn1，n2|n1n2|n1|n2|22m214cos4 22.m2 3或 m2 3(舍去)即 AE2 3.二、填空题9若向量 m(1,2,0)，n(3,0，2)都与一个二面角的棱垂直，且 m，n 分别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为.3 6565 或3 6565解析：cosm，n mn|m|n|1320025 133 6565.二面角的余弦值为3 6565 或3 6565.10如图，平面 PAD平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，PAD90，且 PAAD，E，F 分别是线段 PA，CD 的中点，
8、若异面直线 EF 与 BD 所成的角为，则 cos.36解析：设正方形 ABCD 的边长为 2，以 A 为坐标原点，以AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(2,0,0)，D(0,2,0)，E(0,0,1)，F(1,2,0)，则BD(2,2,0)，EF(1,2，1)，所以 cos|BD EF|BD|EF|240|2 2 6 36.11将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，给出下列四个结论：ACBD；AB、CD 所成角为 60；ADC 为等边 三 角 形；AB 与平 面 BCD 所 成 角 为 60.其 中 真 命 题是 .(请将你认为是
9、真命题的序号都填上)解析：如图取 BD 中点 O，连接 AO、CO，易知 BD 垂直于平面 AOC，故 BDAC；如下图建立空间直角坐标系，设正方形边长为 a，则 A(22 a,0,0)，B(0，22 a,0)，故AB(22 a，22 a,0)，C(0,0，22 a)，D(0，22 a,0)，故CD(0，22 a，22 a)，由两向量夹角公式得：cosCD，AB12，故两异面直线所成的角为3；在直角三角形 AOC 中，由 AOCO 22 a解得：AC 2AOa，故三角形 ADC 为等边三角形易知ABO 即为直线 AB 与平面 BCD 所成的角，可求得：ABO45，故错三、解答题12如图，在直三
10、棱柱 A1B1C1-ABC 中，ABAC，ABAC2，A1A4，点 D 是 BC 的中点(1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值；(2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值解：(1)以 A 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)(1)易得A1B(2,0，4)，C1D(1，1，4)因为 cos A1B，C1D A1B C1D|A1B|C1D|1820 183 1010，所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为3 1010.(2)
11、设平面 ADC1 的法向量为 n1(x，y，z)，因为AD(1,1,0)，AC1(0,2,4)，所以 n1AD 0，n1AC1 0，即 xy0，y2z0，取 z1，得 x2，y2，所以 n1(2，2,1)是平面 ADC1的一个法向量取平面 ABA1 的一个法向量为 n2(0,1,0)，设平面 ADC1与平面 ABA1 所成二面角的大小为.由|cos|n1n2|n1|n2|29 123，得 sin 53.因此，平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值为 53.13如图，平面 ABDE平面 ABC，ABC 是等腰直角三角形，ACBC4，四边形 ABDE 是直角梯形，BDAE，BDBA，
12、BD12AE2，O，M 分别为 CE，AB 的中点(1)求异面直线 AB 与 CE 所成角的大小；(2)求直线 CD 与平面 ODM 所成角的正弦值解：(1)DBBA，平面 ABDE平面 ABC，平面 ABDE平面 ABCAB，DB平面 ABDE，DB平面 ABC.BDAE，EA平面 ABC.如图所示，以 C 为坐标原点，分别以 CA，CB 所在直线为x，y 轴，以过点 C 且与 EA 平行的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系ACBC4，C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，E(4,0,4)，AB(4,4,0)，CE(4,0,4)cos AB，CE 164 24 212，异面直
13、线 AB 与 CE 所成角的大小为3.(2)由(1)知 O(2,0,2)，D(0,4,2)，M(2,2,0)，CD(0,4,2)，OD(2,4,0)，MD(2,2,2)设平面 ODM 的法向量为 n(x，y，z)，则由nODnMD，可得2x4y02x2y2z0，令 x2，则 y1，z1，n(2,1,1)设直线 CD 与平面 ODM 所成的角为，则 sin|cosn，CD|nCD|n|CD|3010，直线 CD 与平面 ODM 所成角的正弦值为 3010.能力提升类14如图，已知矩形 ABCD 与矩形 ABEF 全等，二面角 D-AB-E为直二面角，M 为 AB 的中点，FM 与 BD 所成的角
14、为，且 cos 39，则ABBC()A1 B.2C.22D.12C解析：不妨设 BC1，AB，则ABBC.记AFa，ABb，AD c，则FM 12ba，BD cb，根据题意，|a|c|1，|b|，abbcca0，FM BD 12b2122，而|FM|1421，|BD|21，|cosFM，BD|FM BD|FM|BD|1221421 21|39，解得 22.故选 C.15如图所示，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，侧棱 AA1底面 ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0)(1)求证：CD平面 ADD1A1；(2)若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角
15、的正弦值为67，求 k 的值解：(1)证明：如图所示，取 CD 中点 E，连接 BE.ABDE，ABDE3k，四边形 ABED 为平行四边形，BEAD 且 BEAD4k.在BCE 中，BE4k，CE3k，BC5k，BE2CE2BC2，BEC90，即 BECD.又 BEAD，CDAD.AA1平面 ABCD，CD平面 ABCD，AA1CD.又 AA1ADA，CD平面 ADD1A1.(2)以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1 的方向分别为 x 轴，y轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，所以AC(4k,6k,0)，AB1(0,3k,1)，AA1(0,0,1)设平面 AB1C 的法向量为 n(x，y，z)，则AC n0AB1 n0，即4kx6ky03kyz0.取 y2，可得平面 AB1C 的一个法向量为 n(3,2，6k)设 AA1 与平面 AB1C 所成角为，则 sin|cos AA1，n|AA1 n|AA1|n|6k|36k21367，解得 k1 或 k1(舍去)故 k 的值为 1.
